PROBABILITE ET PROBLEMES 1. Variable aléatoire 2. Espérance

Chapitre 07 : Probabilité et problèmes
•Variable aléatoire
•Espérance, variance et écart-type
•Répétition d'expériences identiques et
indépendantes
PROBABILITE ET PROBLEMES
1. Variable aléatoire
1.1. Exemple
•Une expérience aléatoire
On lance un dé équilibré et on note à chaque lancé le nombre obtenu.
L'ensemble des issues est
Ω= { 1;2;3; 4;5;6 }
Toutes les issues sont équiprobables (modèle de la loi équirépartie).
•Une variable aléatoire sur
Ω
On convient que on perd
2€
si on tire
1
ou
2
, on gagne
0,5 €
si on tire
3
et enfin on
gagne
1€
si on tire
4
,
5
ou
6
.
La fonction
X
qui à chaque issue de
Ω
, associe le gain du joueur, prend comme valeurs :
x1=−2
,
x2=0, 5
et
x3=1
avec les probabilités
p1
,
p2
et
p3
que l'on peut calculer.
p1=P
(
X=−2
)
=P (
{
1;2
}
) =2
6=1 3
,
p2=P
(
X=0,5
)
=P (
{
3
}
) =1
6
et
p3=P
(
X=1
)
=P (
{
4;5;6
}
) =3
6=1 2
On résume cette loi de probabilité (de
X
) dans le tableau ci-dessous.
Gain
xi
–2
0,5
1
Probabilité
pi=P
(
X=xi
)
1
3
1
6
1
2
1.2. Définition
On considère un ensemble fini
Ω
et une loi de probabilité
p
sur
Ω
.
Une variable aléatoire
X
sur
Ω
est une fonction définie sur
Ω
à valeurs dans
ℝ
.
Si
x1
,
x2
, …,
xn
désignent les valeurs prises par
X
, on note «
X=xi
»
l’événement «
X
prend la valeur
xi
».
On définit une nouvelle loi de probabilité associée à
X
, par la donnée des réels
xi
et des
probabilités
pi=P
(
X=xi
)
pour
1⩽i⩽n
On la représente souvent en tableau
xi
x1
x2
...
xn
pi=P
(
X=xi
)
p1
p2
...
pn
On vérifie que
p1+p2+ …+ pn=∑
i=1
i=n
pi=1
2. Espérance, variance et écart-type
On considère une variable aléatoire
X
dont la loi de probabilité
P
est donnée par le
tableau :
xi
x1
x2
...
xn
P
(
X=xi
)
p1
p2
...
pn
On appelle espérance de
X
le nombre réel:
E
(
X
)
=∑
i=1
i=n
xipi=x1p1+x2p2+ …+ xnpn
L'espérance de gain s'interprète comme la moyenne des gains obtenus en répétant le jeu un
grand nombre de fois.
Le jeu est favorable au joueur si l'espérance est positive, défavorable au joueur si
l'espérance est négative et équitable si l’espérance est nulle.

On appelle variance de
X
le nombre réel :
V
(
X
)
=∑
i=1
n
( (
xi−E
(
X
)
)
2
)
pi=∑
i=1
n
(
xi
)
2pi−
(
E
(
X
) )
2
On appelle écart type de
X
le nombre réel :
σ
(
X
)
=
√
V
(
X
)
L'écart type du gain mesure la dispersion des gains autour de cette moyenne ; plus il est
grand, plus le degré de risque du jeu est grand.
Exemple
Reprenons le jeu décrit au 1.1. et la variable aléatoire
X
dont la loi de probabilité est
donnée par le tableau :
Gain
xi
–2
0,5
1
Probabilité
pi=P
(
X=xi
)
1
3
1
6
1
2
On a alors
E
(
X
)
=−2×1
3+0,5×1 6+1×1 2=− 4 6+0, 5 6+3 6=− 0,5 6=− 1 12
Comme l'espérance mathématique est négative, on peut penser que lors d'un grand nombre
de parties le joueur sera perdant.
V ( X ) =
(
−2−
(
−1
12
))
2
×1
3+
(
0,5−
(
−1
12
))
2
×1
6+
(
1−
(
−1
12
))
2
×1
2
ou
V ( X ) = ( −2 )
2×1
3+0,52×1 6+12×1 2−
(
−1
12
)
2
=1,86806
σ
(
X
)
=
√
V
(
X
)
≈1,36677
. L'écart-type est plutôt grand par rapport à la moyenne, donc le
jeu semble risqué.
Propriété
Soit
X
une variable aléatoire de loi de probabilité
(
xi;pi
)
,
1⩽i⩽n
Soit
a
et
b
des réels.
Alors
E ( a X +b ) =a E ( X ) +b
et
V
(
a X +b
)
=a2V
(
X
)
, donc
σ ( a X +b ) = ∣ a ∣ σ ( X )
3. Répétition d'expériences identiques et indépendantes
On s’intéresse aux familles françaises de deux enfants et on cherche la probabilité qu'une
famille, prise au hasard, ait exactement deux filles.
En France, il y a à la naissance, environ 105 garçons pour 100 filles.
On supposera que la probabilité qu'un nouveau né soit une fille est 0,48.
3.1. Une répétition d'expériences
On modélise une naissance dans une famille par une expérience E à deux issues :
F : « avoir une fille » ; G : « avoir un garçon ».
On suppose que le sexe du premier enfant n'influe pas sur celui du second, autrement dit que
les naissances sont indépendantes ;
La situation proposée peut alors être considérée comme deux répétitions de l'expérience E
de façon identique et indépendante.
3.2. Représentation par un arbre
On considère un arbre pondéré. C'est à dire que sur chaque branche, on indique la
probabilité de l'issue correspondante.
Ici on connaît
P ( F ) =0,48
et on en déduit
P ( G ) =P ( F ) =1−P ( F ) =0,52

3.3. Modélisation : choix d'une loi de probabilité
Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes, représentés par un
arbre pondéré.
•On choisit la loi de probabilité suivante : la probabilité d'un événement
correspondant à un chemin sur un arbre est obtenue en multipliant les probabilités
portées par ses branches.
•La probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est alors obtenue
en ajoutant les probabilités des événements correspondants à chaque chemin,
puisque ceux-ci sont incompatibles.
Exemple
Déterminons la probabilité de l’événement : « avoir une fille et un garçon ».
L’événement : « avoir une fille et un garçon » correspond à deux chemins sur l'arbre
représentants les événements
FG
et
GF
incompatibles.
P ( FG ) +P ( GF ) =0,48×0, 52+0 , 52×0, 48=0,4992≈0, 5
À
10−3
près.
F
0,48
F
0,48
G
0,52
G
0,52 F
0,48
G
0,52