Devoir surveillé, en groupes

T4 Le 27 / 11 / 2012
Devoir surveillé, en groupes
Recherche individuelle : 45 min
Mise en commun, en groupes : 45 min
Correction : 30 min
Exercice 1 sur 10 points
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à .
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
Partie A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
- La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test)
- La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97 (spécificité du
test)
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note  l’événement « la personne est contaminée par le virus » et  l’événement « le test est
positif ».
1. a. En utilisant les données de l’énoncé, préciser les valeurs des probabilités , ,
et 
. Puis traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’événement .
2. Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3. a. Justifier par un calcul la phrase « Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de chances
que la personne soit contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant
que son test est négatif.
Partie B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, et on considère que la taille
de cette population fait que les tirages sont indépendants les uns des autres.
On appelle  la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmi ces 10 personnes.
1. Justifier que  suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

Exercice 2 sur 10 points
Un joueur début un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.
La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2.
Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
 s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
 s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
Le joueur joue plusieurs parties successivement.
1. On appelle :
 l’événement « le joueur perd la première partie » ;
 l’événement « le joueur perd la deuxième partie ».
On appelle  la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des deux
premières parties.
a. Quelles sont les valeurs prises par  ?
b. Montrer que la probabilité de l’événement  est égale à 0,22.
c. Déterminer la loi de probabilité de  et calculer son espérance mathématique.
2. Pour tout entier naturel  non nul, on note  l’événement : « le joueur perd la  partie »,
et on désigne par  la probabilité de l’événement .
Ainsi , .
En utilisant un arbre pondéré, montrer que pour tout entier ,  
3. On considère la suite  définie pour tout entier  par : 
.
a. Montrer que  est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. En déduire, pour tout entier ,  puis  en fonction de .
c. Calculer la limite de  quand  tend vers .

Barème Exercice 1
Question
Points
Commentaires
Partie A
1a
1,5
 0,5 pour les 3 probabilités (0 si une au moins est fausse)
 1 pour l’arbre ( par erreur)
1b
1
 1 si le calcul est bien posé (même si la formule de
l’intersection n’est pas citée) et cohérent avec l’arbre.
0 si le résultat n’est pas justifié, ou si le calcul n’est pas
cohérent avec l’arbre
Si le calcul est bien posé et justifié mais qu’il y a une erreur de
calcul : 0,5 seulement
2
1,5
 1 si le calcul est bien posé (même si la formule de
l’intersection n’est pas citée) et cohérent avec l’arbre.
Mêmes remarques qu’au 1b
 0,5 pour une phrase de conclusion bien rédigée.
3a
1,5
 0,5 si c’est bien  qui est calculé
 0,5 si la formule 
 est bien écrite
 0,5 pour le résultat et la conclusion
3b
1,5
 0,5 si c’est bien 
 qui est calculé
 0,5 si la formule est bien écrite
 0,5 pour le reste du calcul
Partie B
1
1,5
4 éléments doivent apparaître dans la rédaction :
- Epreuve de Bernoulli, avec le succès clairement
identifié
- La probabilité du succès
- La répétition des épreuves, de façon indépendante
-  compte le nombre de succès
1,5 si les 4 sont là
0,5 seulement s’il en manque un
0 s’il en manque plus d’un.
2
1,5
 0,5 pour  ou ) ou
 1 pour le reste du calcul
0 si la formule de la loi binomiale n’est pas citée
correctement, ou pas citée du tout
 si le calcul est bien posé mais qu’il y a une erreur de
calcul.
Note Exercice 1 :

Barème Exercice 2
Question
Points
Commentaires
1a
0,5
0,5 si tout juste, 0 sinon
1b
2
 1 pour un arbre bien fait
 1 si le calcul est bien posé et cohérent avec l’arbre.
0 si le résultat n’est pas justifié, ou si le calcul n’est pas
cohérent avec l’arbre
Si le calcul est bien posé et justifié mais qu’il y a une erreur de
calcul : 0,5 seulement
1c
1,5
 1 pour la loi de probabilité
0 si les résultats ne sont pas justifiés
 0,5 pour l’espérance
0 si le résultat n’est pas justifié
2
2
 1 pour un arbre bien fait
 1 pour la formule bien justifiée
3a
2
 1,5 pour la suite géométrique et sa raison
1 seulement si le raisonnement est correct mais si une valeur
approchée de 1/19 est utilisée.
 0,5 pour le premier terme
0 si c’est une valeur approchée.
3b
1
 0,5 pour 
 0,5 pour 
3c
1
0 si le résultat n’est pas justifié
Seulement 0,5 si oubli de 
Note Exercice 2 :
Note Globale :

Devoir surveillé, en groupes – Corrigé
Exercice 1
Partie A
1. a.  ,  , 
.
b. .
2. 
Donc .
3. a. 
  , ce qui
justifie la phrase de l’énoncé.
b. 
  : la
probabilité qu’une personne ne soit pas
contaminée par le virus sachant que son test est
négatif est environ 0,9997.
Partie B
1. Un choix est une épreuve de Bernoulli :
Succès =  ; Échec = 
Probabilité du succès : .
On répète  fois cette épreuve, de façon
indépendante.  compte le nombre de succès.
Donc .
2. 
  : la probabilité qu’il y ait au
moins deux personnes contaminées parmi les 10
est environ 0,0162.
Exercice 2
1. a.  prend les valeurs 0, 1 et 2.
b. 
c. 
0
1
2
0,76
0,22
0,02
2.
Donc  
3. a.   
Donc   : la suite  est bien une
suite géométrique, de raison 0,05 et de premier
terme 
.
b.  
Donc 
.
c.   car .
Donc 
.
0,02
0,98
0,99
0,01
0,03
0,97
0,2
0,8
0,1
0,9
0,05
0,95
0,1
0,9
0,05
0,95