Cours Fonctions convexes
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Fonctions convexes I – Fonctions convexes – fonctions concaves 1. Définitions : • Une fonction dérivable sur un intervalle I est dite convexe sur cet intervalle I si sa représentation graphique est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle I. • Une fonction dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle I si sa représentation graphique est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle I. La fonction représentée ci-dessus est concave sur [-2 ;2] et convexe sur [2 ;6] 2. Convexité et fonctions de référence : La fonction 𝑥 ⟼ 𝑥 ! est convexe sur ℝ . La fonction 𝑥 ⟼ 𝑥 est concave sur 0; +∞ La fonction 𝑥 ⟼ 𝑒 ! est convexe sur ℝ . 1 II – Propriétés des fonctions convexes : 1. Extremum Théorème 1 Soit f une fonction convexe et dérivable sur un intervalle I, si pour un réel c de I on a f’(c) = 0 alors f admet un minimum absolu sur I en c. Démonstration : Si f’(c) = 0 la tangente d à la représentation graphique de f a un coefficient directeur nul au point d’abscisse c, elle est donc parallèle à l’axe des abscisses. Or la fonction est convexe sur I donc sa représentation graphique est au-dessus de la droite d d’équation y = f(c) Donc pour tout réel x de I, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) Donc f admet un minimum absolu en c. Théorème 2 Soit f une fonction concave et dérivable sur un intervalle I, si pour un réel c de I on a f’(c) = 0 alors f admet un maximum absolu sur I en c. Démonstration analogue 2. Convexité et opérations Théorème 3 Si f et g sont des fonctions dérivables et convexes sur un intervalle I, alors f+g est une fonction convexe sur I. Si f est une fonction dérivable et convexe sur un intervalle I et k un réel positif, alors kf est une fonction convexe sur I. Théorème 4 Si f et g sont des fonctions dérivables et concaves sur un intervalle I, alors f+g est une fonction concave sur I ? Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I et k un réel positif, alors kf est une fonction concave sur I. Théorème 5 Si f est une fonction dérivable et convexe sur un intervalle I alors – f est une fonction concave sur I. Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I alors – f est une fonction convexe sur I. 2 III – Convexité d’une fonction f, sens de variation de sa dérivée 1. Propriétés admises Théorème 6 Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si sa dérivée f’ est une fonction croissante sur I. Théorème 7 Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave si et seulement si sa dérivée f’ est une fonction décroissante sur I. Illustration : 2. Dérivée seconde : Théorème 8 : Soit f une fonction définie et dérivable sur ]a,b[, si la dérivée seconde f’’ existe sur ]a,b[ alors : 1. Si pour tout réel x de ]a,b[, 𝑓(𝑥) ≥ 0 alors f est convexe sur ]a,b[. 2. Si pour tout réel x de ]a,b[, 𝑓(𝑥) ≤ 0 alors f est concave sur ]a,b[. Démonstration : 1. Si la dérivée seconde f’’ est positive sur un intervalle la dérivée première f’ est croissante sur cet intervalle donc d’après le théorème 6, f est convexe sur cet intervalle. Démonstration analogue pour le 2. IV – Point d’inflexion 1. Définition : Un point d ‘inflexion d’un courbe est un point où la représentation graphique d’une fonction traverse la tangente. (Voir le point C sur la page 1). 2. Soit une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I et a un réel de I. Si f ’’ s’annule et change de signe pour x = a, alors la représentation graphique de la fonction f admet un point d’inflexion de coordonnées (a ;f(a )). 3
