Université Nice-Sophia Antipolis - Statistiques Licence 2e année

Université Nice-Sophia Antipolis - Statistiques Licence 2eannée 2015-2016
FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS No4
VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES
1. Soit Xune variable aléatoire dont la fonction de densité est donnée par :
f(x) = 
xsi x∈[0,1]
2−xsi x∈[1,2]
0ailleurs
(a) Vérifier que fest bien une fonction de densité.
(b) Déterminer la fonction de répartition Fde X. Tracer les graphes de Fet de f.
(c) Déterminer la médiane de X.
(d) Calculer P(|X−1|<1) puis P(|X−1|<1/2).
(e) Calculer l’espérance et la variance de X.
2. On considère une variable aléatoire Xréelle dont la densité de probabilité est définie par :
f(x) = (λx−2si x∈[1,10]
0ailleurs
(a) Pour quelle valeur de λla fonction fest-elle bien une densité de probabilité ?
(b) Déterminer l’espérance et la variance de X.
(c) Déterminer la fonction de répartition de X. Calculer P(X > 3) et P(X > 2).
3. (a) Le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine suit la loi
exponentielle de paramètre λ= 1/2.
(i) Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède deux heures ?
(ii) Calculer le temps moyen de réparation.
(b) Soit Tune variable de loi exponentielle de paramètre λ > 0.
(i) Trouver le paramètre λde cette loi sachant que P(T≤70) = 0.05.
(ii) Déduisez-en P(T > 30).
4. On considère la fonction fdéfinie par :
f(x) = 
−x
θ−1/2si −θ < x ≤ −θ/2
x
θ−1/2si θ/2< x ≤θ
0ailleurs
où θest un réel strictement positif.
(a) Déterminer θpour que fsoit une fonction de densité.
(b) Déterminer la fonction de répartition Fassociée à cette densité.
(c) Calculer E(X)et V(X), où Xest une variable aléatoire de densité f.
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5. * Soit Xune variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0.
(a) On note [x]la partie entière du nombre réel xet l’on pose T= [X]+1. Quelles sont
les valeurs prises par T? Déterminer en fonction de p= 1 −e−λla loi de T.
(b) Soit Yune variable aléatoire indépendante de Xet de même loi que X. Déterminer
la loi de min(X, Y )et de max(X, Y ).
6. On considère une variable aléatoire réelle Xde loi uniforme U(]0,4[).
(a) Déterminer la loi de la variable Y=−4X+ 3.
(b) Déterminer la loi de la variable Z=X2.
7. (a) Soit Xune variable aléatoire de loi normale centrée réduite. À l’aide d’une table,
calculer une valeur approchée des probabilités suivantes :
P(0 < X < 1),P(−1< X < 1),P(−2.21 < X < 1.16).
(b) Soit Xune variable aléatoire de loi normale N(−2,4). À l’aide d’une table, calculer
une valeur approchée des probabilités suivantes :
P(0 < X < 1),P(−0.7< X < −0.3),P(1 < X < 2).
(c) Soit Xune variable aléatoire de loi normale N(0,1). À l’aide d’une table, calculer,
pour chacune des probabilités ci-après, une valeur approchée du paramètre a:
P(0 < X < a) = 0.95,P(−a<X<a) = 0.96.
(d) Soit Xune variable aléatoire de loi normale N(1,9). À l’aide d’une table, calculer,
pour chacune des probabilités ci-après, une valeur approchée du paramètre a:
P(a<X)=0.05,P(a < |X|)=0.05.
8. * Soit une variable aléatoire Xdont la densité est :
f(x) = (x
α2e−x2/(2α2)si x≥0
0ailleurs
(a) Montrer que la fonction de répartition de Xest FX(x) = 1 −e−x2/(2α2).
(b) Déterminer une expression pour le p-ième centile.
(c) Montrer par le calcul que : E(X) = αpπ/2et V(X) = α2(4 −π)/2
9. * Soit α > 2et soit fla fonction définie par :
f(x) = (cx−α−1si x∈[1,+∞[
0ailleurs
(a) Déterminer cen fonction de αpour que fsoit une fonction de densité.
(b) On choisit désormais ccomme ci-dessus. Soit Xune variable aléatoire de densité f.
Déterminer la fonction de répartition de X.
(c) Soit Yune variable aléatoire de même loi que Xet indépendante de X. Déterminer
la fonction de répartition et la densité de la variable Z= min(X, Y ).
(d) Calculer, en fonction de α, l’espérance et la variance de X.
(e) Déterminer αlorsque E(X) = 4/3.
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