Sommaire de la séquence 10
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Sommaire de la séquence 10 Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’étudie un problème concret ................................................................................ Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je maîtrise le vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’effectue quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’étudie un deuxième problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je découvre les polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’étudie les polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je construis des polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’étudie les polygones réguliers -suite- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objectifs Connaître les notions « d’angle au centre » et « d’angle inscrit » dans un cercle. Savoir mener des calculs d’angles et de longueurs dans des polygones réguliers. Être capable d’utiliser un maximum de moyens (tableur, géométrie dynamique, ... ) pour chercher à résoudre des problèmes. Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu’à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d’un cours ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. ©Cned-2009 © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Séance 1 J’étudie un problème concret Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°10. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. Une fois ce travail terminé, reporte-toi au livret de corrigés et étudie bien le corrigé de ce test. Lis attentivement les commentaires du professeur : c’est nécessaire pour pouvoir effectuer les exercices qui suivent dans de bonnes conditions. JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e 1- 2- O est un point de [AB]. A et B sont deux points d’un cercle de centre O. Le segment [AB] est : La notation représente : AB le diamètre du cercle. l’arc rouge. une corde du cercle. l’arc vert. un rayon du cercle. la longueur AB un diamètre du cercle. le segment d’extrémités A et B. 3- La figure ci-dessous est représentée à main levée. A et B sont deux points d’un cercle C de centre O. Quelle est la mesure de ? l’angle AOB 4- Parmi les figures ci-dessous, lesquelles sont des polygones ? 50° un parallélogramme. 70° un cercle. 110° un triangle. 130° un trapèze. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris : « SÉQUENCE 10 : POLYGONES RÉGULIERS ». Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les commentaires du professeur ». Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 213 Séquence 10 EXERCICE 1 Un footballeur est placé sur la partie de cercle ci-contre. Il est représenté par le point M. Le footballeur essaie de marquer un but. Problème : est-il le plus grand ? En quel point de ce cercle l’angle de tir AMB 1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes. Aides : ● N’hésite pas à faire des tests à l’aide de la figure ci-contre, ou à utiliser une figure dynamique, ou autre … ● Si tu veux construire une figure dynamique, lis l’aide de Nadia : J’ai tracé un cercle de centre O et de rayon 5 cm, puis j’ai placé deux points A et B sur ce cercle. AMB . J’ai ensuite placé le point M sur le cercle puis j’ai mesuré l’angle Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence10exercice1question1 à l’aide de Geogebra (c’est la figure toute faite !). 2La conjecture qu’il fallait établir lors de la question précédente est : « l’angle de tir est toujours le même ». . et l’angle AOB Compare cet angle AMB Aides : . ● Pour cela, mesure par exemple ci-contre l’angle AOB ● Tu peux aussi utiliser la géométrie dynamique. Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence10exercice1question2 à l’aide de Geogebra. 