CHAPITRE 3 ESPACES EUCLIDIENS I. Définitions. DEFINITION 32 : ESPACE EUCLIDIEN Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire ( | ) 〈 〉 et on l’appelle produit scalaire. symétrique définie positive. On la note ( ) PROPOSITION 32 : INEGALITE DE CAUCHY-SCHARWZ Soit ( ) un espace euclidien ( ) ( ) 1) ,( | ) 2) On a égalité ssi x et y colinéaires. Exemple : 1) avec ( | ) 2) Sur ( )( ( Rmq : i) est vraie si ( ( | ) ( ) ( Réciproquement, si ( | ) Si ( ) ) √ ( ) on l’appelle la norme de x. ) ) , ( ( ) ( ) c’est-à-dire ( | ) ( ) ( )) ( ) ( ) donc ( | ) si ( ) ( | ) ( ) implique ( ) constante et donc( | ) ii. ( ) esp.quadra. réel positif. ( ) comme donc ( ) (( | ) ) ) (espace euclidien), ‖ ‖ On note PREUVE: i. ( où ) Si ( ) ( ( ) et l’inégalité voulue est évidente. ( ) ( ) x et y ; ( ) donc ) PROPOSITION 33 : INEGALITE MINKWOSKI Soit ( ) un espace euclidien alors ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS PREUVE: On montre ( ) (√ ( ) PROPOSITION 34 : Si q positive alors √ ( )) ( ) PREUVE: ( ) On sait déjà que ( ). Prenons ( ) alors ( ) On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz ( ) ( ) ( ) ici donc ( ) donc II. ( ) Orthogonalité, bases orthonormales. E espace euclidien ( | ) est non dégénérée. Rappel : 1) 2) ( 3) 4) ( ( (Rem : sont orthogonaux) ) ) ) DEFINITION 33 : BASE ORTHONORMALE On appelle une base ( ) de E orthonormale si elle est orthogonale et PROPOSITION 35 : Toute espace euclidien a une base orthonormale 1) Procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt ( ) base de E. On fabrique une nouvelle base par récurrence de la façon suivante : ‖ ‖ ∑ où ( ‖ 2 | ) ‖ ‖ ‖ ( ) CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS 2) Projections et symétrie orthogonales. DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE F ss-ev de E. La projection orthogonale par rapport à F, c’est la projection sur F parallèlement à . . ⏟( ) ⏟ ( ) ( ) ( ) c’est-à-dire l’application : ( ) DEFINITION 35 : LA SYMETRIE ORTHOGONALE La symétrie orthogonale par rapport à F c’est l’application ( ) ( ) PROPOSITION 36 : ( ) base orthogonale de F alors ∑ ( | ) ‖ ‖ et ∑ ( | ) ‖ ‖ PREUVE: 1) Si , ∑ alors (∑ ∑ | ) ‖ ‖ ∑ ( | ) ‖ ‖ ∑ Si alors ( ) ∑ 2) Même méthode en posant ( | ) ‖ ‖ alors Rmq : Dans une base orthogonale ( | ) ∑ (∑ |∑ ) ∑ THEOREME 37 : ( ) base de E Il existe une base orthogonale ( ( ) ) de E et ( ). 3 ( ) et alors ( ) . CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS PREUVE: 〈 ∑ ‖ 〉 ‖ ‖ ‖ ( 〈 ‖ ) 〉 ( ) ‖ ( ) donc On aura ( ) ( ) ( ) ( ) n général ( ) ( ) ) est orthogonale et ( ( ) (‖ ‖ ‖ ). ‖ DEFINITION 36 : MINEURS PRINCIPAUX A=( ) , (( mineur principal de A est défini par PROPOSITION 37 : GRAMM-SCHMIDT E : espace euclidien, A matrice de ( | ) dans une base ( ( ) tel que : ) orthogonale 1) ( ( ) ( ) 2) ) ) ). Alors il existe une base La matrice associée à q est diagonale ( ‖ ‖ ) autrement dit . EXEMPLE IMPORTANT DE PROJECTION ET SYMETRIE ORTHOGONALE Si F est une droite ( ) ou un hyperplan( ) Soit Soit H un hyperplan, ( ) ( ) ( | ) ‖ ‖ ( ) ( | ) ‖ ‖ ( ) ( ) ( | ) ‖ ‖ ⏟ ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ‖ ‖ 4 ( ( ) ( )) CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS 3) Matrices orthogonales E espace euclidien ( ) base orthogonale ( ( ) une autre base orthonormale ) Soit O la matrice de passage de ( à( ( ) ( ) Alors ) ) . . PROPOSITION 38 : On a équivalence pour ( ) 1) . 