Classification des groupes réductifs sur un corps k - IMJ-PRG

UPMC 5MF35 Groupes r´eductifs et repr´esentations (2`eme partie) 2015-2016
Classification des groupes r´eductifs sur un corps k
R´ef´erences pour ce chapitre :
[Bl] Andr´e Blanchard, Les corps non commutatifs, P.U.F, 1972. (Chap. III-IV)
[BAlg] Nicolas Bourbaki, Alg`ebre, Chap. 4-7, Masson, 1981 (Chap. V, §§7,10,13) et Chap. 8,
Springer-Verlag, 2012. (§§14-19)
[KMRT] M.-A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol, The book of involutions, Amer.
Math. Soc. 1998. (§§1,2,29)
[Sch] Winfried Scharlau, Quadratic and hermitian forms, Springer-Verlag, 1985. (Chap. 8 et
§§10.1, 10.3)
[Se] Jean-Pierre Serre, Cohomologie galoisienne (5`eme ´edition), Springer-Verlag, 1994. (§§II.5
et III.1)
[SGA3] Sch´emas en groupes (SGA 3), t. III, nouvelle ´edition recompos´ee et annot´ee, Documents
Math´ematiques 8, Soc. Math. France, 2011. (Exp. XXI et XXIV)
[Sp] T. A. Springer, Linear algebraic groups (2nd ed.), Birk¨ auser, 1998. (Chap. 17)
[Ti] Jacques Tits, Liesche Gruppen und Algebren, Springer-Verlag, 1983. (§IV.6)
(1) On fixe un corps de base ket une clˆoture alg´ebrique k. Soit ksla clˆoture s´eparable
de kdans k, i.e. l’ensemble des λ∈kdont le polynˆome minimal sur kn’a que des racines
simples. (On a ks=ksi kest parfait, en particulier si car(k) = 0 ou si kest un corps fini.) Alors
ks/k est une extension galoisienne, i.e. posant Γ = Autk(ks), le sous-corps des invariants
kΓ
s={x∈ks| ∀γ∈Γ, γ(x) = x}´egale k. On ´ecrira Γ = Gal(ks/k). (Pour tout ceci, voir
par exemple [BAlg, §V.10].)
Dans toute la suite, «k-groupe alg´ebrique »signifie : «k-sch´ema en groupes Gaffine de
type fini, g´eom´etriquement r´eduit », i.e. Gest donn´e par une k-alg`ebre de Hopf A=k[G]
de type fini, telle que Ak=A⊗kest r´eduite. Si X= Spec(B) est un k-sch´ema affine et
Kun corps contenant k, on notera X⊗Kou simplement XKle K-sch´ema Spec(BK), o`u
BK=B⊗K.
1. k-groupes r´eductifs
D´efinition 1.1 (k-tores). — Soit Sun k-groupe alg´ebrique.
(i) On dit que Sest un k-tore de dimension rsi S⊗kest isomorphe au produit de r
copies de Gm,k.
(ii) Attention, un k-tore de dimension rn’est pas n´ecessairement isomorphe `a Gr
m,k,
cf. exemples plus bas.
(iii) Si S'(Gm,k)r, on dit que Sest un tore d´eploy´e (de dimension r).
Exemple 1.2. — Supposons car(k)6= 2. Soit δun ´el´ement de kqui n’est pas un carr´e
dans k. Le polynˆome X2−δa deux racines distinctes ±√δdans ket elles sont donc dans
ks; soit k0=k(√δ) l’extension quadratique correspondante. Pour toute k-alg`ebre R, on a
R⊗k0=R⊕R√δet l’application qui `a tout z=x+y√δassocie z=x−y√δest un
automorphisme de R-alg`ebre ; par cons´equent l’application z7→ N(z) = zz =x2−δy2est
un morphisme de groupes Gm(R⊗k0)→k×; notons S(R) son noyau, i.e.
S(R) = {x+y√δ∈(R⊗k0)×|x2−δy2= 1}.
(1)Version du 13 avril 2016.
