Cours Fonctions convexes

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Fonctions convexes
I – Fonctions convexes – fonctions concaves
1. Définitions :
• Une fonction dérivable sur un intervalle I est dite convexe sur cet intervalle I si
sa représentation graphique est entièrement située au-dessus de chacune de ses
tangentes sur cet intervalle I.
• Une fonction dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle I si
sa représentation graphique est entièrement située au-dessous de chacune de
ses tangentes sur cet intervalle I.
La fonction représentée ci-dessus est concave sur [-2 ;2] et convexe sur [2 ;6]
2. Convexité et fonctions de référence :
La fonction 𝑥⟼𝑥! est
convexe sur ℝ!.
La fonction 𝑥⟼𝑥 est
concave sur 0;+∞!
La fonction 𝑥⟼𝑒! est
convexe sur ℝ!.

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II – Propriétés des fonctions convexes :
1. Extremum
Théorème 1
Soit f une fonction convexe et dérivable sur un intervalle I, si pour un réel c de I on a
f’(c) = 0 alors f admet un minimum absolu sur I en c.
Démonstration :
Si f’(c) = 0 la tangente d à la
représentation graphique de f a un
coefficient directeur nul au point
d’abscisse c, elle est donc parallèle à
l’axe des abscisses.
Or la fonction est convexe sur I donc sa
représentation graphique est au-dessus de
la droite d d’équation y = f(c)
Donc pour tout réel x de I, 𝑓(𝑥)≥𝑓(𝑐)
Donc f admet un minimum absolu en c.
Théorème 2
Soit f une fonction concave et dérivable sur un intervalle I, si pour un réel c de I on a
f’(c) = 0 alors f admet un maximum absolu sur I en c.
Démonstration analogue
2. Convexité et opérations
Théorème 3
Si f et g sont des fonctions dérivables et convexes sur un intervalle I, alors f+g est une
fonction convexe sur I.
Si f est une fonction dérivable et convexe sur un intervalle I et k un réel positif, alors kf
est une fonction convexe sur I.
Théorème 4
Si f et g sont des fonctions dérivables et concaves sur un intervalle I, alors f+g est une
fonction concave sur I ?
Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I et k un réel positif, alors
kf est une fonction concave sur I.
Théorème 5
Si f est une fonction dérivable et convexe sur un intervalle I alors – f est une fonction
concave sur I.
Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I alors – f est une fonction
convexe sur I.

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III – Convexité d’une fonction f, sens de variation de sa dérivée
1. Propriétés admises
Théorème 6
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si sa dérivée f’
est une fonction croissante sur I.
Théorème 7
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave si et seulement si sa dérivée f’
est une fonction décroissante sur I.
Illustration :
2. Dérivée seconde :
Théorème 8 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur ]a,b[, si la dérivée seconde f’’ existe sur
]a,b[ alors :
1. Si pour tout réel x de ]a,b[, 𝑓(𝑥)≥0 alors f est convexe sur ]a,b[.
2. Si pour tout réel x de ]a,b[, 𝑓(𝑥)≤0 alors f est concave sur ]a,b[.
Démonstration :
1. Si la dérivée seconde f’’ est positive sur un intervalle la dérivée première f’ est
croissante sur cet intervalle donc d’après le théorème 6, f est convexe sur cet
intervalle.
Démonstration analogue pour le 2.
IV – Point d’inflexion
1. Définition :
Un point d ‘inflexion d’un courbe est un point où la représentation graphique d’une
fonction traverse la tangente. (Voir le point C sur la page 1).
2. Soit une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I et a un réel de I.
Si f ’’ s’annule et change de signe pour x = a, alors la représentation graphique de la
fonction f admet un point d’inflexion de coordonnées (a ;f(a )).