2) 3) est la matrice de passage d’une base orthonormale dans une autre. DEFINITION 37 : MATRICES ORTHOGONALES On dit que ( ) est orthogonale si elle satisfait une des conditions 1), 2) ou 3). On note ( ) l’ensemble des matrices orthogonales. PROPOSITION 39 : ( ) est un sous-groupe de ( ) PREUVE: 1) ( ) ) ( ⏟ ( ) ( ) 2) 3) ( ) PROPOSITION 40 : FACTORISATION ( ) Soit Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que PREUVE: On introduit un espace euclidien de dimension n et une base orthogonale pour le produit scalaire de E. Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de à . On applique GrammSchmidt à la base on obtient une base orthonormale . Soit T la matrice de passage de à , elle est triangulaire supérieure ( ) ( ) ( ) } ( ) 5 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS ( ( ) ( ) ) ( oit III. la matrice de passage de à ) , donc orthogonale. Adjoint d’un endomorphisme. E espace euclidien, u un endomorphisme de E. ( ) C’est une application bilinéaire. ( | ( )) PROPOSITION 41 : ( ) L’application ( ) ( ( ) ) ( | ( )) est un isomorphisme. PREUVE: B base de E. A la matrice du produit scalaire de E dans cette base. Soit et leurs coordonnées dans B et M la matrice de u dans B. ) ( | ( )) s’écrit Alors ( ( ) ( ) L’application ϕ s’écrit matriciellement ( ) ( ) A est inversible donc est un isomorphisme. Rmq : ) ( | ( )) sont les Si B est orthonormale, . Les matrices de u et de ( mêmes. Si ( ) on dira que u est l’endomorphisme associée à b, i.e. ( ) ( | ( )) DEFINITION 38 : ADJOINT Soit ( ) L’endomorphisme associé à ( ) ( | ( )) est noté est appelé adjoint de u. ( ( )| ) ( | ( )) 6 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS Rmq : ( ( ) ) ( | ( )) est symétrique ssi ( | ( )) est antisymétrique ssi DEFINITION 39 : YM TRI ,ANTI YM TRI , NORMALIT D L’ADJOINT Soit ( ) On dit que u est symétrique si On dit que u est antisymétrique si On dit que u est normal si On dit que u est orthogonal si PREUVE: Si ( | donc Rmq : 1) 2) , ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| ) ) ( ( )| ) ( | ( )) ( ( )| ( )) ( ) Les endomorphismes symétriques ou antisymétriques sont normaux. ( ) tel que , ( | ( )) ( ( )| ) , ( ( )| ( )) ( | ) DEFINITION 40 : ADJOINT POSITIF, NEGATIF, DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF Soit ( ) symétrique. On dit que u est défini positif (resp positif, déf négatif, négatif) ( | ( )) est défini positive (resp positive, déf négative, négative) si ( ) PROPOSITION 42 : Soit ( ) symétrique, représentée par une matrice A dans une base orthonormale. Alors A est définie positive (resp positive, déf négative, négative) ssi u est définie positive (resp positive, déf négative, négative) DEFINITION 41 : AUTOMORPHISME ORTHGONAL ( ) ( | ) ( ( )| ( )) PROPRI T D L’ADJOINT: muni d’une base orthonormée B ( ) ( ) PREUVE: ( ( ( ) ) ) ( | ( )) ( ( )| ) ( ) ( ) Soit M matrice de u A matrice de ( | ) 7 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS ( | ( )) ( ( ( ) ) ( ) ( ( )| ) ( ( )| ) ) CORROLAIRE: Les endomorphismes symétriques de E sont ceux dont la matrice dans une base orthonormée est symétrique. PROPRIETES 45: L’adjonction est une anti-involution c’est-à-dire elle satisfait : ) 1) ( 2) est une application linéaire de ( ) ( ) ) ( ) 3) ( ( ) 4) ( ) PREUVE: 1) ( | ( )) ( | ) ( ( )| ) 2) ( |( )( )) ( | ( )) ( | ( )) ( ) donc ( ( )| ) ( ( )| ) ( |( )( )) ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| ) 3) ( |( )( )) ( | ( ( ))) ( ( )| ( )) (( ) donc ( 4) ( | ( )) ( ( )| ) (( )( )| ) NOYAU ET IMAGE DE L’ADJOINT: Soit ( ) Alors ( ( )) ( )) ( et PREUVE: ( ) , ( ( )| ) , ( | ( )) ( | ) non dégénérée ( ) (( ) ) ( ) 8 ( ) ( ) )( )| ) CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS ADJOINT ET STABILISATION: ( ) un s.e.v. stable par u ( ( ) Alors stable par . PREUVE: Soit On calcule ( ( )| ) pour ( ( )| ) ( | ( )) ( | ) donc ( ) . ) car F stable par u. CORROLAIRE: Soit F ss-ev stable par u. Si u est{ } stable par u PROPOSITION 49: ( ) a) est symétrique positif b) est défini positif ssi ( ) c) ( ) ( ) ( ) VERSION MATRICIELLE: ( ) a) est symétrique positive b) est définie positive ssi A est inversible ( ) c) ( ) ( ) PREUVE: ) a) ( donc symétrique. Notons ( ) ( | ( )) On considère ( | ( ( ))) ( ( )| ( )) On a ( ) ‖ ( )‖ positive La f.q. associée Donc b positive i.e. f positive. b) Comme b est positive, ( ) ( ) ( ) ( ) (car‖ ‖ anisotrope) ( ) ( | ) non dégénérée) ( est définie positive si 9 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS u inversible donc ssi c) Finalement, on a en effet si et donc . ( ) ( ) D’autre part, ( ) ( ) donc THEOREME SPECTRALE: Tout endomorphisme symétrique de E admet une base orthonormée de vecteurs propres. ( ) de E ( ) ( ) ( ) ( ) VERSION MATRICIELLE: Pour toute matrice symétrique A de ( ) Il existe une matrice orthogonale O tel que soit diagonale PREUVE: Par récurrence sur Si il n’y a rien à démontrer Supposons vrai pour tout espace de dim <n Soit E un espace de dimension n. upposons qu’il existe un vecteur propre X non nul de u et sa valeur propre. )( ) Donc ( On pose Soit . ‖ ‖ ( ) donc F stable par u , ( ) ( ) ‖ ‖ ( ) 10 ‖ ‖ CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS On a vu que est aussi stable par u. | symétrique Et Par hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormée ( pour | .La base de qu’on cherche est donc ( ) ) de vecteurs propres Voyons maintenant l’existence d’une vecteur propre pour u non nul. On considère l’application On considère la sphère le sup sur S c.à.d. On considère positive et ( ) ( ) ( ) ‖ ‖ donc ( | ( )) ‖ ‖ elle est compacte et q est continue donc q atteint ( ) . ( ) f.q. ( ) ( ) ( |( La f.p. de est ( ) )( )) qui est dégénérée. Donc )( )) . ( |( On en déduit que n’est pas surjective donc n’est pas injective donc ( )( ) donc est un vecteur prop. tq t.q. CORROLAIRE: (réduction simultanée) E de dim finie et deux fq tel que Alors il existe une base de E. et représentée par D diagonale/ q représentée par I. VERSION MATRICIELLE: Soient L,N deux matrices symétriques, M définit positive de ( ) Il existe une matrice invariable C tel que , est diagonale APPLICATION DU THEOREME SPECTRAL: Pour un