Feuille d`exercices n°1 Espaces et sous

Lycée Chrestien de Troyes
Feuille d’exercices n°1 − Espaces et sous-espaces vectoriels, dimension
MP1617
Feuille d’exercices n°1
Espaces et sous-espaces vectoriels, dimension
Version du 01-09-2016 à 06:30
Notation : Dans tout ce document, K désigne un corps (commutatif).
Exercice 1. Soit (E , +, .) un K-espace vectoriel. Soient λ ∈ K et x ∈ E . Démontrer
λ.x = 0E
=⇒
(λ = 0K ou x = 0E ).
Exercice 2.
©
ª
1. L’ensemble (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1 est-il un sous-espace vectoriel de R3 ?
©
ª
2. L’ensemble (x, y) ∈ R2 : y = x 2 est-il un sous-espace vectoriel de R2 ?
Exercice 3. Démontrer que les ensembles
©
ª
S c = (u n )n∈N : (u n )n∈N converge
et
S 0 = {(u n )n∈N : u n → 0}
sont des sous-espaces vectoriels de RN .
Exercice 4. Démontrer que {P ∈ K[X ] : P (0) = 0} est un sous-espace vectoriel de K[X ].
Exercice 5. Soit (E , +, .) un K-espace vectoriel, soient F,G deux sous-espaces vectoriels de E . Montrer que F ∩G
est un sous-espace vectoriel de E (sans utiliser la proposition 4 du cours...).
Exercice 6. Soit (E , +, .) un K-espace vectoriel, soient F,G deux sous-espaces vectoriels. Montrer que F ∪ G est
un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F .
Exercice 7. Notons P (respectivement I ) l’ensemble des fonctions de R dans R paires (respectivement impaires). Démontrer que RR = P ⊕ I .
Exercice 8. Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E . Démontrer
Vect(A) + Vect(B ) = Vect(A ∪ B )
et en déduire une nouvelle démonstration d’un résultat du cours.
Exercice 9. L’assertion suivante est-elle vraie ou fausse ?
Si F,G, H sont trois sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E tels que F +G = F + H , alors G = H .
Exercice 10. Déterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels de R4 suivants :
©
ª
©
ª
F = (x, y, z, t ) ∈ R4 : x + y + z + t = 0
et
G = (x, y, z, t ) ∈ R4 : x + y + z + t = x − y + 2z − 3t = 0 .
Exercice 11. Soient E 1 = Vect(v 1 , v 2 ) et E 2 = Vect(w 1 , w 2 ) avec v 1 = (1, −1, 0, 1), v 2 = (0, 2, 1, 0), w 1 = (0, 6, −1, 4)
et w 2 = (3, 3, 1, 5).
1. Caractériser E 1 ∩ E 2 .
2. Donner une base de E 1 + E 2 .
3. Définir un supplémentaire de E 1 + E 2 dans R4 .
Exercice 12. C est-il un R-espace vectoriel de dimension 2.
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Exercice 13. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n. Démontrer que E est un R-espace vectoriel de
dimension finie 2n.
Exercice 14. Démontrer que K[X ] n’est pas de dimension finie.
Exercice 15. Pour tout k ∈ N, on définit f k ∈ RR par
¯
¯ fk
¯
¯
:
R
x
→
7
→
R
cos(kx).
1. Soit n ∈ N. Démontrer que la famille ( f 0 , . . . , f n ) est libre.
2. Qu’en déduire quant à RR ?
Exercice 16. Soit a 1 , . . . , a n des nombres réels deux-à-deux distincts. Posons
¯
¯ e k : ]0, +∞[ →
R
¯
¯
x
7→ x ak .
La famille (e 1 , . . . , e n ) est-elle libre ?
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