Devoir Maison 3A (vacances d`octobre)
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Devoir Maison 3A (vacances d’octobre) Rappel de cours : Probabilité et loi binomial E XERCICE 1 10 points Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis. Partie A On choisit au hasard un membre de cette association et on note : — F l’évènement «le membre choisi est une femme », — T l’évènement «le membre choisi adhère à la section tennis ». 2 1. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à . 5 2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis. Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ? Partie B Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie. 1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie. a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. b. Pour tout entier naturel n non nul, on note p n la probabilité pour qu’en n semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. µ ¶n 7 Montrer que pour tout entier n non nul, p n = 1 − . 10 c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que p n > 0, 99. 2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien. Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ( puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne. On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 () réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu. E XERCICE 2 10 points Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4 . Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus. PARTIE A On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : — La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0, 99 (sensibilité du test). — La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0, 97 (spécificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l’évènement «la personne est contaminée par le virus» et T l’évènement «le test est positif ». V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T . 1. a. Préciser les valeurs des probabilités P (V ), P V (T ), P V (T ). Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités. b. En déduire la probabilité de l’évènement V ∩ T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2. 3. a. Justifier par un calcul la phrase : «Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de «chances » que la personne soit contaminée ». b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