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Ceci d´efinit un k-foncteur en groupes, qui est repr´esent´e par la k-alg`ebre (de Hopf) A=
k[X, Y ]/(X2−δY 2−1). En faisant dans k0[X, Y ] le changement de variables T=X+√δY
et T0=X−√δY (c’est bien un changement de variables car X= (T+T0)/2 et Y=
(T−T0)/2√δ), on obtient que
Ak0'k0[T, T 0]/(T T 0−1) = k0[T, T −1]
et la loi de groupe est donn´ee par t1·t2=t1t2, i.e. Sk0'Gm,k0. Donc Sest un k-tore de
dimension 1.
Par contre Sn’est pas d´eploy´e. En effet, Sest isomorphe au sous-groupe Hde SL2,k
d´efini par
H(R) = x δy
y x ∈GL2(R)x2−δy2= 1
donc V=k2est une repr´esentation de S. Si S´etait isomorphe `a Gm,k alors Vserait somme
d’espaces de poids donc les ´el´ements de S(k) seraient tous diagonaux dans une certaine
base de V. Or les valeurs propres (dans k0) de la matrice ci-dessus sont x±y√δet celles-ci
ne sont pas dans k(sauf si y= 0).
Remarque 1.3. — On peut montrer (voir plus bas) que les classes d’isomorphisme de
k-tores de dimension 1 non d´eploy´es sont en bijection avec les sous-groupes d’indice 2 de
Γ = Gal(ks/k), i.e. avec les extensions quadratiques de kcontenues dans ks.
En particulier, si k=Ril existe `a isomorphisme pr`es un unique R-tore de dimension 1
non d´eploy´e ; c’est le groupe SO2,R, dont les R-points sont :
SO2(R) = x−y
y x ∈GL2(R)x2+y2= 1.
Terminologie 1.4 (Donn´ees radicielles simplement connexes ou adjointes)
Soit R= (M, M∨, R, R∨) une donn´ee radicielle r´eduite.
(i) Son rang, not´e rang(R), est le rang des groupes ab´eliens libres Met M∨=
HomZ(M, Z).
(ii) Le rang semi-simple de R, not´e rangss(R), est le rang du sous-groupe Q(R) = ZR
de M. On dit que Rest semi-simple si rangss(R) = rang(R), ce qui ´equivaut `a dire que
R(resp. R∨) engendre M⊗Q(resp. M∨⊗Q) comme Q-espace vectoriel.
(iii) On dit que Rest simplement connexe, resp. adjointe, si ZR=M, resp. ZR∨=
M∨. (Ceci entraˆıne bien sˆur que Rest semi-simple.)
(iv) Nous dirons que Rest irr´eductible si elle est semi-simple et si le syst`eme de racines
Rest irr´eductible.
D´efinition 1.5 (k-groupes r´eductifs). — Soit Gun k-groupe alg´ebrique. On dit que
Gest un k-groupe r´eductif si G⊗kest un k-groupe r´eductif.
Dans ce cas, tous les tores maximaux de G⊗ksont conjugu´es par G(k), leur dimension
commune est not´ee ret s’appelle le rang r´eductif de G; de plus, si Test l’un d’eux
l’ensemble Rdes poids non nuls de Tdans Lie(G)⊗kest un syst`eme de racines et R=
(X(T), X∗(T), R, R∨) est une donn´ee radicielle r´eduite dont la classe d’isomorphisme ne
d´epend pas du choix de T. On dira que Gest un k-groupe r´eductif de type R; son rang
r´eductif est alors r= rang(R).
D´efinition 1.6 (k-groupes r´eductifs d´eploy´es). — Soit Gun k-groupe r´eductif de
type R= (M, M∨, R, R∨).

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(i) On dit que Gest d´eploy´e (sur k) s’il contient un k-tore d´eploy´e Tde dimension
r= rang(R). Dans ce cas, l’ensemble des poids non nuls de Tdans g= Lie(G) est Ret
l’on a R'(X(T), X∗(T), R, R∨).
(ii) Attention, Gn’est pas n´ecessairement d´eploy´e, cf. exemple plus bas.
On admet la proposition suivante (cf. [SGA3, Exp. XXIII et XV 1.2] ou [Sp, §16.3]).
Proposition 1.7 (Unicit´e des groupes d´eploy´es). — Soit Rune donn´ee radicielle
r´eduite. Il existe un k-groupe r´eductif d´eploy´e Hde type R, unique `a isomorphisme pr`es.
