STATISTIQUES - PROBABILITES – ARITHMETIQUE – CALCUL D

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Complément de connaissances
STATISTIQUES - PROBABILITES – ARITHMETIQUE –
CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES
I) STATISTIQUES – MOYENNES
A) Définition!:! !
!
La moyenne!!!d’une série statistique est le quotient de la somme de toutes les
valeurs de cette série par l’effectif total.
!=!
!"##$!!"#!!"#$%&'(!"!""!#!"#!×!"#$%&"
!""!#$%"!!"!#$ !=!
!!!!+!!!!!+⋯..+!!!!
!
Exemple 1 : Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par
jour sur un mois. On a obtenu la distribution suivante:
!
!
!
!
!!!!!!=!!!×!!!!!!!×!!!!!!!×!!!!!!!×!!!!!!×!!!!×!!!
!!!!!!!!!!!!! ! Donc!!!!!!=!!"" !" !=!6,2!
! !
Exemple 2 : Lorsque les valeurs sont regroupées par classe, le calcul du montant moyen
s’effectue en utilisant les centres des classes comme valeurs de la variable x!i. !
Pour un échantillon de 60 véhicules, on connaît le nombre de km parcourus :
Km ( en milliers)
[0 ; 20 [
[20 ; 40 [
[40 ; 60 [
[60 ; 80 [
Effectif
7
24
20
9
Nb d'interventions xi
3
5
6
7
8
9
Nb de jours ni
2
4
9
6
3
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!
!
!=!!!×!!"!!!!"!×!"!!"!×!"!!!×!"!!
!!!"!!"!!!!!!Donc!!!!!!=!!"!# !"
!≈40,33!!
!
Le nombre moyen de kilomètres parcourus par un véhicule est de 40 333 kilomètres environ.
B) Propriétés de la moyenne :
Propriété 1 : La moyenne est la valeur théorique que prendraient toutes les valeurs si elles
étaient égales.
Propriété 2 : Si on multiplie chaque valeur de la série statistique par un réel a (a non nul),
alors la moyenne est multipliée par a.
Propriété 3 : Si on ajoute à chaque valeur de la série statistique le réel b, alors la moyenne
augmente de b.
Propriété 4 : Si une série est partagée en deux séries d’effectifs N et P, de moyenne ! et !,
alors la moyenne de la série totale est :
! = !!×!!!!!!×!!!
!!!

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II) PROBABILITES
A) Calcul de probabilités
Propriété : Dans une expérience aléatoire :
La probabilité p(A) d’un évènement A vérifie : 0 ≤ p(A) ≤ 1
La somme des probabilités des évènements élémentaires vaut 1.
La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des évènements
élémentaires qui le constituent.
Remarques : La probabilité de l’évènement vide vaut 0 : p(∅) =0
La probabilité de l’évènement certain vaut 1 : p(Ω) =1
Définition : Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même
probabilité de se réaliser, on dit que l’expérience est équiprobable.
Propriété : Lors d’une expérience aléatoire ayant n issues équiprobables :
! ! La probabilité de chaque évènement élémentaire est
!
!
La probabilité d’un évènement A est :!
p(A)!=!!"#$%&!!"!!"#!!"#$%"&'()
!"#$%&!!"!!"#!!"##$%&'#
!!=!!!"!!"!!"#!!é!"#$!!"!!!
!!

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B) Évènement contraire
Définition : On appelle évènement contraire d’un évènement A, l’évènement noté A qui
contient l’ensemble des évènements élémentaires n’appartenant pas à A.
Propriété : La probabilité de l’évènement contraire d’un évènement A est : p(A) = 1 – p(A)
!
! !

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!
III) ARITHMETIQUE
A) Multiples
Définition : Un entier a est appelé multiple d’un entier b non nul si:
Il existe un entier k tel que :%a%=%b%×!k%
%
Propriétés : 0 est un multiple de tout entier
Tout entier est multiple de lui-même et multiple de 1
Si a%et b sont des multiples de c%%% Alors a%+%b%est un multiple de c
Si a%et b%sont des multiples de c%%% Alors a%–%b%%est un multiple de c
Si a%et b%sont des multiples de c%%% Alors a%
×
b%est un multiple de c
Si a%est un multiple de b Alors tout multiple c de a est aussi multiple de b
B) Diviseurs
Définition : Un entier a non nul est appelé diviseur d’un entier b si :
Il existe un entier k tel que : b%=%a%×%k%
Remarque : les expressions suivantes sont équivalentes :
a est un multiple de b ! b est un diviseur de a ! b divise a
Propriétés :
Tout entier est un diviseur de 0 et de lui-même
Tout entier est divisible par 1
Si c est un diviseur de a et c est aussi un diviseur de b