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TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 6 – Convexité
Chapitre 6 – Convexité
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
II Cours
II-1
1
Fonction convexe et concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Convexité et sens de variation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Point d’inflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
4
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
TES – Mathématiques
TDM
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 6 – Convexité
I
Exercices
Fonction convexe et fonction concave
1
Le programme indique qu’un élève de terminale ES doit savoir reconnaître graphiquement des fonctions convexes et concaves.
– Dire qu’une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle signifie que sa courbe
représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
– Dire qu’une fonction dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle signifie que sa courbe
représentative est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.
Consigne
Huit fonctions f1 à f8 sont représentées graphiquement ci-dessous par les courbes C1 à C8 .
On précise que les fonctions f1 à f4 sont définies par :
√
f3 (x) = ex
f4 = ln(x)
f1 (x) = x2
f2 = x
1. (a) Tracer quelques tangentes à la courbe C1 .
(b) Indiquer si la fonction f1 est convexe, concave, ou ni l’un ni l’autre. On précisera l’intervalle.
2. Même consignes (a) et (b) pour les autres fonctions. Pour certaines fonctions, plusieurs réponses
peuvent être données selon l’intervalle choisi.
20
10
−4 −2
−10
4
C1
2
2
4
−20
2
4
6
C3
C5
50
4
20
−100
TES – Mathématiques
−2
−10
−20
2
2
2
4
−4
2
4
6
C6
−2
−10
−20
TDM
C4
2
−4 −2
−2
4
−4
C720
10
10
2
4
−4 −2
−2
−4
100
−4 −2
−50
−2
−2
C2
4
4
C8
2
2
4
6
−6 −4 −2
−2
2
−4
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 6 – Convexité
2
Tracer chaque fois une courbe qui respecte les conditions indiquées.
1
2
2. La fonction f2 est définie et concave sur [0 ; 5], et f2 (4) = −2 et f2′ (4) = 1
1. La fonction f1 est définie et convexe sur [−4 ; 4] ; f1 (1) = 2 ; f1′ (1) =
3. La fonction f3 est définie et concave sur [−1 ; 2], et f3 (1) = 3 et f3′ (1) = 2
4. La fonction f4 est définie et convexe sur [−5 ; 5], et f4 (0) = −2 et f4′ (0) =
f1
f2
f3
1
4
f4
Convexité et sens de variation de la dérivée.
Le programme indique qu’un élève de terminale ES doit savoir utiliser le lien entre convexité et sens
de variation de la dérivée.
3
On rappelle que, pour une fonction dérivable f représentée par une courbe C , le nombre f ′ (a) est le
coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.
Dire que la fonction dérivée f ′ est croissante signifie que si a augmente, f ′ (a) augmente.
1. (a) Tracer une courbe C représentant une fonction f dont la dérivée f ′ est croissante.
(b) Cette fonction f est-elle convexe ou concave ?
2. Mêmes consignes (a) et (b) pour une fonction f dont la dérivée f ′ est décroissante.
3. Réciproquement, pour les fonctions f1 , f2 , f3 , f4 de l’exercice 1, on a déjà indiqué lesquelles
sont convexes ou concaves. Compléter le tableau ci-dessous, en indiquant aussi chaque fois le
sens de variation de la dérivée.
Fonction
f1
f2
f3
f4
Convexe ou concave ?
Sens de variation de la dérivée ?
4
Ranger les droites (d1 ), (d2 ), (d3 ), (d4 ) dans l’ordre croissant de leurs coefficients directeurs (du
coefficient directeur le plus petit au coefficient directeur le plus grand).
...................................................................................................
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 6 – Convexité
2
−4
5
(d1 )
−2
−2
2
2
(d2 )
−4
−4
−2
−2
2
(d3 )
−4 −2
−2
2
−4
2
2
−4
−2
−2
−4
(d4 )
2
−4
La fonction f est définie par f (x) = x2 + 4x − 1
1. Tracer la représentation graphique de f avec la calculatrice, et indiquer si la fonction f semble
convexe, concave ou ni l’un ni l’autre.
2. Calculer la dérivée f ′ .
3. Pour déterminer le sens de variation de la fonction dérivée, il faut calculer sa dérivée, que l’on
appelle la dérivée seconde et que l’on écrit f ′′ . Calculer la dérivée seconde de f .
4. D’après le signe de la dérivée seconde f ′′ , quelle est le sens de variation de la dérivée f ′ ?
5. En déduire si la fonction f est convexe, concave ou ni l’un ni l’autre.
6
La fonction f est définie par f (x) = x3 − 6x2 + 5x + 10 sur l’intervalle [−1, 5 ; 5].
1. Tracer la représentation graphique de f avec la calculatrice, et indiquer si la fonction f semble
convexe, concave, en indiquant les intervalles approximatifs.
2. Calculer la dérivée f ′ et la dérivée seconde f ′′ .
3. Compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous (signe de f ′′ ).
4. D’après le signe de la dérivée seconde f ′′ , compléter la troisième ligne du tableau ci-dessous
(sens de variation de f ′ ).
5. Compléter la quatrième ligne du tableau pour indiquer sur quel intervalle la fonction f est
convexe ou concave.
x
Signe de f ′′
Variations de f ′
Convexité
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I EXERCICES – page I-4
Chapitre 6 – Convexité
Point d’inflexion
7
1. Par lecture graphique, indiquer sur quel intervalle la
fonction f est convexe et sur quel intervalle la fonction
f est concave.
2.
