Epreuve de Mathématiques Terminale S La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O. Question 1 1 Soit z un nombre complexe non nul. L'équation z + = 0 a pour solution(s) : z a) {−1 ; i} b) Ø c) {−i ; i} Question 2 La mesure principale de l'argument de −2e−iπ/3 est : 2π 2π a) b) − c) π d) – π 3 3 3 3 Question 3 A, B et C sont les points d'affixes respectives zA = 3 + 2i 3, zB= − i 3 et zC = −3 + 2i 3. z −z La forme exponentielle du nombre complexe Z = A B est : zC − zB a) 2e −iπ/3 b) e −iπ/6 c) e −iπ/3 d) e 2iπ/3 Question 4 2 22013 La forme trigonométrique sur nombre complexe − i est 2 2 2013π 2013π a) 1 − i b) cos − sin 4 4 3π 3π 2 2 c) cos + isin d) −i 4 4 2 2 Question 5 A tout nombre complexe z ≠ −2, on associe le nombre complexe z' défini par z' = L'ensemble des points M d'affixe z tels que | z' | = 1 est a) Un cercle de rayon 1 b) Une droite c) Une droite privée d'un point d) Un cercle privé d'un point. z − 4i z+2 Exercice 2 Commun à tous les candidats On considère la fonction numérique f définie sur r par : f ( x ) = x ² e x −1 − 5 points x² . 2 Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthonormal. Partie A – Conjectures A l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant : 1) Le sens de variation de f sur l’intervalle [− 3;2] ? 2) La position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses ? Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures. Partie B – Contrôle de la première conjecture. 1) Un logiciel de calcul formel, Xcas, a fourni les résultats suivants : Retrouver le résultat obtenu pour f ' ( x ) , pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression g (x ) où g est la fonction définie sur r par : g ( x ) = ( x + 2)e x −1 − 1 2) Calculer g ' ( x ) et étudier son signe suivant les valeurs de x. 3) En déduire le sens de variation de g et dresser son tableau de variation complet (en justifiant la limite) sur [−3 ; +∞[. 4) Montrer que l’équation g ( x ) = 0 possède une unique solution dans [−3 ; 2]. On note α cette solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21 . 5) Déterminer le signe de g (x ) sur [−3 ; 2] suivant les valeurs de x. 6) Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f ' ( x ) sur l’intervalle [–3 ; 2] et en déduire le sens de variation de la fonction f sur ce même intervalle. Que pensez-vous de votre première conjecture ? Partie C – Contrôle de la deuxième conjecture −α 3 1) Montrer que f (α ) = . 2(α + 2) 2) On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0;1] par : h( x) = − x3 . 2( x + 2) a) Déterminer le sens de variation de h. b) En utilisant l'encadrement de α trouvé dans la partie B, en déduire un encadrement de f (α ) . c) Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ? Exercice 3 Commun à tous les candidats Partie A On considère l’algorithme suivant : Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N. 5 points Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de 0 à N − 1 Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3 Fin Pour Sortie Afficher U Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ? Partie B On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un + 1 = 3un −2n +3. 1) Calculer u1 et u2. 2) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un ≥ n. b) En déduire la limite de la suite (un). 3) Démontrer que la suite (un) est croissante. 4) Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − n +1. a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique. b) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n + n −1. 5) Soit p un entier naturel non nul. a) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0, un ≥ 10 p ? On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0. b) Justifier que n0 £ 3p, pour p supérieur ou égal à 1. c) Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3. d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 , on ait un ≥ 10p. Exercice 4 Pour les élèves n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques 5 points Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 − 4. Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus. Partie A On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : • La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). • La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est positif ». − − V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T. − 1) a) Préciser les valeurs des probabilités P(V), PV(T) et P V−( T ). Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilité. b) En déduire la probabilité de l’événement V ∩ T. 2) Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2. 3) a) Justifier par le calcul la phrase : « Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée ». b) Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.