endomorphisme symétrique positif a il existe un unique endomorphisme b symétrique positif tel que ( ) VERSION MATRICIELLE: Soit ( ), ( ) tel que 11 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS PREUVE: Existence : Soit ( ) base orthonormale de vecteurs propres et associées. Comme u est positif alors On pose ( ) ( ) On a Donc √ ( ( )) (√ ) √ et b est symétrique positive. . Unicité : Soit b symétrique positive tel que | voyons ( ) Donc √ √ Donc b est uniquement déterminé par les THEOREME: DECOMPOSITION POLAIRE VERSION ENDOMORPHISME : Soit ( ). Couple ( )t.q. VERSION MATRICIELLE : Soit ( ). couple ( )t.q. Donc √ ) . . )( ) ( ( )) ( Supposons valeur propre de b : ( ) ( ) ( ) On compose par ( ) ( ) , ( . est un endomorphisme symétrique positif de PREUVE: Unicité : les valeurs propres ( )( ) ( ( )) ( ) . ( ), définie positif et ( ), ( ) et symétrique définie positive h est unique. u est unique. Existence : symétrique définie positive. √ On pose , Voyons que u est orthogonal : ( ) GROUPE ORTHOGONAL EUCLIDIEN. Rappel : symétries orthogonales ( ) F s.e.v. où , ( | ) hyperplan. ( | ) ( ) Si ‖ ‖ 12 ( | ) ( ) ( ) CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS ( ) b.o.n. de ( ) ( | ) est un vecteurunitaire matrice de ( ) THEOREME: Alors u est la composée de r réflexions où ( ) PREUVE: Par récurrence sur r. Si est un produit de 0 réflexions. ) Supposons vrai que ( ) tq ( ) Soit ( ) tel que ( , tel que ( ) ( ) On pose on regarde o ( ( )) ‖ ( ) ‖ ( ) et ‖ ‖ ( | ) ‖ ‖ ( ) ‖ ( )‖ ‖ ‖ ( ( )| ) ( ( )| ) ( ( ) | ) ‖ ‖ ( ( )| ) ( ) ( ) ( ) o ‖ ‖ ( ( ) | ) ( ( )| ) ‖ ‖ ( ( )| ) ‖ ‖ ( ( )| ) ‖ ‖ ( ) ( ) fixe tout vecteur fixé par u. Soit ( ) ( | ) ( ( ) | ) ( | ) ( ( )| ) ( | ) ( | ) ( ( )| ( )) ( | ) ( ) ( | ) ‖ ‖ ( ) ( ) fixe tout vecteur de ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( ( )) donc ( ( )) ( )) On applique l’hypothèse de récurrence : ( Donc ( 13 ( ) CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS réflexions DEFINITION 42 : RETOURNEMENT On appelle retournement une symétrie orthogonale par rapport à un // à un plan. PROPRIETE: . Le groupe F de dim ( ) est engendré par les retournements. Cas Classification suivant les invariants. ( ) ( ) est un s.e.v. de E. ) ( ), fixe ( ) donc fixe ( LEMME: Si ( ( ): , ) ( ) ( ) PREUVE: M matrice de u dans une base orthonormale. ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) ( ) THEOREME: ( ) a) On a équivalence entre i. ( ) ii. est une droite iii. est une symétrie orthogonale par rapport à une droite i.e. ϕ est une réflexion. ( )) ssi b) est une rotation ( ou PREUVE: i ii ( ) si Mais ii iii ( ) Donc u est une réflexion. ( ) 14 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS THEOREME: Toute rotation de E est le produit de 2 réflexions (l’une des 2 peut être choisie arbitrairement) PREUVE: Si Si . Soit D une droite quelconque ( ) donc c’est une réflexion par rapport à une droite D’. COROLAIRE: s réflexion, ρ rotation dans E. Et PREUVE: ( ) ( ) ( ) de même on a ( ) ( ( ) ) COROLAIRE: (SO(E) ou le groupe des rotations) est un groupe abélien. PREUVE: ( ) { ( ) ( ) Donc on a bien Matrices orthogonales. ( ) ( ) ( ) ( ) et Si ( ) on a { 15 