214 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 3La conjecture qu’il fallait établir lors de la question précédente est : « l’angle de tir est toujours le , où O est le centre du cercle». même : c’est la moitié de l’angle AOB Andry, Clément et Pauline vont essayer de démontrer cette conjecture. a) Andry essaie de prouver cette conjecture, c’est-à-dire : = 2 AOB AMB quand les points M, A et O sont alignés. Il pose : x = AMB = 2 x après avoir : Il réussit à démontrer que : AOB ● trouvé la nature du triangle OBM, en fonction de x. ● calculé la mesure de BOM Essaie de retrouver la démonstration d’Andry. b) Clément essaie de prouver cette conjecture, c’est-à-dire : = 2 AOB AMB dans le cas ci-contre. Clément veut utiliser le résultat d’Andry. Pour cela, il introduit N le 2ème point d’intersection du cercle et de la droite (MO). en fonction de AMN . ● Exprime AON en fonction de NMB . ● Exprime NOB = 2AMB . ● Déduis de tes deux dernières réponses que : AOB Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 215 Séquence 10 c) Pauline essaie de prouver la conjecture dans le cas ci-contre. Pauline veut utiliser le résultat d’Andry. Pour cela, elle introduit N le 2ème point d’intersection du cercle et de la droite (MO). en fonction de NMB . ● Exprime NOB en fonction de NMA . ● Exprime NOA = 2AMB . ● Déduis de tes deux dernières réponses que : AOB Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°5. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. 216 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Séance 2 Je maîtrise le vocabulaire Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS ANGLE AU CENTRE - ANGLE INSCRIT Définition ● Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Exemple : AOB . On dit que cet angle intercepte l’arc AB ● Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle. Exemple : AMB . On dit que cet angle intercepte l’arc AB Propriété (dite « propriété de l’angle inscrit ») : Si dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de celle de l’angle au centre. Exemple : est un angle au centre. • AOB est un angle inscrit • AMB . Ces deux angles interceptent le même arc AB On a donc = AMB 1 2 . AOB Propriété : • Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure. Exemple : Dans le cercle C , est un angle inscrit • AMB = AOB AMB 2 AOB ANB = 2 est un angle inscrit. • ANB . Ces deux angles interceptent le même arc AB On a donc = ANB AMB Effectue l’exercice suivant dans ton livret. EXERCICE 2 Dans chaque cas, O est le centre du cercle C . Pour chaque figure, dis si l’angle marqué est un angle au centre (surligne la bonne réponse). Si c’est le cas, trace en vert l’arc qu’il intercepte. b) c) d) a) oui non oui non oui non oui non Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 217 Séquence 10 Effectue l’exercice suivant dans ton livret. EXERCICE 3 Dans chaque cas, O est le centre du cercle C . Pour chaque figure, dis si l’angle marqué est un angle inscrit (surligne la bonne réponse). Si c’est le cas, trace en vert l’arc qu’il intercepte. b) a) oui c) non oui non d) oui non oui non Effectue l’exercice suivant dans ton livret. EXERCICE 4 On considère la figure ci-contre. O est le centre du cercle. A, B, C et D appartiennent au cercle. B et D sont diamétralement opposés. Relie chaque angle inscrit à l’angle au centre qui intercepte le même arc. angle inscrit • ACB • BDC • CBD • ABD angle au centre • BOC • AOB • COD • AOD Effectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 5 On considère la figure ci-contre. et ADC Nadia dit que les angles inscrits ABC interceptent le même arc. Qu’en penses-tu ? 218 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 EXERCICE 6 A, B, M sont trois points d’un cercle C de centre O. Dans chacun des cas suivants détermine x. a) b) c) d) EXERCICE 7 1- Trace un cercle C de diamètre [AB]. Appelle O son centre. Place un point C sur ce cercle. 2 à l’aide de la propriété dite « de l’angle inscrit ». a) Calcule la mesure de ACB b) Quelle propriété bien connue viens-tu de redémontrer ? EXERCICE 8 On considère la figure ci-contre. P, Q, R sont trois points d’un cercle C de centre O. . Détermine QPR Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°6. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 219 Séquence 10 Séance 3 J’effectue quelques exercices Effectue les exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 9 On considère la figure ci-contre. mesure 28°. Pauline dit que ACD mesure 30°. Thomas affirme que ACD Selon Aurélie, ils ont tort tout les deux. = 29° Elle dit savoir démontrer que : ACD Qui a raison ? EXERCICE 10 On considère la figure ci-contre. I, J, K et L sont quatre points du cercle C de centre O. . Détermine la mesure de l’angle JKL EXERCICE 11 On considère la figure ci-contre. P, Q, R et S sont quatre points du cercle C de centre O. Thomas dit que le triangle PSR est isocèle. Es-tu d’accord avec lui ? EXERCICE 12 On considère la figure ci-contre. U, V, W et X sont quatre points du cercle C de centre O. [UW] est un diamètre de ce cercle. Détermine la mesure des angles du triangle UVW. EXERCICE 13 On considère la figure ci-contre. K, L, M et N sont quatre points d’un cercle C . Les points K, J, M d’une part, et L, J, N d’autre part, sont alignés. . 