Exemples 1.8. — 1) GLn,k, SLn,k, PGLn,k et le groupe symplectique Sp2n,k sont des k-
groupes r´eductifs d´eploy´es. Si car(k)6= 2 et si Jnd´esigne l’´el´ement de GLn(k) dont tous
les coefficients sont nuls sauf ceux de la seconde diagonale qui valent 1 (i.e. Ji,j = 1 si
i+j=net = 0 sinon), il en est de mˆeme du groupe sp´ecial orthogonal SO(Jn)kd´efini par
SO(Jn)(R) = {A∈SLn(R)|tAJnA=Jn}pour toute k-alg`ebre R. (On peut aussi d´efinir
le groupe orthogonal d´eploy´e sur un corps de caract´eristique 2, mais la d´efinition est un
peu diff´erente.)
2) Le R-groupe G= SO(3)R, d´efini par SO(3)(R) = {A∈SLn(R)|tAA =I3}pour
toute R-alg`ebre R, est un R-groupe r´eductif de rang r´eductif 1 car G⊗Cest isomorphe
`a SO(J3)C. Mais Gne contient aucun R-tore d´eploy´e T'Gm,R, car sinon le T-module
V=R3serait somme directe d’espaces de poids, donc tous les ´el´ements de T(R) seraient
diagonaux dans une certaine base de V. Or tout ´el´ement f6= idVde T(R)⊂SO(3)(R) est
une rotation, si elle est diagonalisable alors sa matrice dans une certaine base orthonorm´ee
Best 1 0 0
0−1 0
0 0 −1; alors un ´el´ement diagonalisable gde T(R), commutant `a f, ne peut ˆetre
que l’une des matrices ε0 0
0ε00
0 0 εε0, o`u ε2=1=ε02.
Remarques. — 1) Il existe des donn´ees radicielles semi-simples qui ne sont ni simplement
connexes ni adjointes ; par exemple celle du groupe SLn,k/µd,k, o`u dest un diviseur strict de
n, ou celle du groupe SO(J2n) pour n≥2.
2) Si Rest une donn´ee radicielle simplement connexe (resp. adjointe) de syst`eme de racines R
et si R=R1×···×Rnest la d´ecomposition de Ren produit de syst`emes de racines irr´eductibles,
alors Rest isomorphe au produit R1×···×Rn, o`u chaque Riest la donn´ee radicielle simplement
connexe (resp. adjointe) de type Ri. Ceci explique l’importance des donn´ees radicielles simplement
connexes ou adjointes pour les questions de classification, car elles permettent de se ramener au
cas d’un syst`eme de racines irr´eductible. En dehors du cas simplement connexe ou adjoint, ceci
n’est pas toujours possibe, cf. 3) ci-dessous.
3) La donn´ee radicielle du k-groupe semi-simple G= (SLn,k ×SLn,k)/µn,k, o`u le centre µn,k de
SLn,k est plong´e diagonalement dans SLn,k ×SLn,k ne se d´ecompose pas comme un produit de
deux donn´ees radicielles irr´eductibles.
Tenant pour acquise la classification des donn´ees radicielles r´eduites R, le principe de la classification
des k-groupes r´eductifs est le suivant : on fixe une donn´ee radicielle r´eduite Ret, notant Hl’unique k-
groupe r´eductif d´eploy´e de type R, on va chercher `a classifier tous les k-groupes r´eductifs Gde type R,
en montrant d’abord que G⊗ks'H⊗kspuis en proc´edant par «descente galoisienne »(cf. la section
suivante). Pour cela, on aura besoin de la description suivante du groupe d’automorphismes de H⊗ks(et,
plus g´en´eralement, de H⊗Kpour tout corps Kcontenant k).
Rappels 1.9 (Morphismes de donn´ees radicielles). — Soient R= (M, M∨, R, R∨)
et R0= (M0, M0∨, R0, R0∨) deux donn´ees radicielles. Soit f:M→M0une application
Z-lin´eaire et tf:M0∨ →M∨sa transpos´ee.

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(i) On dit que fest un morphisme de Rvers R0si finduit une bijection de Rsur R0
et tfune bijection de R0∨ sur R∨.
(ii) Un tel morphisme est appel´e une isog´enie si, de plus, fest injectif de conoyau fini.
(iii) On note Aut(R) le groupe des morphismes bijectifs f:R→R; c’est un sous-
groupe de AutZ(M) = GL(M).