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS ( ) et ( On peut le réécrire ( ) ( ) est abélien ) THEOREME: | | Alors l’application ( ) est un isomorphisme de groupes. ( ) On a { donc M s’écrit de la forme ( ) Etude de O(E), ( ) alors notons plan et droite Comme u stabilise P stabilise D. | automorphisme orthogonal dans un espace de dim 1 donc | Si | ce qui est impossible car Donc | donc u est une réflexion par rapport à P. Réciproquement une réflexion orthogonale est un automorphisme orthogonal dans l’espace des invariants est un hyperplan donc de soit et | est un automorphisme de P donc | est une rotation ou une réflexion par rapport à une droite Δ. Supposons | est réflexion par rapport à Δ. ce qui est impossible car Donc | est une rotation. 16 CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS ( ) et ( Soit w unitaire. Dans la base ( ( ) b.o.n de P. ) la matrice de u est ) pour certain ( ) et ( ) ( Réciproquement soit ( ) ( ) ) ( ) ( donc ) ( ) ( ) LEMME: ( PREUVE: M matrice de u, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) ( ( )( ) )( ) )( ) ) )) (( ( ( )) ) ) ( ) Si Si donc ( ( ( ( ( ( ( ( ) est une rotation Si Si et . Soit D droite et on considère les symétries orthogonales associées . On a Si est une rotation ≠ . Soit D son axe et P le plan orth à D. Notons la rélexion par rapport à P. On considère est une rotation d’axe D. )( ) ( ) En effet si , ( ) ( 17 ) CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS De plus, en effet si , ( ( )) si ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) , ( ) ( ) ( ) car ( ) THEOREME: ( ), et alors u set la comparée d’une réflexion par rapport à un plan P et une rotation d’axe orthogonale à P. Le produit est commutatif. THEOREME: espace euclidien ( ). Alors il existe p,q entiers et tel que u est représenté dans une base orthonormale par ( p,q et ( où , …, , …, ) ) sont unique à l’ordre près. Angles orientés E espace euclidien de dimtel que 2. DEFINITION 43 : ORIENTATION On appelle orientation de est le choix d’une base orthonormée ( ). Soit ( elle est directe ou positive si l’unique élément ( ) ( ) et ( ) Rmq : Si alors ( ), , matrice de ( ). On a vu ) une autre base est dans SO(E) relations à deux b.o.n. directes de E. Soit P la matrice de passage donc mod [2 / On remarque que si on considère deux matrices par rapport à des bases de sens opposées on en déduit ( ) et . On en déduit que la matrice d’une rotation ne dépend que de l’orientation de la base. DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE ( ) on lui associe un unique nombre réel [2 matrice dans une b.o.n directe quelconque. 18 : l’angle orienté de pour l’association d’une CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS PROPRIETE: Soit vecteurs unitaires. Il existe une unique rotation qui envoit u sur v. PREUVE: oit u’ unitaire ( Alors On pose alors ) b.o.n. ( ) ( ) . DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE unitaire leur angle orienté (̂) est celui de la rotation qui envoit u sur v. u,v vecteur quelconque (̂) ( ̂ ) ‖ ‖ ‖ ‖ PROPRIETE: Relation de chasles. Soient alors (̂) (̂) (̂) THEOREME: 1. Toute rotation conserve les angles 2. Toute réflexion renverse les angles. 19