Chap 10 – Convexité - Mathématiques 2015-2016

Chap 10 – Convexité
Terminale ES
Chap 10 – Convexité
I. Convexité d'une fonction......................................................................................................................4
1) Introduction........................................................................................................................................4
2) Définitions : Fonction convexe, fonction concave.............................................................................4
3) Convexité des fonctions usuelles.......................................................................................................4
4) Lien entre convexité de f et sens de variation de f'.............................................................................5
5) Point d'inflexion.................................................................................................................................5
II. Positions relatives de courbes.............................................................................................................7
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Chap 10 – Convexité 1 / 7
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Chap 10 – Convexité 2 / 7
Vérifier les acquis p 112
Activités : 1 et 2 p 113 (Transmath Activité 1 page 124)
TES.41
Chap 10 – Convexité
Exercices
TES.410
Reconnaître graphiquement des fonctions convexes,
concaves.
3 p 115 ; oral : 30, 31 p 122
Feuille n°60 et 61
TES.411
Etudier la convexité à l'aide des variations de la dérivée.
39 à 41 p 25 ; 9 à 13 p 117, 19 p 119 ; 42 à 59 p 123-124
Feuille n°5, 6, 9, 69, 70, 84, 39, 12
TES.412
Reconnaître un point d’inflexion.
Feuille n°67, 71
TES.413
Connaître les positions relatives des courbes représentant
les fonctions exponentielle, logarithme népérien et
identité.
4, 5, 6 p 115
TES.414
Comparer deux fonctions.
17 p 119, 38 p 123, 41 p 123 ; 61 à 68 p 125
AP p 120 et 121
Exercices bilan :
76 et 78 p 129, 80 à 83 p 130, 92 p 132
Feuille : 85, 130, 70, 89, 90, 138, 142
TP :
73 p 128 geogebra
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I. Convexité d'une fonction
1) Introduction
2) Définitions : Fonction convexe, fonction concave
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et C f sa courbe représentative dans un repère.
La fonction f est dite convexe sur l'intervalle I si sa courbe C f est entièrement située au-dessus de
chacune de ses tangentes.
La fonction f est dite concave sur l'intervalle I si sa courbe C f est entièrement située en-dessous
de chacune de ses tangentes.
Concave
Convexe
3) Convexité des fonctions usuelles
•
•
•
•
•
La fonction carré x→ x 2 est convexe sur ℝ .
1
La fonction inverse x→
est concave sur ℝ*- et convexe sur ℝ*+ .
x
La fonction cube x→ x 3 est concave sur ℝ- et convexe sur ℝ+ .
La fonction racine carrée x→ √ x est concave sur ℝ+ .
La fonction exponentielle x→ e x est convexe sur ℝ .
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4) Lien entre convexité de f et sens de variation de f'.
Théorème admis :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
La fonction f est convexe si, et seulement si, sa fonction dérivée f ' est croissante sur l'intervalle I .
La fonction f est concave si, et seulement si, sa fonction dérivée f ' est décroissante sur l'intervalle I .
Utilisation de la dérivée seconde
Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
On dit que la fonction f est deux fois dérivable sur I lorsque la fonction dérivée f ' est elle-même
dérivable sur I .
Vocabulaire : Dans ce cas, la dérivée de la fonction
On la note f ' ' .
f ' est appelée dérivée seconde de f
.
Propriété : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
La fonction f est convexe si, et seulement si, pour tout réel x ∈I , f ' ' (x )≥ 0 .
La fonction f est concave si, et seulement si, pour tout réel x∈ I , f ' ' (x )≤ 0 .
5) Point d'inflexion
Définition :
Un point d'inflexion d'une courbe est un point en lequel la courbe traverse la tangente.
Si une courbe C admet un point d'inflexion au point A d'abscisse a , alors la fonction f
en a (elle passe de convexe à concave ou inversement).
change de convexité
Propriété admise :
Soit f une fonction deux fois dérivables sur un intervalle I et C f sa courbe représentative dans un repère.
Soit a un réel appartenant à l'intervalle ouvert I.
Le point A d'abscisse a est un point d'inflexion de la courbe C f si, et seulement si, la dérivée seconde
f ' ' s'annule en a en changeant de signe.
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Exemple :
Soit f (x )=x 3 .
Pour tout réel x , on a f ' (x )=3 x 2 et f ' ' (x)=6 x . f ' ' s'annule en changeant de signe en x=0 .
Ainsi, la courbe de la fonction cube admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.
Exercice 1 :
Exercice 3 :
est la fonction définie sur ℝ par f ( x)= xe
On note C f sa courbe représentative.
Montrer que C f admet un point d'inflexion.
f
Exercice 4 :
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Exercice 2 :
−x
.
Exercice 5 :
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II. Positions relatives de courbes
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