chapitre 3 :espaces euclidiens - Licence de mathématiques Lyon 1

C H A P I T R E 3
E S P A C E S E U C L I D I E N S
I. Définitions.
DEFINITION 32 : ESPACE EUCLIDIEN
Un espace euclidien 
symétrique définie positive. On la note  produit scalaire.
PROPOSITION 32 : INEGALITE DE CAUCHY-SCHARWZ
Soit  un espace euclidien
1) , 
2) On a égalité ssi x et y colinéaires.
Exemple :
1)  avec  où  
2) Sur  
On note  (espace euclidien),  
Rmq : i) est vraie si  esp.quadra. réel positif.
PREUVE:
i. 
comme ,  
donc  -à-dire 
 donc 
si 
implique  constante et donc 
ii. Réciproquement, si 
 Si     x et y 
 Si   donc  ; 
PROPOSITION 33 : INEGALITE MINKWOSKI
Soit  un espace euclidien alors 

CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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PREUVE:
On montre 
PROPOSITION 34 :
Si q positive alors 
PREUVE:
On sait déjà que .
Prenons  alors 
-Schwarz
  ici
donc   donc 
II. Orthogonalité, bases orthonormales.
E espace euclidien
 est non dégénérée.
Rappel :
1)  (Rem :  sont orthogonaux) 
2) 
3)  
4) 
DEFINITION 33 : BASE ORTHONORMALE
On appelle une base  de E orthonormale si elle est orthogonale et  
PROPOSITION 35 :
Toute espace euclidien a une base orthonormale
1) -Schmidt
 base de E.
On fabrique une nouvelle base par récurrence de la façon suivante :
 où 

CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
3
2) Projections et symétrie orthogonales.
DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE
F ss-ev de E. La projection orthogonale 
à . .
-à-dire  : 
DEFINITION 35 : LA SYMETRIE ORTHOGONALE
La symétrie orthogonale 
PROPOSITION 36 :
 base orthogonale de F alors
et 
PREUVE:
1) Si , 
 alors 
Si  alors 
2) Même méthode en posant  alors  et  alors  .
Rmq :
Dans une base orthogonale
THEOREME 37 :
 base de E
Il existe une base orthogonale  de E et
  .

CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
4
PREUVE:
donc 
On aura 
général 
 est orthogonale et 
.
DEFINITION 36 : MINEURS PRINCIPAUX
A=
, mineur principal de A est défini par 
PROPOSITION 37 : GRAMM-SCHMIDT
E : espace euclidien, A matrice de  dans une base . Alors il existe une base
 tel que :
1)  orthogonale
2)  
La matrice associée à q est diagonale  
  autrement dit
.
EXEMPLE IMPORTANT DE PROJECTION ET SYMETRIE ORTHOGONALE
Si F est une droite  ou un hyperplan Soit  
Soit H un hyperplan, 

CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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3) Matrices orthogonales
E espace euclidien  base orthogonale 
 une autre base orthonormale
Soit O la matrice de passage de  à .
Alors .
PROPOSITION 38 :
On a équivalence pour 
1) .
2) 
3)  
DEFINITION 37 : MATRICES ORTHOGONALES
On dit que  est orthogonale si elle satisfait une des conditions 1), 2) ou 3).
On note  
PROPOSITION 39 :
 est un sous-groupe de 
PREUVE:
1) 
2) 
3)  
PROPOSITION 40 : FACTORISATION
Soit 
Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que
PREUVE:
On introduit un espace euclidien de dimension n et  une base orthogonale pour le produit
scalaire de E.
Soit  une base de E telle que A est la matrice de passage de  à . On applique Gramm-
Schmidt à la base  on obtient une base orthonormale .
Soit T la matrice de passage de  à , elle est triangulaire supérieure