1- Détermine NLM 2- J est-il le centre du cercle ? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°7. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. 220 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Séance 4 J’étudie un deuxième problème Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 14 Problème : Deux points A et B sont sur un cercle C . M est un point quelconque du grand arc d’extrémités A et B. coupe le cercle C en N. La bissectrice de l’angle AMB Que peut-on dire du point N lorsque le point M se déplace sur le grand arc d’extrémités A et B ? 1- Lis attentivement le problème ci-dessus et essaie de le résoudre pendant 10 minutes. 2- Si tu ne l’as déjà fait, construis une figure dynamique à l’aide de Geogebra. Déplace le point M. Émets ensuite une conjecture et essaie de la prouver. Aide : pour mieux essayer de répondre à la question posée, on peut placer plusieurs points M (appelés M1, …, M4), et représenter en pointillé la bissectrice de chacun des angles AM B , …, AM B . 1 4 Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre la figure sequence10exercice14 à l’aide de Geogebra. . 3- Nous allons essayer de prouver que [ON) est la bissectrice de l’angle AOB a) Essaie de faire la démonstration pendant 10 minutes. AN . Aide : essaie de t’intéresser aux angles qui interceptent l’arc b) Compare : et AMN ● AON et NMB ● NOB et NOB ● AON c) Résous le problème. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°8. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 221 Séquence 10 Séance 5 Je découvre les polygones réguliers Effectue l’exercice ci-dessous. EXERCICE 15 Le père de Thomas désire réaliser dans une pièce le carrelage ci-contre. Problème : il n’a que des carreaux carrés ! Partie 1 Pour obtenir les carreaux octogonaux (ceux qui ont huit côtés) à partir d’un carreau carré de 8 cm de côté, le père de Thomas procède comme indiqué ci-dessous : il retire d’un carreau quatre triangles isocèles. 1- Fabrique des carreaux octogonaux en retirant quatre triangles isocèles comme indiqué ci-dessus. Pour cela, utilise la page de découpage qui se trouve en fin de livret. 1er cas : les côtés de l’angle droit des triangles isocèles mesurent 2 cm. 2ème cas : les côtés de l’angle droit des triangles isocèles mesurent 3 cm. 222 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 2Problème : Comment découper un carreau carré de 8 cm de côté avec la méthode précédente afin d’obtenir un carreau octogonal dont tous les côtés ont la même longueur ? a) Lis attentivement le problème ci-dessus puis essaie de le résoudre pendant 10 minutes. Aide : tu peux essayer de faire des tests, ou d’utiliser la géométrie dynamique. b) Ouvre le fichier sequence10exercice15 à l’aide de Geogebra. Émets une conjecture. c) Exprime : ● AM en fonction de x ● MN en fonction de x ● NS en fonction de x Aide : Selon Andry : NS = AD – AN – SD ● Traduis l’équation : MN = NS en une équation dont les membres ne dépendent que de x. ● Résous ensuite l’équation : 2x = 8 − 2x d) Aurélie a trouvé : x = 8 2+ 2 Pauline aussi, mais en multipliant le numérateur et le dénominateur du quotient 8 par 2 − 2 et en développant et simplifiant, elle dit qu’elle a trouvé une 2+ 2 expression plus simple : x = 4(2 − 2) . Que penses-tu de la remarque de Pauline ? e) Résous le problème en donnant une valeur approchée au millimètre. Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 223 Séquence 10 Partie 2 1Le père de Thomas a réussi à construire dans un carré un polygone dont les huit côtés ont la même longueur. Que peux-tu dire des huit angles de ce polygone ? 2- Le père de Thomas voudrait disposer ces polygones dont les huit côtés ont la même longueur comme ci-contre. Il se demande si les pavés rouges sont des carrés. Qu’en penses-tu ? