Université Nice-Sophia Antipolis - Statistiques Licence 2e année

Université Nice-Sophia Antipolis - Statistiques
Licence 2e année 2015-2016
FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS No 4
VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES
1. Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité est donnée par :


si x ∈ [0, 1]
x
f (x) = 2 − x si x ∈ [1, 2]

0
ailleurs
(a) Vérifier que f est bien une fonction de densité.
(b) Déterminer la fonction de répartition F de X. Tracer les graphes de F et de f .
(c) Déterminer la médiane de X.
(d) Calculer P(|X − 1| < 1) puis P(|X − 1| < 1/2).
(e) Calculer l’espérance et la variance de X.
2. On considère une variable aléatoire X réelle dont la densité de probabilité est définie par :
(
λx−2 si x ∈ [1, 10]
f (x) =
0
ailleurs
(a) Pour quelle valeur de λ la fonction f est-elle bien une densité de probabilité ?
(b) Déterminer l’espérance et la variance de X.
(c) Déterminer la fonction de répartition de X. Calculer P(X > 3) et P(X > 2).
3. (a) Le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine suit la loi
exponentielle de paramètre λ = 1/2.
(i) Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède deux heures ?
(ii) Calculer le temps moyen de réparation.
(b) Soit T une variable de loi exponentielle de paramètre λ > 0.
(i) Trouver le paramètre λ de cette loi sachant que P(T ≤ 70) = 0.05.
(ii) Déduisez-en P(T > 30).
4. On considère la fonction f définie par :

−x

 θ − 1/2 si − θ < x ≤ −θ/2
f (x) = xθ − 1/2
si θ/2 < x ≤ θ

0
ailleurs
où θ est un réel strictement positif.
(a) Déterminer θ pour que f soit une fonction de densité.
(b) Déterminer la fonction de répartition F associée à cette densité.
(c) Calculer E(X) et V(X), où X est une variable aléatoire de densité f .
1
5. * Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0.
(a) On note [x] la partie entière du nombre réel x et l’on pose T = [X] + 1. Quelles sont
les valeurs prises par T ? Déterminer en fonction de p = 1 − e−λ la loi de T .
(b) Soit Y une variable aléatoire indépendante de X et de même loi que X. Déterminer
la loi de min(X, Y ) et de max(X, Y ).
6. On considère une variable aléatoire réelle X de loi uniforme U(]0, 4[).
(a) Déterminer la loi de la variable Y = −4X + 3.
(b) Déterminer la loi de la variable Z = X 2 .
7. (a) Soit X une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. À l’aide d’une table,
calculer une valeur approchée des probabilités suivantes :
P(0 < X < 1),
P(−1 < X < 1),
P(−2.21 < X < 1.16).
(b) Soit X une variable aléatoire de loi normale N (−2, 4). À l’aide d’une table, calculer
une valeur approchée des probabilités suivantes :
P(0 < X < 1),
P(−0.7 < X < −0.3),
P(1 < X < 2).
(c) Soit X une variable aléatoire de loi normale N (0, 1). À l’aide d’une table, calculer,
pour chacune des probabilités ci-après, une valeur approchée du paramètre a :
P(0 < X < a) = 0.95,
P(−a < X < a) = 0.96.
(d) Soit X une variable aléatoire de loi normale N (1, 9). À l’aide d’une table, calculer,
pour chacune des probabilités ci-après, une valeur approchée du paramètre a :
P(a < |X|) = 0.05.
P(a < X) = 0.05,
8. * Soit une variable aléatoire X dont la densité est :
(
x −x2 /(2α2 )
si x ≥ 0
2e
α
f (x) =
0
ailleurs
2
2
(a) Montrer que la fonction de répartition de X est FX (x) = 1 − e−x /(2α ) .
(b) Déterminer une expression pour le p-ième centile.
p
(c) Montrer par le calcul que : E(X) = α π/2 et V(X) = α2 (4 − π)/2
9. * Soit α > 2 et soit f la fonction définie par :
(
cx−α−1 si x ∈ [1, +∞[
f (x) =
0
ailleurs
(a) Déterminer c en fonction de α pour que f soit une fonction de densité.
(b) On choisit désormais c comme ci-dessus. Soit X une variable aléatoire de densité f .
Déterminer la fonction de répartition de X.
(c) Soit Y une variable aléatoire de même loi que X et indépendante de X. Déterminer
la fonction de répartition et la densité de la variable Z = min(X, Y ).
(d) Calculer, en fonction de α, l’espérance et la variance de X.
(e) Déterminer α lorsque E(X) = 4/3.
2