Sommaire de la séquence 10

Sommaire de la séquence 10
Séance 1 ........................................................................................................
J’étudie un problème concret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 2 .......................................................................................................
Je maîtrise le vocabulaire ...................................................................................
Séance 3 .......................................................................................................
J’effectue quelques exercices ..............................................................................
Séance 4 .......................................................................................................
J’étudie un deuxième problème ...........................................................................
Séance 5 .......................................................................................................
Je découvre les polygones réguliers ......................................................................
Séance 6 .......................................................................................................
J’étudie les polygones réguliers ...........................................................................
Séance 7 ........................................................................................................
Je construis des polygones réguliers .....................................................................
Séance 8........................................................................................................
J’étudie les polygones réguliers -suite- ..................................................................
Séance 9 .......................................................................................................
J’effectue des exercices de synthèse ....................................................................
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Objectifs
Connaître les notions « d’angle au centre » et « d’angle inscrit » dans un cercle.
Savoir mener des calculs d’angles et de longueurs dans des polygones réguliers.
Être capable d’utiliser un maximum de moyens (tableur, géométrie dynamique, ... ) pour chercher à
résoudre des problèmes.
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Cned, Mathématiques 3e –
213
Séquence 10
Séance 1
J’étudie un problème concret
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°10.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.
Une fois ce travail terminé, reporte-toi au livret de corrigés et étudie bien le corrigé de ce test. Lis
attentivement les commentaires du professeur : c’est nécessaire pour pouvoir effectuer les exercices
qui suivent dans de bonnes conditions.
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1-
O est un point de [AB].
Le segment [AB] est :
 le diamètre du cercle.
 une corde du cercle.
 un rayon du cercle.
 un diamètre du cercle.
2-
A et B sont deux points
d’un cercle de centre O.
La notation
AB
représente :
 l’arc rouge.
 l’arc vert.
 la longueur AB
 le segment d’extrémités A et B.
3- La figure ci-dessous est représentée à main
levée. A et B sont deux points
d’un cercle C de centre O.
Quelle est la mesure de
l’angle
AOB
?
 50°
 70°
 110°
 130°
4- Parmi les figures ci-dessous, lesquelles sont des
polygones ?
 un parallélogramme.
 un cercle.
 un triangle.
 un trapèze.
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris :
« SÉQUENCE 10 : POLYGONES RÉGULIERS ». Effectue l’exercice suivant dans ton cahier
d’exercices. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te reporter à son corrigé et de lire
attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les commentaires du professeur ».
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– Cned, Mathématiques 3e
214
Séquence 10
EXERCICE 1
Un footballeur est placé sur la partie de cercle ci-contre.
Il est représenté par le point M.
Le footballeur essaie de marquer un but.
Problème :
En quel point de ce cercle l’angle de tir
AMB
est-il le plus grand ?
1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes.
Aides :
● N’hésite pas à faire des tests à l’aide de la figure ci-contre, ou à utiliser
une figure dynamique, ou autre …
● Si tu veux construire une figure dynamique, lis l’aide de Nadia :
J’ai tracé un cercle de centre O et de rayon 5 cm, puis j’ai placé deux points A et B
sur ce cercle.
J’ai ensuite placé le point M sur le cercle puis j’ai mesuré l’angle
AMB
.
Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence10exercice1question1
à l’aide de Geogebra (c’est la figure toute faite !).
2-
La conjecture qu’il fallait établir lors de la question précédente est : « l’angle de tir est toujours le
même ».
Compare cet angle
AMB
et l’angle
AOB
.
Aides :
● Pour cela, mesure par exemple ci-contre l’angle
AOB
.
● Tu peux aussi utiliser la géométrie dynamique.
Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier
sequence10exercice1question2 à l’aide de Geogebra.
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Cned, Mathématiques 3e –
215
Séquence 10
3-
La conjecture qu’il fallait établir lors de la question précédente est : « l’angle de tir est toujours le
même : c’est la moitié de l’angle
AOB
, où O est le centre du cercle».
Andry, Clément et Pauline vont essayer de démontrer cette conjecture.
a)
Andry essaie de prouver cette conjecture, c’est-à-dire :
2=
AOB AMB
quand les points M, A et O sont alignés.
Il pose : x =
AMB
Il réussit à démontrer que :
2
=
AOB x
après avoir :
● trouvé la nature du triangle OBM,
● calculé la mesure de
BOM
en fonction de x.
Essaie de retrouver la démonstration d’Andry.
b)
Clément essaie de prouver cette conjecture, c’est-à-dire :
2=
AOB AMB
dans le cas ci-contre.
Clément veut utiliser le résultat d’Andry.
Pour cela, il introduit N le 2ème point d’intersection du cercle et de la droite (MO).
● Exprime
AON
en fonction de
AMN
.
● Exprime
NOB
en fonction de
NMB
.
● Déduis de tes deux dernières réponses que :
AOB 2AMB
=.
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216
Séquence 10
c)
Pauline essaie de prouver la conjecture dans le cas ci-contre.
Pauline veut utiliser le résultat d’Andry.
Pour cela, elle introduit N le 2ème point d’intersection du cercle et de la droite (MO).
● Exprime
NOB
en fonction de
NMB
.
● Exprime
NOA
en fonction de
NMA
.
● Déduis de tes deux dernières réponses que :
AOB 2AMB
=.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°5. Effectue ensuite la
série 3 de cette fiche.
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