Devoir n°8

Devoir surveillé 8 TS1 le mardi 8 novembre
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 Exercice 1 : (6 points)
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 104.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
PARTIE A
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
- La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
- La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l'événement « la personne est contaminée par le virus » et T l'événement « le test est positif ».
V  et T désignent respectivement les événements contraires de V et T.
1. a. Préciser les valeurs des probabilités PV, PVT, PV
 T .
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l'événement V ∩ T.
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
 Exercice 2 : (10 points)
Le plan est rapporté au repère orthonormé O  , l’unité graphique est 1 cm.
- Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
Soit la fonction g définie sur  par g(x)  x3  3x  6.
1. Étudier les limites de g en  et .
2. Dresser le tableau des variations de g.
3. Démontrer que l’équation g(x)  0 admet une unique solution réelle .
Trouver un encadrement de  à 102 près et justifier le.
4. En déduire le signe de g.
- Partie B –
Soit la fonction  définie sur  par (x)  x3  3
x2  1. On appelle  la courbe représentative de  dans le repère O  .
1. a. Justifier que  est dérivable sur .
b. Démontrer que, pour tout x, (x)  x g(x)
x2  12.
c. En déduire le signe de (x).
2. Déterminer les limites de  en  et .
3. Dresser le tableau des variations de .
4. Déterminer une équation de la tangente T au point A d’abscisse 1 à la courbe .
5. Représenter la courbe  et la tangente T. (Il ne faut rien oublier).

6. Démontrer que, pour tout x, (x)  
5
2 x  7 2   (x  1)2(3x  1)
2(x2  1) .
Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.
« La courbe  est en dessous de sa tangente T sur ] ; 1] et au dessus sur [1 ; [ »
7. Bonus : Démontrer que ()  3
2 .
 Exercice 3 : 89 page 37 du livre (4 points)
1. Soit, pout tout entier n  1, Sn  0,12  0,13   + 0,1n+1 .
Démontrer que Sn  1
90 1  0,1n.
2. La suite v est définie par vn  1,2777···7 avec n décimales consécutives égales à 7.
Ainsi v0 1,2, v1  1,27 et v2  1,277.
En utilisant le 1., démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).