Fiche logique et ensembles

BCPST 1A Mathématiques
M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
Année 2016-2017
LOGIQUE
1 VOCABULAIRE
Assertion : phrase non paradoxale.
Principe du tiers-exclu : une assertion est soit vraie, soit
fausse.
Principe de non contradiction : une assertion ne peut être
à la fois vraie et fausse.
Conjecture : énoncé mathématique non prouvé mais sup-
posé être vrai.
Théorème : un résultat prouvé.
Conjonction “et” p∧qvraie lorsque pet qsont simultanément vraies.
Disjonction “ou” p∨qvraie lorsqu’au moins une des assertions est vraie.
Contraire ¬pou non(p) On parle aussi de négation.
Appartenance x∈E x appartient à l’ensemble E
x6∈E x n’appartient pas à l’ensemble E
Quantificateur universel ∀x∈E,ptous les éléments de Evérifient l’assertion p.
On lit “pour tout xdans E” ou “quelque soit xdans E”.
Quantificateur existentiel ∃x∈E,pil existe (au moins) un élément de Equi vérifie l’assertion p.
On lit “il existe xdans E”.
∃!x∈EOn lit : “il existe un unique x dans E”
Equivalence p⇐⇒ qvrai si pet qont même valeur de vérité.
On dit “pest vraie si et seulement si q est vraie”.
Implication p⇒q“Si p, alors q”.
p⇒qest vraie si et seulement si
½pest fausse,
ou pet qsimultanément sont vraies.
réciproque la réciproque de p⇒qest q⇒p
condition suffisante p⇒qon dit que pest une condition suffisante pour que qsoit vraie.
condition nécessaire p⇐qon dit que pest une condition nécéssaire pour que qsoit vraie.
condition nécessaire et suffisante p⇐⇒ qon dit que pest une condition nécessaire et suffisante pour que q
soit vraie.
2 PROPRIÉTÉS
Associativité (et,ou) (p∧q)∧r⇐⇒ p∧(q∧r) et (p∨q)∨r⇐⇒ p∨(q∨r)
Commutativité (et,ou)p∧q⇐⇒ q∧pet p∨q⇐⇒ q∨p
Distributivité (et par rapport au ou)p∧(q∨r)⇐⇒ (p∧q)∨(p∧r)
Distributivité (ou par rapport au et)p∨(q∧r)⇐⇒ (p∨q)∧(p∨r)
Lois de De Morgan :
la négation de “∀x∈E,p” est “∃x∈E,¬p”
la négation de “∃x∈E,p” est “∀x∈E,¬p”
la négation de “p∧q” est “(¬p)∨(¬q)”
la négation de “p∨q” est “(¬p)∧(¬q)”
Implication :
p⇒qsi et seulement si (¬p)∨q
¬(p⇒q) si et seulement si p∧¬q (négation)
si (p⇒q)∧(q⇒r) alors p⇒r (transitivité)
p⇒qsi et seulement si ¬q⇒¬p (contraposée)
p⇐⇒ qsi et seulement si (p⇒q)∧(q⇒p)(double implication)

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3 DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT
La déduction À partir d’hypothèses, arriver à la conclusion par une suite d’implications.
La déduction correspond à l’implication logique. Elle s’appuie sur le raisonnement
“Si. . . , alors. . . ”.
La contraposée Si la conséquence est fausse, c’est que sa cause n’est pas vérifiée.
Le raisonnement par l’absurde Pour démontrer qu’une proposition est vraie, on montre qu’il est absurde de la sup-
poser fausse.
Disjonction des cas Pour montrer qu’une propriété est vraie dans certains cas, on étudie chaque situa-
tion séparément.
Analyse-synthèse Analyse (condition nécessaire) : on commence par supposer que l’on connait ces
solutions et on en déduit des conditions qu’elles doivent vérifier.
Synthèse (condition suffisante) : on montre que si un objet vérifie ces conditions,
alors il est bien solution
Ce type de raisonnement répond souvent à la question “montrez qu’il existe un
unique .. .tel que . .. ”.
Récurrence Pour montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n∈N,
a) on montre que P(0) est vraie,
b) on suppose que pour un n∈Nquelconque fixé,P(n) est vraie
et on montre qu’alors P(n+1) est aussi vraie.
Rédaction :
On définit la propriété P(n).
Initialisation : On vérifie que P(0) est vraie.
Hérédité : Pour n≥0quelconque fixé, on suppose que P(n) est vraie
et on montre alors que P(n+1) est également vraie.
Conclusion.
Récurrence double Pour montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n∈N,
a) on montre que P(0) et P(1) sont vraies,
b) on suppose que pour n∈Nquelconque fixé,P(n) et P(n+1) sont vraies
et on montre qu’alors P(n+2) vraie
Récurrence forte Pour montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n∈N,
a) on montre que P(0) est vraie,
b) on suppose que pour n∈Nquelconque fixé les assertions P(k) sont vraies
pour tous les k≤n
et on montre qu’alors P(n+1) est vraie

