Soit u la suite définie par u0 = 1 et pour tout

TS G2 DEVOIR SURVEILLE no114 septembre 2015
Exercice 1 (3 pts)
Soit ula suite définie par u0= 1 et pour tout entier naturel n,un+1 = 2un+ 8.
1. Calculer u1et u2.
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,un= 9 ×2n−8.
Exercice 2 (5 pts)
1. Rappeler les "formes indéterminées" que vous connaissez.
2. Calculer les limites suivantes en détaillant :
a. lim
n→+∞2n2−3
nb. lim
n→+∞(−2n2+1)(2+4n) c. lim n→+∞
1
n2+ 5n+ 3 d. lim
n→+∞
n2−8n+1 e. lim
n→+∞
3n2+ 1
2n+ 3
Exercice 3 (6 pts)
Soit ula suite définie par u0= 2 et pour tout entier naturel n,un+1 =un+ 4n+ 2.
1. Calculer u1,u2et u3.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables : U réel
I, N entiers naturels
Initialisation : Saisir un entier naturel non nul N
Affecter à U la valeur 2
Affecter à I la valeur 0
Traitement : Tant que I <N
Affecter à U la valeur U + 4N + 2
Affecter à I la valeur I + 1
Fin tant que
Sortie : Afficher U
a. On choisit de saisir 3 comme valeur de N. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en indiquant les valeurs des
variables I et U. U I N
Initialisation
Boucle
.
b. Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ? Cela correspond-il à la valeur u3de la suite ?
c. Modifier cet algorithme pour qu’il affiche unen ayant rentré ncomme valeur pour N.
3. On admet que pour tout entier naturel n, on a un= 2n2+ C avec C une constante.
a. Conjecturer la valeur de C en utilisant les premières valeurs obtenues pour la suite u.
b. Démontrer votre conjecture.
Exercice 4 (6 pts)
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
rLa probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99.
rLa probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97.
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ».
V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T.
1. a. Préciser les valeurs des probabilités P(V),P
V(T),P
V(T).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’évènement V ∩T.
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2.
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.