Devoir Maison 3A (vacances d`octobre)

Devoir Maison 3A (vacances d’octobre)
Rappel de cours : Probabilité et loi binomial
EXERCICE 1 10 points
Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait égale-
ment que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis.
Partie A 1

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
—Fl’évènement «le membre choisi est une femme »,
—Tl’évènement «le membre choisi adhère à la section tennis ».
1. Montrer que la probabilité de l’évènement Fest égale à 2
5.
2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
Partie B
Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.
1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.
a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui
adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
b. Pour tout entier naturel nnon nul, on note pnla probabilité pour qu’en nsemaines consécutives, il y ait au
moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
Montrer que pour tout entier nnon nul, pn=1−µ7
10 ¶n
.
c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que pn>0, 99.
2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros
chacun, les autres ne rapportent rien.
Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 (puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il
reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.
On note Xla variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 () réalisé par un joueur lors d’une
partie de cette loterie.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire Xet interpréter le résultat obtenu.
EXERCICE 2 10 points
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
PARTIE A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
— La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
— La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note Vl’évènement «la personne est contaminée par le virus» et Tl’évènement «le test est positif ».
Vet Tdésignent respectivement les évènements contraires de Vet T.
1. a. Préciser les valeurs des probabilités P(V), PV(T), PV(T).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’évènement V∩T.
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2.
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
«Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de «chances » que la personne soit contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
2