Feuille d`exercices n°1 Espaces et sous

Lycée Chrestien de Troyes Feuille d’exercices n°1 −Espaces et sous-espaces vectoriels, dimension MP1617
Feuille d’exercices n°1
Espaces et sous-espaces vectoriels, dimension
Version du 01-09-2016 à 06:30
Notation : Dans tout ce document, Kdésigne un corps (commutatif).
Exercice 1. Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel. Soient λ∈Ket x∈E. Démontrer
λ.x=0E=⇒ (λ=0Kou x=0E).
Exercice 2.
1. L’ensemble ©(x,y,z)∈R3:x+y+z=1ªest-il un sous-espace vectoriel de R3?
2. L’ensemble ©(x,y)∈R2:y=x2ªest-il un sous-espace vectoriel de R2?
Exercice 3. Démontrer que les ensembles
Sc=©(un)n∈N: (un)n∈Nconverge ªet S0={(un)n∈N:un→0}
sont des sous-espaces vectoriels de RN.
Exercice 4. Démontrer que {P∈K[X] : P(0) =0}est un sous-espace vectoriel de K[X].
Exercice 5. Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, soient F,Gdeux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F∩G
est un sous-espace vectoriel de E(sans utiliser la proposition 4 du cours...).
Exercice 6. Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, soient F,Gdeux sous-espaces vectoriels. Montrer que F∪Gest
un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si F⊂Gou G⊂F.
Exercice 7. Notons P(respectivement I) l’ensemble des fonctions de Rdans Rpaires (respectivement im-
paires). Démontrer que RR=P⊕I.
Exercice 8. Soient Aet Bdeux parties d’un K-espace vectoriel E. Démontrer
Vect(A)+Vect(B)=Vect(A∪B)
et en déduire une nouvelle démonstration d’un résultat du cours.
Exercice 9. L’assertion suivante est-elle vraie ou fausse ?
Si F,G,Hsont trois sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel Etels que F+G=F+H, alors G=H.
Exercice 10. Déterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels de R4suivants :
F=©(x,y,z,t)∈R4:x+y+z+t=0ªet G=©(x,y,z,t)∈R4:x+y+z+t=x−y+2z−3t=0ª.
Exercice 11. Soient E1=Vect(v1,v2) et E2=Vect(w1,w2) avec v1=(1,−1,0,1), v2=(0,2,1,0), w1=(0,6,−1,4)
et w2=(3,3,1,5).
1. Caractériser E1∩E2.
2. Donner une base de E1+E2.
3. Définir un supplémentaire de E1+E2dans R4.
Exercice 12. Cest-il un R-espace vectoriel de dimension 2.
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Exercice 13. Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie n. Démontrer que Eest un R-espace vectoriel de
dimension finie 2n.
Exercice 14. Démontrer que K[X] n’est pas de dimension finie.
Exercice 15. Pour tout k∈N, on définit fk∈RRpar
¯
¯
¯
¯
fk:R→R
x7→ cos(kx).
1. Soit n∈N. Démontrer que la famille (f0,..., fn) est libre.
2. Qu’en déduire quant à RR?
Exercice 16. Soit a1,..., andes nombres réels deux-à-deux distincts. Posons
¯
¯
¯
¯
ek: ]0,+∞[→R
x7→ xak.
La famille (e1,...,en) est-elle libre ?
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