Soit u la suite définie par u0 = 1 et pour tout

DEVOIR SURVEILLE no 1
TS G2
14 septembre 2015
Exercice 1 (3 pts)
Soit u la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 8.
1. Calculer u1 et u2 .
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 9 × 2n − 8.
Exercice 2 (5 pts)
1. Rappeler les "formes indéterminées" que vous connaissez.
2. Calculer les limites suivantes en détaillant :
3
1
a. lim 2n2 −
b. lim (−2n2 + 1)(2 + 4n)
c. lim 2
n→+∞
n→+∞
n→+∞ n + 5n + 3
n
d. lim n2 − 8n + 1
n→+∞
3n2 + 1
n→+∞ 2n + 3
e. lim
Exercice 3 (6 pts)
Soit u la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 4n + 2.
1. Calculer u1 , u2 et u3 .
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
U réel
I, N entiers naturels
Saisir un entier naturel non nul N
Affecter à U la valeur 2
Affecter à I la valeur 0
Tant que I < N
Affecter à U la valeur U + 4N + 2
Affecter à I la valeur I + 1
Fin tant que
Afficher U
a. On choisit de saisir 3 comme valeur de N. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en indiquant les valeurs des
variables I et U.
U
I
N
Initialisation
Boucle
.
b. Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ? Cela correspond-il à la valeur u3 de la suite ?
c. Modifier cet algorithme pour qu’il affiche un en ayant rentré n comme valeur pour N.
3. On admet que pour tout entier naturel n, on a un = 2n2 + C avec C une constante.
a. Conjecturer la valeur de C en utilisant les premières valeurs obtenues pour la suite u.
b. Démontrer votre conjecture.
Exercice 4 (6 pts)
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4 .
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
r La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0, 99.
r La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0, 97.
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ».
V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T.
1. a. Préciser les valeurs des probabilités P(V), PV (T), PV (T).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’évènement V ∩ T.
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2.
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.