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°9. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. 224 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Séance 6 J’étudie les polygones réguliers Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS POLYGONES RÉGULIERS Définition Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles ont la même mesure. Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 16 Dans chacun des cas suivants, dis si le polygone proposé est un polygone régulier. a) carré b) triangle équilatéral c) Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 17 Clément et Aurélie pensent qu’on pourrait raccourcir la définition d’un polygone régulier, mais ils ne sont pas d’accord sur la méthode. Selon Clément, un polygone qui a ses côtés de même longueur est nécessairement un polygone régulier. Selon Aurélie, un polygone qui a ses angles de même mesure est nécessairement un polygone régulier. Que penses-tu de leurs affirmations ? Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 225 Séquence 10 Regarde attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Exemples : Contre-exemples : Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 18 Cherche, si besoin, les noms suivants dans ton dictionnaire, puis utilise-les pour compléter les pointillés. Ennéagone - heptagone - dodécagone - pentagone - hendécagone - octogone - décagone - hexagone 226 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 EXERCICE 19 Problème : Les sommets d’un polygone régulier sont-ils sur un même cercle ? Si c’est le cas, ce cercle est-il unique ? On ne cherchera pas à résoudre ce problème, mais uniquement à établir une conjecture. 1Lis attentivement le problème ci-dessus puis essaie d’émettre une conjecture. Tu peux faire des tests à l’aide des polygones réguliers « que tu connais » et à l’aide des polygones réguliers ci-dessous. Tu peux également utiliser la géométrie dynamique. 2Nadia, qui a devant elle la figure ci-contre, dit : « S’il existe un cercle C passant par les cinq sommets du pentagone régulier ABCDE, alors C passe par les trois points non alignés A, B, C. Je sais donc déterminer son centre O ». Essaie de déterminer O. Le cercle de centre O qui passe par A semble-t-il passer par tous les sommets du pentagone ? 3- Trace des polygones réguliers de ton choix à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Peux-tu, dans chaque cas, tracer un cercle qui passe par tous les sommets du polygone ? Aide : si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence10exercice19. Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 227 Séquence 10 Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété (admise) et définition : Il existe un cercle unique passant par tous les sommets d’un polygone régulier, appelé cercle circonscrit au polygone régulier. Son centre s’appelle le centre du polygone régulier. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°10. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. 228 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Séance 7 Je construis des polygones réguliers Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 20 1- Voici une figure à main levée représentant un triangle équilatéral et son cercle circonscrit C de centre O. , BOC et AOC . Compare les angles AOB Ces trois angles sont appelés « angles au centre du triangle équilatéral». 2- Voici une figure à main levée représentant un carré et son cercle circonscrit C de centre O. , BOC , COD et DOA . Compare les angles AOB Ces quatre angles sont appelés « angles au centre du carré ». 3- Un polygone régulier à n côtés possède n angles au centre. Quelle conjecture peux-tu émettre à propos de ses angles au centre ? Aide : tu peux utiliser le dodécagone régulier cicontre, ou utiliser la géométrie dynamique (tracer par exemple avec Geogebra un dodécagone régulier et mesurer ses 12 angles au centre). Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence10exercice20. Lis attentivement le paragraphe suivant. Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 229 Séquence 10 Propriété (admise) : Un polygone régulier à n côtés et de centre O a tous ses angles au centre qui ont la même mesure. Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 21 On considère un polygone régulier à n sommets. a) Quelle est la somme des mesures de ses n angles au centre ? b) Combien mesure chacun de ces angles au centre ? Lis attentivement le paragraphie ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. Propriété (admise) : Un polygone régulier à n côtés a tous ses angles au centre qui ont la même 360°° mesure : . n Effectue l’exercice ci-dessous dans ton livret. EXERCICE 22 Construis : 1- un carré ABCD de centre O. 3- un pentagone régulier de centre O. 2- un hexagone régulier ABCDEF de centre O. 4- un octogone régulier de centre O. 230 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA MÉTHODE Construire un pentagone régulier A1A2A3A4A5 Je trace un cercle de rayon quelconque, de centre O. Je place un point A1 quelconque sur ce cercle. Je calcule la mesure d’un angle au centre d’un pentagone 360° régulier : = 72°. 5 Je construis un angle A1OA2 de mesure 72°. Je prends comme écartement de compas la longueur A1A2. Je reporte cet écartement 5 fois sur le cercle. J’obtiens ainsi un pentagone régulier A1A2A3A4A5. Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 231 Séquence 10 Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 23 Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O. 1a) Quelle est la nature du triangle OAB ? b) Déduis de la question précédente une construction à l’aide d’une règle et d’un compas d’un hexagone régulier de 3 cm de côté. Fais cette construction. 2Nadia dit que sur une figure correcte, les point A, O, et D sont alignés, ainsi que les points B, O et E, ainsi également que les points C, O et F. Qu’en penses-tu ? 3- Aurélie dit que sur une figure correcte, les segments [AB] et [ED] sont parallèles, ainsi que les segments [BC] et [EF], ainsi également que les segments [CD] et [AF]. Qu’en penses-tu ? 4- Détermine ABD 5- Combien mesurent les angles de l’hexagone régulier ABCDEF ? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche. 232 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Séance 8 J’étudie les polygones réguliers -suiteEffectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 24 On dit qu’un polygone permet de réaliser un pavage du plan si on peut recouvrir le plan à l’aide de copies de ce polygone, sans laisser de trou, et sans que les polygones ne se chevauchent. Tout au long de cet exercice, tu vas pouvoir faire des essais de pavages avec les polygones réguliers ci-dessous. 1- Peut-on paver le plan avec des carrés ? Des triangles équilatéraux ? 2a) Aurélie dit qu’elle n’arrive pas à paver le plan à l’aide de pentagones réguliers. Essaie de paver le plan avec les pentagones réguliers de la page de découpage. b) Andry dit qu’il n’était pas nécessaire de manipuler des pavés pour s’en rendre compte et qu’il suffit de ci-contre avec un angle d’un comparer l’angle ABC pentagone régulier. Retrouve le raisonnement d’Andry. 3a) Combien mesurent les angles d’un hexagone régulier ? b) Peut-on paver le plan à l’aide d’hexagones réguliers ? Si oui : ● mets-le en évidence à l’aide d’un schéma à main levée, ● pouvais-tu prévoir ce résultat sans manipuler des pavés ? 4- Peut-on paver le plan avec des heptagones réguliers ? Aide : raisonne avec les angles ! Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 233 Séquence 10 Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 25 Les alvéoles des abeilles ont la forme d’hexagones réguliers. Le géomètre grec Pappus d’Alexandrie (IVe siècle avant J.C.) fut un des premiers scientifiques à se demander pourquoi les abeilles construisent précisément leurs alvéoles sous cette forme. On a vu précédemment, que les seuls polygones réguliers qui permettent de paver le plan sont le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier. Pourquoi les alvéoles n’ont-elles pas la forme d’un triangle équilatéral ou d’un carré ? Le but de l’exercice suivant est de tenter de donner une réponse à cette question... 1a) Les trois polygones réguliers ci-dessous ont une aire de 2 cm2. Lequel a le plus petit périmètre ? b) Même question que précédemment pout les trois polygones réguliers ci-dessous qui ont une aire de 3 cm2. 2- Ouvre le fichier sequence10exercice25 à l’aide de Geogebra. Fais varier l’aire de chacun des polygones réguliers puis compare leurs périmètres. Que remarques-tu ? 