MAT 1111 Mathématiques générales (1 partie)

MAT 1111
Math´ematiques g´en´erales (1re partie)
M. Cherpion, C. Debi`eve, P. Habets, J. Van Schaftingen et E. Vitale

Table des mati`eres
1 Les fonctions 1
1 Les nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Addition et multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 L’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 L’axiome d’Archim`ede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 L’axiome de compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 La notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Composition de fonctions, fonctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Fonctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Fonctions injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Fonctions affines et droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Valeur absolue et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7 Fonctions circulaires et circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.1 Mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.2 Fonctions sinus, cosinus et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.3 Quelques formules de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.4 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8 Fonctions exponentielles, logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.1 Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.2 Exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i

ii Table des mati`eres
2 Limite de fonctions 21
1 Limite en un point ar´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Propri´et´es des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Unicit´e de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Propri´et´es alg´ebriques des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Propri´et´es li´ees `a l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Limite de fonctions compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1 Non-existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Conditions suffisantes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Le calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Limites `a l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Application : Probl`eme des asymptotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Continuit´e 35
1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Th´eor`emes fondamentaux sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Propri´et´es des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 D´eriv´ees 41
1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.1 Notion de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2 Notions de vitesse, d’acc´el´eration, de d´ebit . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Lien avec la continuit´e, fonctions de classe Ck. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Propri´et´es des d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Propri´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 D´eriv´ees de fonctions compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 D´eriv´ees de fonctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Calcul des d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Th´eor`emes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1 Extremum local d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Th´eor`eme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Table des mati`eres iii
5 Applications des d´eriv´ees 51
1 Calcul des limites : Th´eor`emes de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Crit`ere de monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Extremum de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Th´eor`emes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 M´ethode de recherche des extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Approximation des fonctions : lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1 Probl`eme d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Erreur d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Approximation des fonctions : polynˆome de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Approximation polynˆomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 M´ethodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Erreur d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Primitives 63
1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Ensemble des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Table de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Propri´et´es des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Int´egrales 69
1 Aire des surfaces planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.1 Aire sous un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.2 Aire de surfaces planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 D´efinition de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 Propri´et´es des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 La classe des fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Primitives et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Somme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8 Fonctions de deux variables r´eelles 81
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 Graphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Courbes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 D´eriv´ees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7 D´eriv´ees partielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89