Devoir surveillé de mathématiques n°8 28/03/14 Term ES
Nom :
Exercice 1(4) : lecture graphique
42 p 123
Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
1°) La courbe 1 ci-dessus est celle représentative d'une fonction f sur [-3;3].
Déterminer, par simple lecture graphique, la convexité de cette fonction f.
2°) On considère une fonction g dérivable sur [-4;2], dont la dérivée
a
pour représentation graphique la courbe 2 ci-dessus.
Déterminer, par simple lecture graphique, la convexité de cette fonction g.
3°) On considère une fonction h deux fois dérivable sur [-4;2], dont la dérivée
seconde
a pour représentation graphique la courbe 3 ci-dessus.
Déterminer, par simple lecture graphique, la convexité de cette fonction h.
Exercice 2 : ( 4,5 )
On considère la fonction f définie sur ℝ par
(
)=
3
+
2
+
.
1°) Étudier la convexité de la fonction f.
2°) Déterminer l'équation de la tangente à
f
en son point d'inflexion.
3°) En utilisant les deux questions précédentes, compléter directement sur cet
énoncé par l'intervalle et l'expression algébrique qui conviennent :
∀ x ∈ ….......................,
3
2
>...........................
∀ x ∈ …........................,
3
2
< ….......................
Exercice 3 : (3,5)
On considère la fonction définie sur ℝ
+∗
par f(x)=
(
)
.
1°) Démontrer que f '(x)=
(
)
2
.
2°) a- Résoudre l'inéquation
(
)>
.
(Donner les solutions sous forme d'un intervalle).
b- Effectuer le tableau de variations complet de f sur ℝ
+∗
.
Exercice 4 : ( 8 )
Lors de la propagation d'une rumeur, le nombre d'individus propageant cette
rumeur x jours après son commencement est donné, en unité, par la fonction
f(x)=100+x
4
e
0,1 x
avec x ∈ [0;50]
1°) Déterminer le nombre d'individus propageant cette rumeur initialement.
2°) a- Prouver que
f '(x)= x
2
e
0,1 x
(0,1 x
2
+4x)
.
b- Effectuer le tableau de variation de la fonction f sur [
].
3°) Dans cette question, on admet que la dérivée seconde de
est :
f ' '(x)=e
0,1x
×x
2
×(0,01 x
2
0,8 x+12)
Étudier la convexité de la fonction f sur [
].
4°) En déduire :
a- Le nombre de jours qu'il faut attendre avant que le nombre d'individus
propageant cette rumeur diminue (arrondi à l'unité)
b- Le nombre maximum d'individus propageant cette rumeur (arrondi à
l'unité)
c- Le nombre de jours qu'il faut attendre avant que la croissance du
nombre d'individus propageant cette rumeur diminue.