D´efinitions 1.10 (Donn´ees radicielles ´epingl´ees). — Une donn´ee radicielle r´eduite
´epingl´ee est un couple (R,∆), o`u R= (M, M∨, R, R∨) une donn´ee radicielle r´eduite et
∆ est une base de R. Le groupe d’automorphismes de cette donn´ee ´epingl´ee est :
Aut(R,∆) = {f∈Aut(R)|f(∆) = ∆}.
Alors, on a le th´eor`eme suivant (cf. [SGA3, §XXIII 6.7 et §XXIV 1]).
Th´eor`eme 1.11. — Soit Hun k-groupe r´eductif d´eploy´e de type R= (M, M∨, R, R∨),
et Had le quotient de Hpar son centre. Pour tout corps Kcontenant k, notons A(K)le
groupe des automorphismes du K-groupe alg´ebrique HK. Soient ∆une base de Ret Dson
diagramme de Dynkin.
(i) A(K)est isomorphe (2) au produit semi-direct Had(K)oAut(R,∆).
(ii) Si Hest semi-simple, on a Aut(R,∆) ⊂Aut(D), et cette inclusion est une ´egalit´e
si Hest simplement connexe ou bien adjoint.
Exemple 1.12. — Soit Dle diagramme de Dynkin de type A1×A1, i.e. Dest form´e de
deux points 1 et 2, sans arˆete. On a Aut(D) = S2. Il y a quatre k-groupes semi-simples
d´eploy´es dont le diagramme de Dynkin est D:
Hsc = (SL2,k)2, H1=Hsc/µ2,k, Had = (PGL2,k)2, H2= SL2,k ×PGL2,k,
o`u dans la d´efinition de H1le centre µ2,k de SL2,k est plong´e diagonalement dans Hsc =
SL2,k ×SL2,k. Pour tous ces groupes, le groupe d’automorphisme de HKcontient Had(K) =
PGL2(K)2. Dans les trois premiers cas, l’automorphisme non trivial de Dse rel`eve en un
automorphisme de H, qui est l’´echange des deux facteurs, donc dans ces trois cas on a
A(K)'Had(K)oS2.(3) Par contre, dans le cas de H2on ne peut ´echanger les facteurs
SL2,k et PGL2,k, non isomorphes, et l’on a A(K) = Had(K).
La fin de ce paragraphe peut ˆetre omise en premi`ere lecture, ceci ne sera utilis´e que pour
ramener la classification des k-groupes r´eductifs de type Rau cas o`u Rest semi-simple et
simplement connexe, puis au cas o`u Rest irr´eductible.
D´efinition 1.13. — On dit qu’une donn´ee radicielle R= (M, M ∨, R, R∨) est «triviale »de
rang ssi R=∅, i.e. si Rest la donn´ee de deux groupes ab´eliens de rang sduaux l’un de l’autre
(M, M∨), i.e. si Rest la donn´ee radicielle d’un k-tore d´eploy´e Sde dimension s.
On peut d´emontrer les r´esultats suivants (cf. [SGA3], §XXI.6 et §XXIV.1).
Th´eor`eme 1.14. — Soient Hun k-groupe r´eductif d´eploy´e de type R,Tun k-tore d´eploy´e de
dimension rang(R), de sorte que R'(X(T), X∗(T), R, R∨). Soit Zla composante connexe du
centre de Het soit Hsc l’unique k-groupe semi-simple d´eploy´e simplement connexe de type R;
notons sc(R)sa donn´ee radicielle. Soit ∆une base de Ret Dson diagramme de Dynkin.
(i) Zest le sous-groupe ferm´e Spec(kM )de T, o`u M=X(T)/X(T)∩QR. On note rad(R)
la donn´ee radicielle triviale (M, HomZ(M, Z)).
(2)Pour obtenir cet isomorphisme, il faut fixer un «´epinglage »de H, i.e. un k-tore d´eploy´e Tde rang
rang(R) et pour tout α∈∆ un g´en´erateur Xαde Lie(H)α.
(3)Ceci montre que la condition «simplement connexe ou adjoint »est une condition suffisante, mais pas
n´ecessaire, pour avoir l’´egalit´e Aut(R,∆) = Aut(D).

