CRPE – Mathématiques EXERCICE 1 3,5 points

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CRPE – Mathématiques
EXERCICE 1 3,5 points
Dans cet exercice, cinq affirmations sont proposées. Pour chacune d’elles, dire si elle est
vraie ou fausse. Justifier.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte pas de point.
1. Dans une classe, il y a 20 filles et 15 garçons. La moyenne des tailles des élèves est de
1,7 m et celle des garçons est de 1,8 m.
Affirmation 1 : La moyenne des tailles des filles de cette classe est 1,75 m.
2.
On lance une seule fois un dé truqué à 6 faces. On note le nombre apparu sur la face
supérieure de ce dé. On sait que la probabilité d’obtenir 1, 2, 3, 4 et est la même, et celle
!
d’obtenir 6 est .
!
Affirmation 2 : On a autant de chances d’obtenir un nombre pair qu’un nombre impair.
3.
Soit a un nombre entier naturel.
Affirmation 3 : le nombre
4.
a + !
!
!
est un nombre rationnel.
Un pendule est constitué d’une bille suspendue au bout d’un fil d’un mètre de long.
Ce fil est fixé en un point S. Le pendule est en position d’équilibre lorsque la bille est en V.
Il est écarté de sa position d’équilibre d’un angle de 30°, comme l’indique la figure, le bille est
alors en P.
Affirmation 4 : la hauteur h dont il s’est élevé est de 13,4 cm au mm près.
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1
CRPE – Mathématiques
5.
L’aire du disque inscrit dans cet hexagone régulier de centre O est notée A. L’aire du
disque circonscrit au même hexagone est notée A’.
Affirmation 5 : Le rapport entre l’aire A et l’aire A’, noté
!
!!
, est égal à
!
!
.
EXERCICE 2 5 points
Une bougie a la forme d’une pyramide régulière de sommet S, dont la base ABCD est un
carré de côté a, de centre O, et dont les quatre autres faces sont des triangles équilatéraux.
1. Quelle est la nature du triangle ASC ?
Donner les mesures de chacun de ses côtés en fonction de a.
2.
a. Quelle est la nature du triangle ASO ? Justifier la réponse.
b. Montrer que SO =
𝒂 𝟐
𝟐
3. Quelle est la mesure de l’angle 𝐴𝑆𝑂 ? de l’angle 𝐴𝑆𝐶 ?
4. Calculer le volume de la pyramide SABCD en fonction de a.
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2
CRPE – Mathématiques
5. Dans cette question, on prendra a = 4 cm.
Pour fabriquer ces bougies, on souhaite construire un moule à partir d’une plaque métallique.
a. Tracer un patron de cette pyramide SABCD, en prenant a = 4 cm.
b. Calculer l’aire de la plaque métallique nécessaire pour construire un moule. Vous
donnerez la valeur exacte et une valeur approchée au centième de cm près.
c. On remplit ensuite le moule de cire aux deux tiers de la hauteur de la pyramide,
calculer le volume de cire nécessaire pour une bougie.
EXERCICE 3
3,5 points
Les deux parties sont indépendantes
Partie A :
Soient a et b deux nombres réels tels que b soit différent de 0 et – 9.
1. On considère l’égalité :
!!!!
!!!
= !!
!
.
a. Montrer que cette égalité n’est pas vraie pour a = 1 et b = 3.
b. Montrer que cette égalité est vraie pour a = 1 et b = 2.
2. Montrer que si b = 2a alors l’égalité est vraie.
3. Montrer que si l’égalité est vraie alors b = 2a.
Partie B
Soit x un nombre réel.
1. Développer l’expression 𝑥 + 2 ! − 𝑥²
2. On considère l’équation (E) : 𝑥 + 2 ! = 𝑥² + 𝑥 + 1 ! .
a. Montrer que – 1 est solution de l’équation (E).
b. En déduire, à l’aide des questions précédentes, l’autre solution de (E).
3
Application : montrer que, si les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont trois
entiers consécutifs, alors des trois entiers sont 3, 4 et 5.
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3
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