STATISTIQUES - PROBABILITES – ARITHMETIQUE – CALCUL D
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CRPE Mathématiques Complément de connaissances STATISTIQUES - PROBABILITES – ARITHMETIQUE – CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES I) STATISTIQUES – MOYENNES A) Définition : La moyenne ! d’une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l’effectif total. ! = !! !! + !! !! + ⋯ . . +!! !! !"##$ !"# !"#$%&'( "!""!#!"# ×!"#$%&" = !""!#$%" !"!#$ ! Exemple 1 : Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par jour sur un mois. On a obtenu la distribution suivante: Nb d'interventions xi 3 5 6 7 8 9 Nb de jours ni 2 4 9 6 3 1 ! = ! × ! ! ! × ! ! ! × ! ! ! × !! ! ×!!! ×! Exemple 2 : !!!!!!!!!!! Donc ! = !"" !" = 6,2 Lorsque les valeurs sont regroupées par classe, le calcul du montant moyen s’effectue en utilisant les centres des classes comme valeurs de la variable x i. Pour un échantillon de 60 véhicules, on connaît le nombre de km parcourus : Km ( en milliers) [0 ; 20 [ [20 ; 40 [ [40 ; 60 [ Effectif 7 24 20 [60 ; 80 [ 9 1 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques ! = ! × !" ! !" ×!"!!" ×!"!! ×!" !!!"!!"!! Donc ! = !"!# !" ≈ 40,33 Le nombre moyen de kilomètres parcourus par un véhicule est de 40 333 kilomètres environ. B) Propriétés de la moyenne : Propriété 1 : La moyenne est la valeur théorique que prendraient toutes les valeurs si elles étaient égales. Propriété 2 : Si on multiplie chaque valeur de la série statistique par un réel a (a non nul), alors la moyenne est multipliée par a. Propriété 3 : Si on ajoute à chaque valeur de la série statistique le réel b, alors la moyenne augmente de b. Propriété 4 : Si une série est partagée en deux séries d’effectifs N et P, de moyenne ! et !, alors la moyenne de la série totale est : != ! × ! !! × ! !!! 2 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques II) PROBABILITES A) Calcul de probabilités Propriété : Dans une expérience aléatoire : La probabilité p(A) d’un évènement A vérifie : 0 ≤ p(A) ≤ 1 La somme des probabilités des évènements élémentaires vaut 1. La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent. Remarques : La probabilité de l’évènement vide vaut 0 : p(∅) =0 La probabilité de l’évènement certain vaut 1 : p(Ω) =1 Définition : Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser, on dit que l’expérience est équiprobable. Propriété : Lors d’une expérience aléatoire ayant n issues équiprobables : La probabilité de chaque évènement élémentaire est ! ! La probabilité d’un évènement A est : p(A) = !"#$%& !" !"# !"#$%"&'() !"#$%& !" !"# !"##$%&'# = !" !" !"# !é!"#$!!" ! ! 3 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques B) Évènement contraire Définition : On appelle évènement contraire d’un évènement A, l’évènement noté A qui contient l’ensemble des évènements élémentaires n’appartenant pas à A. Propriété : La probabilité de l’évènement contraire d’un évènement A est : p(A) = 1 – p(A) 4 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques III) ARITHMETIQUE A) Multiples Définition : Un entier a est appelé multiple d’un entier b non nul si: Il existe un entier k tel que : a = b × k Propriétés : 0 est un multiple de tout entier Tout entier est multiple de lui-même et multiple de 1 Si a et b sont des multiples de c Alors a + b est un multiple de c Si a et b sont des multiples de c Alors a – b est un multiple de c Si a et b sont des multiples de c Alors a × b est un multiple de c Si a est un multiple de b Alors tout multiple c de a est aussi multiple de b B) Diviseurs Définition : Un entier a non nul est appelé diviseur d’un entier b si : Il existe un entier k tel que : b = a × k Remarque : les expressions suivantes sont équivalentes : a est un multiple de b ó b est un diviseur de a ó b divise a Propriétés : Tout entier est un diviseur de 0 et de lui-même Tout entier est divisible par 1 Si c est un diviseur de a et c est aussi un diviseur de b 5 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques Alors c est un diviseur de (a + b) et de (a – b) Si a est un diviseur de b et si b est un diviseur de c Alors a est un diviseur de c Remarques : (démonstrations à savoir faire) Tout entier divisible par 2 est appelé pair ; sinon il est impair La somme de deux nombres pairs est un nombre pair La somme de deux nombres impairs est un nombre pair Le produit de deux nombres pairs (resp. impairs) est un nombre pair (resp. impair) Le carré d’un nombre pair (resp. impair) est pair (resp. impair) 6 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques IV) CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES A) Unités de mesure Unités de longueur km hm dam m dm cm mm Unités d’aires et unités agraires 1 m² = 100 dm² = 0, 01 dam² 1 hectare (ha) = 1 hm² 1 are (a) = 100 m² 1 centiare (ca) = 1 m² km² hm² ha dam² a m² dm² cm² mm² ca Unités de volumes et de capacité Les m3 sont des unités de volume. Les Litres (L) sont des unités de capacité 1 m3 = 1000 dm3 1 L = 1 dm3 1 m3 = 1 000 L 1 L = 100 cL 1 cm3 = 0,1 cL km3 hm3 dam3 m3 dm3 hL daL L cm3 dL cL mL mm3 7 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques Unités de masse 1 tonne (t) = 1 000 kg 1 quintal (q) = 100 kg 1 kg = 1 000 g t q . kg hg dag g dg cg mg B) Formulaire – figures planes Définition : le périmètre d’une figure plane est la longueur de son contour, une unité de longueur étant choisie. carré rectangle Aire = c² Aire = L×l losange Aire = Périmètre = 4c Périmètre = 2(L+ l) parallélogramme triangle Aire = b×h Aire = b×h 2 ! ×! ! Périmètre = 4c trapèze Aire = (B+b) ×h 2 8 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés CRPE Mathématiques disque Aire = πr² Périmètre= 2 πr 9 Afadec – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés
