BCPST 1A Mathématiques
M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
Année 2016-2017
LOGIQUE
1 VOCABULAIRE
Assertion : phrase non paradoxale.
Principe du tiers-exclu : une assertion est soit vraie, soit
fausse.
Principe de non contradiction : une assertion ne peut être
à la fois vraie et fausse.
Conjecture : énoncé mathématique non prouvé mais sup-
posé être vrai.
Théorème : un résultat prouvé.
Conjonction “et” p∧qvraie lorsque pet qsont simultanément vraies.
Disjonction “ou” p∨qvraie lorsqu’au moins une des assertions est vraie.
Contraire ¬pou non(p) On parle aussi de négation.
Appartenance x∈E x appartient à l’ensemble E
x6∈E x n’appartient pas à l’ensemble E
Quantificateur universel ∀x∈E,ptous les éléments de Evérifient l’assertion p.
On lit “pour tout xdans E” ou “quelque soit xdans E”.
Quantificateur existentiel ∃x∈E,pil existe (au moins) un élément de Equi vérifie l’assertion p.
On lit “il existe xdans E”.
∃!x∈EOn lit : “il existe un unique x dans E”
Equivalence p⇐⇒ qvrai si pet qont même valeur de vérité.
On dit “pest vraie si et seulement si q est vraie”.
Implication p⇒q“Si p, alors q”.
p⇒qest vraie si et seulement si
½pest fausse,
ou pet qsimultanément sont vraies.
réciproque la réciproque de p⇒qest q⇒p
condition suffisante p⇒qon dit que pest une condition suffisante pour que qsoit vraie.
condition nécessaire p⇐qon dit que pest une condition nécéssaire pour que qsoit vraie.
condition nécessaire et suffisante p⇐⇒ qon dit que pest une condition nécessaire et suffisante pour que q
soit vraie.
2 PROPRIÉTÉS
Associativité (et,ou) (p∧q)∧r⇐⇒ p∧(q∧r) et (p∨q)∨r⇐⇒ p∨(q∨r)
Commutativité (et,ou)p∧q⇐⇒ q∧pet p∨q⇐⇒ q∨p
Distributivité (et par rapport au ou)p∧(q∨r)⇐⇒ (p∧q)∨(p∧r)
Distributivité (ou par rapport au et)p∨(q∧r)⇐⇒ (p∨q)∧(p∨r)
Lois de De Morgan :
la négation de “∀x∈E,p” est “∃x∈E,¬p”
la négation de “∃x∈E,p” est “∀x∈E,¬p”
la négation de “p∧q” est “(¬p)∨(¬q)”
la négation de “p∨q” est “(¬p)∧(¬q)”
Implication :
p⇒qsi et seulement si (¬p)∨q
¬(p⇒q) si et seulement si p∧¬q (négation)
si (p⇒q)∧(q⇒r) alors p⇒r (transitivité)
p⇒qsi et seulement si ¬q⇒¬p (contraposée)
p⇐⇒ qsi et seulement si (p⇒q)∧(q⇒p)(double implication)