Trigonométrie: les fonctions trigonométriques primaires

Trigonom´etrie: les fonctions trigonom´etriques primaires comme
coordonn´ees d’un cercle unitaire.
Les fonctions trigonom´etriques primaires sin et cos ont ´et´e d´efinies comme des fonctions
qui associent `a un angle d’un triangle rectangle un rapport des longueurs de cˆot´es de ce
triangle. Et donc les expressions telles que sin ∠Aet cos ∠An’ont un sens que si ∠Aa une
valeur entre 0◦et 90◦.
Notons tout d’abord que si la longueur de l’hypot´enuse d’un triangle rectangle est 1, les
valeurs de cosinus et sinus ne repr´esentent que les longueurs de cˆot´es de ce triangle. Prenons
comme exemple un triangle rectangle avec un angle de 30◦avec l’hypot´enuse ´egale `a 1.
Inscrivons-le `a l’int´erieur d’un cercle unitaire avec l’angle de 30 degr´es au centre.
Figure 1: Triangle dans le cercle unitaire
Nous voyons que sin 30 = 1
2´egale la deuxi`eme coordonn´ee du point au bout du rayon sur la
circonf´erence du cercle, tandis que cos 30 = √3
2´egale la premi`ere coordonn´ee. De fait il en
sera ainsi pour tous les angles θau centre du cercle. C’est-`a-dire que pour tout angle θau
centre dans le premier quadrant les coordonn´ees sur le cercle au bout du rayon d´efinissant
cet angle sont (x, y) = (cos θ, sin θ). (Voir la figure 2, ci-dessous.)
Nous irons une ´etape plus loin. Nous d´efinissons de fa¸con formelle les fonctions sinus et
cosinus comme suit:
Pour tout angle θ, peu importe sa valeur, cos θ´egale la premi`ere coordonn´ee du
point (x, y) qui se trouve sur le cercle unitaire au bout du rayon formant un
angle θavec l’axe horizontal positif (dans le sens anti-horaire), tandis que sin θ
´egale la deuxi`eme coordonn´ee de ce point.
1

!
Figure 2: Fonction trigonom´etrique
!
Figure 3: D´efinition de sinus et cosinus
`
A partir de ces d´efinitions tentez de justifier `a l’aide du cercle unitaire les valeurs suivantes:
sin 120 = √3
2sin 135 = √2 2
sin 150 = 1
2sin 180 = 0
sin 210 = −
1
2sin 225 = −
√2
2
sin 240 = −
√3
2sin 270 = −1
`
A noter qu’un angle θ=−30◦place le rayon formant cet angle avec l’axe horizontal positif
au mˆeme endroit que l’angle θ= 330◦.
c
Club Pythagore, 2009
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