Devoir surveillé 8 TS1 le mardi 8 novembre La calculatrice est autorisée Exercice 1 : (6 points) Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 . Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus. PARTIE A On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : - La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). - La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l'événement « la personne est contaminée par le virus » et T l'événement « le test est positif ». V et Tdésignent respectivement les événements contraires de V et T. 1. a. Préciser les valeurs des probabilités PV, PV T, PV T. Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. b. En déduire la probabilité de l'événement V ∩ T. 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2. 3. a. Justifier par un calcul la phrase : « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ». b. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Exercice 2 : (10 points) Le plan est rapporté au repère orthonormé O , l’unité graphique est 1 cm. - Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire Soit la fonction g définie sur par g(x) x3 3x 6. 1. Étudier les limites de g en et . 2. Dresser le tableau des variations de g. 3. Démontrer que l’équation g(x) 0 admet une unique solution réelle . 2 Trouver un encadrement de à 10 près et justifier le. 4. En déduire le signe de g. - Partie B – Soit la fonction définie sur par (x) x2 3. On appelle la courbe représentative de dans le repère O . x 1 3 1. a. Justifier que est dérivable sur . b. Démontrer que, pour tout x, (x) x g(x) 2. x2 1 c. En déduire le signe de (x). 2. Déterminer les limites de en et . 3. Dresser le tableau des variations de . 4. Déterminer une équation de la tangente T au point A d’abscisse 1 à la courbe . 5. Représenter la courbe et la tangente T. (Il ne faut rien oublier). 2 6. Démontrer que, pour tout x, (x) 5 x 7 (x 1)2 (3x 1). 2 2 2(x 1) Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. « La courbe est en dessous de sa tangente T sur ] ; 1] et au dessus sur [1 ; [ » 7. Bonus : Démontrer que () 3 . 2 Exercice 3 : 89 page 37 du livre (4 points) 1. Soit, pout tout entier n 1, Sn 0,12 0,13 + 0,1n+1 . Démontrer que Sn 1 1 0,1n. 90 2. La suite v est définie par vn 1,2777··· 7 avec n décimales consécutives égales à 7. Ainsi v0 1,2, v1 1,27 et v2 1,277. En utilisant le 1., démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).