4
2
On dit qu’un point A appartenant à Cf est un point
d’inflexion lorsque Cf traverse sa tangente au point A.
−4
Déterminer les éventuels points d’inflexion de la
courbe Cf . On pourra tracer plusieurs tangentes.
−2
−2
Cf
2
4
6
−4
8
Dans cet exercice, on revient sur la fonction f de l’exercice sur fiche no 6.
1. Tracer à nouveau la courbe représentative de f avec la calculatrice.
2. Cette courbe a un point d’inflexion. Lequel ?
3. D’après le tableau de l’exercice 6, on peut déterminer précisément le point d’inflexion. Comment ?
4. Avec la calculatrice, tracer la tangente en ce point, pour cela procéder comme indiqué ci-dessous.
• 2nde [dessin] 5
• saisir la valeur de x, puis entrer
9
On considère la fonction f définie sur IR par :
f (x) = x3 .
On note Cf la courbe représentative de f .
6
1. Par lecture graphique,
4
(a) indiquer si la fonction f est convexe ou
concave, en précisant chaque fois l’intervalle ;
(b) déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe Cf .
Cf
2
b
−2
O
−1
1
−2
2. (a) Calculer la dérivée f ′ et la dérivée seconde f ′′ .
−4
(b) Compléter le tableau ci-dessous.
(c) Déterminer le ou les points d’inflexion
à l’aide du tableau.
−6
−8
x
Signe de f ′′
+∞
−∞
Variations de f ′
Convexité
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I EXERCICES – page I-5
Chapitre 6 – Convexité
Manuel Transmath de TES, exercices 1 à 7 page 132
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I EXERCICES – page I-6
Chapitre 6 – Convexité
Manuel Transmath de TES, exercices 8 à 12 page 134
TES – Mathématiques
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I EXERCICES – page I-7
Chapitre 6 – Convexité
Manuel Déclic de TES, exercices 96 page 129 et 138 p 99
TES – Mathématiques
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II COURS – page II-1
Chapitre 6 – Convexité
II
1
Cours
Fonction convexe et concave
Le programme mentionne qu’un élève de TES doit savoir reconnaître graphiquement des fonctions
convexes, concaves.
Définition
– Dire qu’une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle signifie que sa courbe
représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
– Dire qu’une fonction dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle signifie que sa courbe
représentative est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.
Exemples
La fonction carré est
convexe sur IR.
b
La fonction racine carrée est concave sur
[0 ; +∞[.
La fonction exponentielle est convexe sur IR.
La fonction logarithme
népérien est concave
sur ]0 ; +∞[.
b
C1
b
b
b
b
b
C2
C3
b
b
b
b
b
b
C4
2
Convexité et sens de variation de la dérivée
Le programme mentionne qu’un élève de TES doit savoir utiliser le lien entre convexité et sens de
variation de la dérivée.
Propriété
– Une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée
est croissante sur cet intervalle.
– Une fonction dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée
est décroissante sur cet intervalle.
Pour déterminer le sens de variation de la dérivée f ′ , on peut calculer la dérivée de la dérivée, qu’on
appelle la dérivée seconde (f ′′ ), et on peut alors utiliser le signe de la dérivée seconde.
Définition
Lorsque une fonction f est dérivable sur un intervalle, et que sa dérivée f ′ est elle même dérivable
sur cet intervalle, on dit que la fonction f est deux fois dérivable sur cet intervalle.
La dérivée de f ′ , notée f ′′ , est appellée dérivée seconde de f .
Propriété
– Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si
sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
– Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle si et seulement si
sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
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II COURS – page II-2
Chapitre 6 – Convexité
3
Point d’inflexion.
Le programme mentionne qu’un élève de TES doit savoir reconnaître graphiquement un point d’inflexion.
Définition
On dit qu’un point A appartenant à une courbe C est un point d’inflexion de la courbe C lorsque
C traverse sa tangente au point A.
Propriété
Pour la courbe représentative d’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, le point d’abscisse
a est un point d’inflexion si et seulement si la dérivée seconde de cette fonction s’annule en a, en
changeant de signe.
4
Exemples
Exemple 1 (exercice sur fiche no 6).
La fonction f définie par f (x) = x3 − 6x2 + 5x + 10
f ′ (x) = 3x2 − 12x + 5
f ′′ (x) = 6x − 12
x
2
−∞
Signe de f ′′
−
0
(d)
Cf
10
+∞
8
+
6
Variations de f ′
f est concave
Convexité
f est convexe
4
Ce tableau indique que la dérivée seconde s’annule en
x = 2, en changeant de signe. Par conséquent le point A
d’abscisse 2 sur la courbe Cf est un point d’inflexion.
La droite (d) est la tangente à la courbe Cf en A.
La courbe Cf traverse la tangente (d) en A.
2
1
−1
−2
La fonction f définie par f (x) = x3
f ′ (x) = 3x2
f ′′ (x) = 6x
Signe de f
′′
−
+∞
0
10
+
5
Cf
b
f est concave
f est convexe
−3
Ce tableau indique un point d’inflexion au point d’abscisse 0
sur la courbe Cf , qui est le point O, origine du repère.
L’axe des abscisses est la tangente à la courbe Cf en O.
La courbe Cf traverse l’axe des abscisses en O.
TES – Mathématiques
4
15
Variations de f ′
Convexité
3
20
0
−∞
2
−4
Exemple 2 (exercice sur fiche no 9).
x
A
b
TDM
−2
−1−5
O
1
2
−10
−15
−20
−25
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