II. Correction 1. On remplit le tableau à l’aide des pourcentages donnés. Nombre de Nombre de Total personnes personnes non contaminées contaminées Test positif 1500x99,6/100= 8500-8296=204 1494+204= 1698 1494 Test négatif 1500-1494=6 8500x 10000-1698=8302 97,6/100=8296 Total 15x10000/100= 10 000-1500= 10 000 1500 8500 On calcule d’abord le nombre de personnes contaminées 15 x 10000 / 100 etc. 2. On utilise la formule de l’équiprobabilité : p(A) =nombre de cas favorables à A / nombre de cas possibles. Ici on obtient p(A) = 1500 / 10000 = 0,15. Et p (B) = 1698 / 10000 = 0,1698. 3. Il s’agit de calculer la probabilité de A ∩ B ; il y a 1494 personnes qui ont un test positif t qui sont contaminées : P (A ∩ B)= 1494 / 10000 = 0,1494. 4. a) Il y a 204 personnes qui ont un test positif et qui ne sont pas contaminées d’où p = 204 / 10000 = 0,0204. b) Il y a 6 personnes qui sont contaminées et qui ont un test négatif, soit p’= 6 / 10000=0,0006. c) Le test donne un résultat faux dans deux cas : soit la personne est contaminée et le test est négatif ou soit la personne n’est pas contaminée et le test est positif, il y a 6 + 204 personnes dans ces deux cas soit p’’ = 210 / 10000 = 0,0210. 5. Il y a 8302 personnes qui ont un test négatif et parmi celles-ci 6 sont contaminées d’où la probabilité 6 / 8302 = 0,0007. III. Exercice (juin 2001 - 8 points) Une enquête effectuée par une association de consommateurs, concernant l’hygiène alimentaire, porte sur un échantillon de 800 personnes .Trois groupes bien différenciés apparaissent : • Type 1: les personnes totalement végétariennes. On en compte 34. • Type 2 : les personnes végétariennes qui consomment cependant du poisson. On en compte 132. • Type 3 : les personnes non végétariennes. Elles constituent le reste de l’échantillon. On compte 55% de femmes dans l’échantillon et parmi celles-ci, 5% sont totalement végétariennes. De plus, 7,5% des hommes de l’échantillon sont du type 2. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Type 1 Type 2 Type 3 Total Femmes Hommes Total 800 Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous forme décimale arrondie à 0,001 près. 2. On choisit au hasard, une des 800 personnes de l’échantillon, chacune ayant la même probabilité d’être choisie. a) Soit l’événement A : « la personne choisie est non végétarienne ». Calculer la probabilité de A. b) Soit l’événement B : « la personne choisie est un homme ». Calculer la probabilité de B. c) Définir par une phrase l’événement C = A ∩ B et calculer sa probabilité. d) Définir par un événement D, exprimé avec A et B : la phrase « la personne choisie est non végétarienne ou est un homme », calculer sa probabilité. IV. Réponse 1. Type 1 Type 2 Type 3 total Femmes 5 x 440 / 132 – 27 440 – 105 – 22 = 55 x 800 / 100 100 = 22 = 105 313 =440 Hommes 34 – 22 360 x 7,5 360 – 12 – 27 = 800-440=360 = 12 / 100 = 321 27 Total 34 132 800 – 132 – 34 = 800 634 2. On fait de même que pour l’exercice précédent : P(A) = 634 / 800 = 0,79 P(B) = 360 / 800= 0,45 P(C) = 321 / 800= 0,40 ; C est l’événement : la personne est un homme non végétarien. D = A U B , P(D) = P(A) +P(B) – P (A∩B), d’après le cours ; on obtient P(D) = (634+360-321) / 800=0,84. MemoPage.com SA © / 06-2002 / Auteur : C. V. / ISSN : 1762 – 5920 Dans une partie du monde, on estime que 15% de la population est contaminée par un virus X. La stratégie de dépistage met en place un test biologique qui devrait être négatif si la personne n’est pas contaminée et positif si la personne est contaminée. On a observé les résultats suivants : • Quand la personne est contaminée par le virus X, le test est positif dans 99,6 % des cas. • Quand la personne n’est pas contaminée par ce virus, le test est négatif dans 97,6 % des cas. 1. En considérant une population de 10 000 personnes observées, reproduire et compléter le tableau suivant : Nombre de personnes Nombre de personnes Total contaminées non contaminées Test positif Test négatif Total 10 000 Dans les questions suivantes les probabilités seront données à 10-4 près. Pour les questions 2. 3 .et 4. on choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d’être choisies. 2. On considère les événements : − A : « la personne est contaminée par le virus X » ; − B : « La personne a un test positif ». Calculer la probabilité de chacun des événements A et B . 3. Calculer la probabilité pour que la personne soit contaminée par le virus X et ait un test positif. 4. a) Calculer la probabilité pour que la personne ne soit pas contaminée par le virus X et ait un test positif. b) Calculer la probabilité pour que la personne soit contaminée par le virus X et ait un test négatif. c) Calculer la probabilité que le test donne un résultat faux. On choisit maintenant une personne ayant un test négatif. Quelle est la probabilité qu’elle soit contaminée par le virus X ? I. Exercice (juin 2000 - 8 points). Probabilités : exercices