Corrigé énoncé non spacialistes

Epreuve de Mathématiques
Terminale S
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 5 points
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la
copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de
réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
Question 1
Soit z un nombre complexe non nul. L'équation z + 1
z = 0 a pour solution(s) :
a) {−1 ; i} b) Ø c) {−i ; i}
Question 2
La mesure principale de l'argument de −2e
−iπ/3
est :
a) 2π
3 b) − 2π 3 c) π 3 d) – π 3
Question 3
A, B et C sont les points d'affixes respectives z
A
= 3 + 2i 3, z
B
= − i 3 et z
C
= −3 + 2i 3.
La forme exponentielle du nombre complexe Z = z
A
− z
B
z
C
− z
B
est :
a) 2e
−iπ/3
b) e
−iπ/6
c) e
−iπ/3
d) e
2iπ/3
Question 4
La forme trigonométrique sur nombre complexe 
2
2 − i 2 2
2013
est
a) 1 − i b) cos
2013π
4 − sin
2013π
4
c) cos
3π
4 + isin
3π
4 d) 2 2 − i 2 2
Question 5
A tout nombre complexe z ≠ −2, on associe le nombre complexe z' défini par z' = z − 4i
z + 2
L'ensemble des points M d'affixe z tels que | z' | = 1 est
a) Un cercle de rayon 1 b) Une droite
c) Une droite privée d'un point d) Un cercle privé d'un point.

Exercice 2 5 points
Commun à tous les candidats
On considère la fonction numérique f définie sur r par :
2
²
²)( 1x exxf x−= −.
Le graphique ci-après est la courbe représentative de
cette fonction telle que l’affiche une calculatrice
dans un repère orthonormal.
Partie A – Conjectures
A l’observation de cette courbe, quelles conjectures
pensez-vous pouvoir faire concernant :
1) Le sens de variation de f sur l’intervalle
[
]
2;3
−
?
2) La position de la courbe par rapport à l’axe des
abscisses ?
Dans la suite de ce problème, on se propose de
valider ou non ces conjectures.
Partie B – Contrôle de la première conjecture.
1) Un logiciel de calcul formel, Xcas, a fourni les
résultats suivants :
Retrouver le résultat obtenu pour
)(' xf
, pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression
)(xg
où g est la fonction définie sur r par : 1)2()(
1
−+=
−x
exxg
2) Calculer
)(' xg
et étudier son signe suivant les valeurs de x.
3) En déduire le sens de variation de g et dresser son tableau de variation complet (en
justifiant la limite) sur [ − 3 ; + ∞ [.
4) Montrer que l’équation
0)(
=
xg
possède une unique solution dans [ − 3 ; 2]. On note
α
cette solution. Montrer que
21,020,0
<
<
α
.
5) Déterminer le signe de
)(xg
sur [ − 3 ; 2] suivant les valeurs de x.
6) Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de
)(' xf
sur l’intervalle [–3 ; 2] et en déduire le
sens de variation de la fonction f sur ce même intervalle. Que pensez-vous de votre première
conjecture ?

Partie C – Contrôle de la deuxième conjecture
1) Montrer que
)2(2
)(
3
+
−
=
α
α
α
f
.
2) On considère la fonction h définie sur l’intervalle
[
]
1;0 par :
)2(2
)(
3
+
−
=xx xh
.
a) Déterminer le sens de variation de h.
b) En utilisant l'encadrement de α trouvé dans la partie B, en déduire un encadrement de
)(
α
f
.
c) Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
Exercice 3 5 points
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N − 1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin Pour
Sortie
Afficher U
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Partie B
On considère la suite (u
n
) définie par u
0
= 0 et, pour tout entier naturel n, u
n + 1
= 3u
n
−2n +3.
1) Calculer u
1
et u
2
.
2) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u
n
≥ n.
b) En déduire la limite de la suite (u
n
).
3) Démontrer que la suite (u
n
) est croissante.
4) Soit la suite (v
n
) définie, pour tout entier naturel n, par v
n
= u
n
− n +1.
a) Démontrer que la suite (v
n
) est une suite géométrique.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, u
n
= 3
n
+ n −1.
5) Soit p un entier naturel non nul.
a) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n
0
tel que,
pour tout n ≥ n
0
, u
n
≥ 10
p
?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n
0
.
b) Justifier que n
0
£ 3p, pour p supérieur ou égal à 1.
c) Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n
0
pour la valeur p = 3.
d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la
valeur du plus petit entier n
0
tel que, pour tout n ≥ n
0
, on ait u
n
≥ 10
p
.

Exercice 4 5 points
Pour les élèves n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10
− 4
.
Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.
Partie A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
• La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
• La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du
test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test
est positif ».
V
− et T − désignent respectivement les événements contraires de V et T.
1) a) Préciser les valeurs des probabilités P(V), P
V
(T) et P
V
−
(T
−).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
b) En déduire la probabilité de l’événement V ∩ T.
2) Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2.
3) a) Justifier par le calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la personne soit
contaminée ».
b) Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant
que son test est négatif.
PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les
tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmi ces 10 personnes.
1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.