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(ii) Posons e H=Z×Hsc. Il existe un morphisme surjectif canonique π:e H→H, dont le
noyau est isomorphe `a un sous-sch´ema en groupes ferm´e du centre de Hsc.
(iii) πcorrespond `a un morphisme de donn´ees radicielles R→rad(R)×sc(R)et l’on a
Aut(R,∆) ⊂AutZ(M)×Aut(D). Par cons´equent, comme e
Het Hont le mˆeme groupe adjoint
associ´e, on a pour tout corps Kcontenant k:
AutK-gpe(HK)⊂AutK-gpe(e HK).
Remarques 1.15. — 1) Le dual de Ms’identifie `a R⊥={µ∈M∨|(α, µ)=0,∀α∈R}.
2) Posons N= (R∨)⊥={χ∈M|(χ, α∨) = 0,∀α∈R}et notons πla projection M→M/N. Alors
(M/N, M ∨∩QR∨, π(R), R∨) est une donn´ee radicielle semi-simple, not´ee d´er(R).
3) Posons P(R∨) = {χ∈(M/N )⊗Q|(χ, α∨)∈Z,∀α∈R}. Alors sc(R) = (P(R∨),ZR∨, π(R), R∨).
2. Descente ins´eparable
Soient Hun k-groupe r´eductif d´eploy´e de type Ret Gun k-groupe r´eductif tel que
G⊗k'H⊗k. Le but de cette courte section est de montrer qu’alors on a d´ej`a G⊗ks'
H⊗ks. Si car(k) = 0 alors ks=ket il n’y a rien `a montrer. On peut donc supposer que
car(k) = p > 0.
D’apr`es un th´eor`eme de Grothendieck ([SGA3, t. II, Exp. XIV, Th. 3.20], voir aussi [Sp,
Th. 13.3.6]), Gcontient un k-tore Sde dimension r= rang(R). Posons A=k[S]. Alors
S⊗kest d´eploy´e, et il suffit de montrer que S⊗ksest d´eploy´e, car ceci entraˆınera que
G⊗ksest un k-groupe r´eductif d´eploy´e de type R, donc isomorphe `a H⊗kspar unicit´e.
Posons Λ = Zr.
Lemme 2.1. — Il existe un corps Ltel que ks⊂L⊂ket [L:ks]<∞et un isomor-
phisme d’alg`ebres de Hopf φ:LΛ∼ −→ A⊗L.
D´emonstration. — Par hypoth`ese, il existe un tel isomorphisme ψ:kΛ∼ −→ A⊗k. Notant
(χ1, . . . , χr) la base canonique de Λ = Zron peut ´ecrire :
ψ(χi) =
N
X
j=1
aij ⊗λij
avec aij ∈Aet λij ∈k. Le sous-corps Lde kengendr´e sur kspar les λij est de degr´e fini sur
kset ψinduit un isomorphisme φde LΛ sur une sous-L-alg`ebre de Hopf A0de AL=A⊗L.
Et, comme A0⊗Lk= Im(ψ) = A⊗k=AL⊗Lk, on a n´ecessairement A0=AL.
D’autre part, comme ksest la clˆoture s´eparable de kdans kalors tout x∈Lest radiciel
sur ks, i.e. il existe n∈Ntel que xpn∈ks. On en d´eduit qu’il existe une suite de sous-corps
ks=K0⊂K1⊂ ··· ⊂ Km=L
telle que chaque Kisoit radiciel d’exposant 1 sur Ki−1, c.-`a-d. xp∈Ki−1pour tout x∈Ki,
condition qu’on ´ecrit : Kp
i⊂Ki−1. (Pour tout ceci, voir [BALg, Chap. V, §5 et §7].) En proc´edant
par r´ecurrence sur m, on voit donc qu’il suffit de d´emontrer la proposition suivante :
Proposition 2.2. — Soient K⊂Ldes corps contenant kset tels que Lp⊂K. Alors
tout isomorphisme de L-alg`ebres de Hopf φ:LΛ∼ −→ A⊗Lenvoie Λdans A⊗Kdonc
provient d’un isomorphisme de K-alg`ebres de Hopf KΛ∼ −→ A⊗K.
Pour d´emontrer la proposition, on a besoin de la g´en´eralisation suivante de la th´eorie de
Galois, due `a Nathan Jacobson (cf. [BAlg, §V.13]).