234 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 3- Regarde ci-contre les représentations graphiques du périmètre de chacun de ces polygones en fonction de leur aire. Que peux-tu dire ? Si tu possèdes Geogebra, étudie la figure dynamique sequence10exercice25question3 (déplace le point rouge !). Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 26 Dans cet exercice, l’unité de longueur est le dm. Un polygone régulier à n côtés de centre O est inscrit dans un cercle de 0,5 de rayon. Sur la figure ci-contre, A1 et A2 sont deux sommets consécutifs du polygone. 1 a) Calcule A 1OH puis déduis-en une expression de A1H en fonction de n. Aide 1 : n’oublie pas que les angles au centre d’un polygone régulier à n sommets mesurent 360° ! n Aide 2 : Pense à utiliser le sinus d’un angle. 180° b) Montre que le périmètre du polygone régulier est : Pn = n sin n Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 235 Séquence 10 2a) Fais le tableau suivant dans un tableur. Fais varier ensuite le nombre de côtés. Aide : si tu n’arrive pas à programmer la feuille de calculs, ouvre le fichier sequence10exercice26 à l’aide d’open office Calc. Quel est l’arrondi au centième du périmètre d’un polygone régulier de 55 côtés ? de 70 côtés ? de 100 côtés ? Ce résultat t’étonne-t-il ? b) Ouvre le fichier sequence10exercice26 à l’aide de Geogebra. Déplace le curseur pour modifier le nombre de sommets. Que remarques-tu ? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche. 236 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 27 Un menuisier s’apprête à tailler un pied de lampe dans un cylindre en chêne de 1,5 cm de hauteur. Ce pied de lampe aura la forme d’un prisme droit, de base un hexagone régulier ABCDEF de 10 cm de côté. 1 . Tu appelleras O son centre. 4 Trace H le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur (AB). 1- Représente l’hexagone à l’échelle 2Le menuisier enduit de vernis une base du prisme (le dessus du pied de la lampe) ainsi que sa surface latérale. Quelle est l’aire en cm² de la surface à enduire ? Tu donneras la valeur exacte ainsi que l’arrondi à l’unité du résultat. Cherche la question en 15 minutes. Rappel : aire latérale d’un prisme = périmètre de base × hauteur Aides : Aurélie : « Ce qui m’a paru le plus difficile, c’est de calculer l’aire de l’hexagone ». Pauline : « Oh ! Une fois qu’on a calculé l’aire du triangle OAB, c’est simple. » Clément : « Notre professeur nous a dit que l’arrondi cherché est l’un des cinq 610 350 416 512 675 nombres suivants : C’est sympa, n’est-ce pas ?» Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 237 Séquence 10 Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 28 La figure ci-contre représente un polygone régulier à 9 côtés (ennéagone). Détermine la mesure des angles marqués d’un point d’interrogation. Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. 238 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne Séquence 10 JE M’ÉVALUE Pour répondre aux questions 1 et 2, tu utiliseras la figure ci-dessous. 1- Parmi les angles ci-dessous, lequel (lesquels) est (sont) un (des) angle(s) au centre du cercle C ? 2- Parmi les angles ci-dessous, lequel (lesquels) est un (des) angle(s) inscrit(s) dans le cercle C ? BOD GAF GAF EFA BCD EFA Pour répondre aux questions 3 et 4, tu utiliseras la figure ci-dessous. 3- Parmi les angles ci-dessous, lequel(lesquels) intercepte(nt) le petit arc d’extrémités K et L ? 30° 15° 40° 20° BOD BCD 4- Parmi les angles ci-dessous, lequel(lesquels) intercepte(nt) le grand arc d’extrémités K et L ? KNL KML KML KOL KPL KOL Pour répondre aux questions 5 et 6, tu utiliseras la figure ci-dessous. mesure : 5- L’angle HEG KNL KPL mesure : 6- L’angle HGE 30° 15° 40° 20° Cned, Mathématiques 3e – © Cned – Académie en ligne 239 Séquence 10 7- Lequel(lesquels) de ces polygones est (sont) régulier(s) ? a) b) c) 8- La figure ci-dessous représente un décagone régulier (10 côtés) de centre O. mesure : AOB 72° 36° 40° 20° d) 9- La figure ci-dessous représente un octogone régulier de centre O. a pour mesure : ABC 100° 135° 120° 150° 10- Le polygone ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans un cercle de 3 cm de rayon. Alors AB est égal à : 6 sin36° 3 sin72° 6 cos36° 3 cos72° 240 – Cned, Mathématiques 3e © Cned – Académie en ligne
