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Chapitre 6 – Convexité TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 6 – Convexité
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-2
3 ................................................ I-2
4 ................................................ I-2
5 ................................................ I-3
6 ................................................ I-3
7 ................................................ I-4
8 ................................................ I-4
9 ................................................ I-4
II Cours II-1
1 Fonction convexe et concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2 Convexité et sens de variation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3 Pointd’inflexion. ......................................II-2
4 Exemples ..........................................II-2
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Chapitre 6 – Convexité I EXERCICES – page I-1
I Exercices
Fonction convexe et fonction concave
1
Le programme indique qu’un élève de terminale ES doit savoir reconnaître graphiquement des fonc-
tions convexes et concaves.
– Dire qu’une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle signifie que sa courbe
représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
– Dire qu’une fonction dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle signifie que sa courbe
représentative est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.
Consigne
Huit fonctions f1àf8sont représentées graphiquement ci-dessous par les courbes C1àC8.
On précise que les fonctions f1àf4sont définies par :
f1(x) = x2f2=√x f3(x) = exf4= ln(x)
1. (a) Tracer quelques tangentes à la courbe C1.
(b) Indiquer si la fonction f1est convexe, concave, ou ni l’un ni l’autre. On précisera l’inter-
valle.
2. Même consignes (a) et (b) pour les autres fonctions. Pour certaines fonctions, plusieurs réponses
peuvent être données selon l’intervalle choisi.
10
20
−10
−20
2 4−2−4
C12
4
−2
−4
246−2
C22
4
−2
−4
2 4−2−4
C3
2
4
−2
−4
2 4−2−4
C4
50
100
−50
−100
2 4−2−4
C5
10
20
−10
−20
246−2
C6
10
20
−10
−20
246−2
C7
2
4
−2
−4
2−2−4−6
C8
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Chapitre 6 – Convexité I EXERCICES – page I-2
2
Tracer chaque fois une courbe qui respecte les conditions indiquées.
1. La fonction f1est définie et convexe sur [−4 ; 4] ; f1(1) = 2 ; f′
1(1) = 1
2
2. La fonction f2est définie et concave sur [0 ; 5], et f2(4) = −2 et f′
2(4) = 1
3. La fonction f3est définie et concave sur [−1 ; 2], et f3(1) = 3 et f′
3(1) = 2
4. La fonction f4est définie et convexe sur [−5 ; 5], et f4(0) = −2 et f′
4(0) = 1
4
f1f2f3f4
Convexité et sens de variation de la dérivée.
Le programme indique qu’un élève de terminale ES doit savoir utiliser le lien entre convexité et sens
de variation de la dérivée.
3
On rappelle que, pour une fonction dérivable freprésentée par une courbe C, le nombre f′(a) est le
coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.
Dire que la fonction dérivée f′est croissante signifie que si aaugmente, f′(a) augmente.
1. (a) Tracer une courbe Creprésentant une fonction fdont la dérivée f′est croissante.
(b) Cette fonction fest-elle convexe ou concave ?
2. Mêmes consignes (a) et (b) pour une fonction fdont la dérivée f′est décroissante.
3. Réciproquement, pour les fonctions f1,f2,f3,f4de l’exercice 1, on a déjà indiqué lesquelles
sont convexes ou concaves. Compléter le tableau ci-dessous, en indiquant aussi chaque fois le
sens de variation de la dérivée.
Fonction f1f2f3f4
Convexe ou concave ?
Sens de variation de la dérivée ?
4
Ranger les droites (d1), (d2), (d3), (d4) dans l’ordre croissant de leurs coefficients directeurs (du
coefficient directeur le plus petit au coefficient directeur le plus grand).
...................................................................................................
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Chapitre 6 – Convexité I EXERCICES – page I-3
2
−2
−4
2−2−4
(d1)2
−2
−4
2−2−4(d2)
2
−2
−4
2−2−4
(d3)
2
−2
−4
2−2−4
(d4)
5
La fonction fest définie par f(x) = x2+ 4x−1
1. Tracer la représentation graphique de favec la calculatrice, et indiquer si la fonction fsemble
convexe, concave ou ni l’un ni l’autre.
2. Calculer la dérivée f′.
3. Pour déterminer le sens de variation de la fonction dérivée, il faut calculer sa dérivée, que l’on
appelle la dérivée seconde et que l’on écrit f′′. Calculer la dérivée seconde de f.
4. D’après le signe de la dérivée seconde f′′, quelle est le sens de variation de la dérivée f′?
5. En déduire si la fonction fest convexe, concave ou ni l’un ni l’autre.
6
La fonction fest définie par f(x) = x3−6x2+ 5x+ 10 sur l’intervalle [−1,5 ; 5].
1. Tracer la représentation graphique de favec la calculatrice, et indiquer si la fonction fsemble
convexe, concave, en indiquant les intervalles approximatifs.
2. Calculer la dérivée f′et la dérivée seconde f′′ .
3. Compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous (signe de f′′ ).
4. D’après le signe de la dérivée seconde f′′, compléter la troisième ligne du tableau ci-dessous
(sens de variation de f′).
5. Compléter la quatrième ligne du tableau pour indiquer sur quel intervalle la fonction fest
convexe ou concave.
x
Signe de f′′
Variations de f′
Convexité
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Chapitre 6 – Convexité I EXERCICES – page I-4
Point d’inflexion
7
1. Par lecture graphique, indiquer sur quel intervalle la
fonction fest convexe et sur quel intervalle la fonction
fest concave.
2. On dit qu’un point Aappartenant à Cfest un point
d’inflexion lorsque Cftraverse sa tangente au point A.
Déterminer les éventuels points d’inflexion de la
courbe Cf. On pourra tracer plusieurs tangentes.
2
4
−2
−4
2 4 6−2−4
Cf
8
Dans cet exercice, on revient sur la fonction fde l’exercice sur fiche no6.
1. Tracer à nouveau la courbe représentative de favec la calculatrice.
2. Cette courbe a un point d’inflexion. Lequel ?
3. D’après le tableau de l’exercice 6, on peut déterminer précisément le point d’inflexion. Com-
ment ?
4. Avec la calculatrice, tracer la tangente en ce point, pour cela procéder comme indiqué ci-dessous.
•2nde [dessin] 5
•saisir la valeur de x, puis entrer
9
On considère la fonction fdéfinie sur IR par :
f(x) = x3.
On note Cfla courbe représentative de f.
1. Par lecture graphique,
(a) indiquer si la fonction fest convexe ou
concave, en précisant chaque fois l’in-
tervalle ;
(b) déterminer les éventuels points d’inflex-
ion de la courbe Cf.
2. (a) Calculer la dérivée f′et la dérivée sec-
onde f′′.
(b) Compléter le tableau ci-dessous.
(c) Déterminer le ou les points d’inflexion
à l’aide du tableau.
2
4
6
−2
−4
−6
−8
1−1−2O
Cf
x−∞ +∞
Signe de f′′
Variations de f′
Convexité
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