Probabilités : exercices

Probabilités :
exercices
I. Exercice (juin 2000 - 8 points).
Dans une partie du monde, on estime que 15% de la population est
contaminée par un virus X. La stratégie de dépistage met en place un
test biologique qui devrait être négatif si la personne n’est pas
contaminée et positif si la personne est contaminée.
On a observé les résultats suivants :
• Quand la personne est contaminée par le virus X, le test est positif
dans 99,6 % des cas.
• Quand la personne n’est pas contaminée par ce virus, le test est
négatif dans 97,6 % des cas.
1. En considérant une population de 10 000 personnes observées,
reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de personnes
contaminées Nombre de personnes non contaminées Total
Test positif
Test négatif
Total 10 000
Dans les questions suivantes les probabilités seront données à
10
-4
près. Pour les questions 2. 3 .et 4. on choisit au hasard une
personne de cette population, toutes les personnes ayant la même
probabilité d’être choisies.
2. On considère les événements :
− A : « la personne est contaminée par le virus X » ;
− B : « La personne a un test positif ».
Calculer la probabilité de chacun des événements A et B .
3. Calculer la probabilité pour que la personne soit contaminée par le
virus X et ait un test positif.
4. a) Calculer la probabilité pour que la personne ne soit pas
contaminée par le virus X et ait un test positif.
b) Calculer la probabilité pour que la personne soit contaminée par
le virus X et ait un test négatif.
c) Calculer la probabilité que le test donne un résultat faux.
On choisit maintenant une personne ayant un test négatif.
Quelle est la probabilité qu’elle soit contaminée par le virus X ?
II. Correction
1. On remplit le tableau à l’aide des pourcentages donnés.
Nombre de
personnes
contaminées
Nombre de
personnes non
contaminées
Total
Test positif 1500x99,6/100=
1494 8500-8296=204 1494+204= 1698
Test négatif 1500-1494=6 8500x
97,6/100=8296 10000-1698=8302
Total 15x10000/100=
1500 10 000-1500= 8500 10 000
On calcule d’abord le nombre de personnes contaminées
15 x 10000 / 100 etc.
2. On utilise la formule de l’équiprobabilité :
p(A) =nombre de cas favorables à A / nombre de cas possibles.
Ici on obtient p(A) = 1500 / 10000 = 0,15.
Et p (B) = 1698 / 10000 = 0,1698.
3. Il s’agit de calculer la probabilité de A ∩ B ; il y a 1494 personnes qui
ont un test positif t qui sont contaminées :
P (A ∩ B)= 1494 / 10000 = 0,1494.
4. a) Il y a 204 personnes qui ont un test positif et qui ne sont pas
contaminées d’où p = 204 / 10000 = 0,0204.
b) Il y a 6 personnes qui sont contaminées et qui ont un test négatif,
soit p’= 6 / 10000=0,0006.
c) Le test donne un résultat faux dans deux cas : soit la personne est
contaminée et le test est négatif ou soit la personne n’est pas
contaminée et le test est positif, il y a 6 + 204 personnes dans ces
deux cas soit p’’ = 210 / 10000 = 0,0210.
5. Il y a 8302 personnes qui ont un test négatif et parmi celles-ci
6 sont contaminées d’où la probabilité 6 / 8302 = 0,0007.
III. Exercice (juin 2001 - 8 points)
Une enquête effectuée par une association de consommateurs,
concernant l’hygiène alimentaire, porte sur un échantillon de
800 personnes .Trois groupes bien différenciés apparaissent :
• Type 1: les personnes totalement végétariennes. On en compte 34.
• Type 2 : les personnes végétariennes qui consomment cependant
du poisson. On en compte 132.
• Type 3 : les personnes non végétariennes. Elles constituent le reste
de l’échantillon.
On compte 55% de femmes dans l’échantillon et parmi celles-ci, 5%
sont totalement végétariennes. De plus, 7,5% des hommes de
l’échantillon sont du type 2.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Type 1 Type 2 Type 3 Total
Femmes
Hommes
Total 800
Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous
forme décimale arrondie à 0,001 près.
2. On choisit au hasard, une des 800 personnes de l’échantillon,
chacune ayant la même probabilité d’être choisie.
a) Soit l’événement A : « la personne choisie est non végétarienne ».
Calculer la probabilité de A.
b) Soit l’événement B : « la personne choisie est un homme ».
Calculer la probabilité de B.
c) Définir par une phrase l’événement C = A ∩ B et calculer sa
probabilité.
d) Définir par un événement D, exprimé avec A et B : la phrase « la
personne choisie est non végétarienne ou est un homme », calculer
sa probabilité.
IV. Réponse
1.
Type 1 Type 2 Type 3 total
Femmes 5 x 440 /
100 = 22 132 – 27 = 105 440 – 105 – 22 = 313 55 x 800 / 100
=440
Hommes 34 – 22
= 12 360 x 7,5 / 100 =
27
360 – 12 – 27 =
321 800-440=360
Total 34 132 800 – 132 – 34 =
634 800
2. On fait de même que pour l’exercice précédent :
P(A) = 634 / 800 = 0,79
P(B) = 360 / 800= 0,45
P(C) = 321 / 800= 0,40 ; C est l’événement : la personne est un
homme non végétarien.
D = A U B , P(D) = P(A) +P(B) – P (A∩B), d’après le cours ; on obtient
P(D) = (634+360-321) / 800=0,84.
MemoPage.com SA © / 06-2002 / Auteur : C. V. / ISSN : 1762 – 5920