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ENSEMBLES
1 RAPPEL : LES ENSEMBLES DE NOMBRES
Nles entier naturels 0, 1, 2, 3, 4,...
Zles entier relatifs ..., −2, −1, 0, 1, 2,...
Qles rationnels (quotients de deux entiers) 1
4,2 825 ,−5 3,3,5 =35 10 , ...
Rles réels 0, 5, −4, 2
3,−3 7,π,...
Cles complexes 3+2i, 5i,−2p3(1 +i), 2eiπ
6,···
On note avec une étoile en exposant, l’ensemble privé de l’élément 0 : N∗={n≥1}
On note avec un plus en exposant ou en indice : R+=R+, l’ensemble des nombres positifs : Z+=N,R∗
+={x>0}
On note avec un moins, l’ensemble des nombres négatifs : Z−
2 APPARTENANCE ET INCLUSION
Ensemble E: collection d’objets distincts appelés éléments de E
Ensemble vide : ensemble qui ne contient aucun élément. Noté ;ou {}.
Singleton : ensemble à un seul élément : {a}
Définition d’un ensemble en extension : donner la liste complète des éléments qui le composent.
Définition d’un ensemble en compréhension : considérer comme l’ensemble des éléments qui vérifient une certaine pro-
priété.
Égalité d’ensembles E=F E et Font exactement les mêmes éléments.
E=F⇐⇒ ∀x¡x∈E⇐⇒ x∈F¢
Inclusion E⊂Ftous les éléments de Eappartiennent tous à F.
on dit que Eest inclus dans F, ou que Fcontient E, ou que Eest une partie
de F
E⊂F⇐⇒ ∀x¡x∈E⇒x∈F¢
Parties d’un ensemble P(E) Les parties de Esont tous les ensembles inclus dans E.
A∈P(E)⇐⇒ A⊂E
Réunion E∪FEnsemble formé des éléments de Eet des éléments de F
E∪F={xtel que x∈Eou x∈F}
Intersection E∩FEnsemble formé des éléments appartenant à la fois àEet à F
E∩F={xtel que x∈Eet x∈F}
Ensembles disjoints E∩F=; Ensembles qui n’ont aucun élément commun.
Complémentaire {EFou E\Fou FComplémentaire de Fdans E, ensembles des éléments de Equi
n’appartiennent pas à F.
{EF={x∈Etel que x6∈ F}
Produit cartésien E×FEnsemble des couples
E×F=©(x,y) tel que x∈E,y∈Fª
E2si E=F.
se généralise à nensembles.
n-uplet Élément de E1×E2×···×En=
n
Q
i=1Ei
p-liste n-uplet lorsque tous les ensembles du produit cartésien sont identiques.
Famille (xi)i∈ISuite d’éléments indexés par I(Iest l’ensemble des indices)
En particulier si I=[[1;p]], on retrouve les p-listes.
EIEnsemble des familles de Eindexées par I.

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Prouver une inclusion : Pour montrer A⊂Bon montre que tous les éléments de Asont aussi dans B.
Concrètement, on prend x quelconque dans Aet on montre que x∈B.
Prouver une égalité par double inclusion : E=F⇐⇒ ¡E⊂Fet F⊂E¢
Involutivité du complémentaire : A=A
Distributivité : ¡A1∪A2¢∩B=¡A1∩B¢∪¡A2∩B¢et ¡A1∩A2¢∪B=¡A1∪B¢∩¡A2∪B¢
³Si∈IAi´∩B=Si∈I(Ai∩B) et ³Ti∈IAi´∪B=Ti∈I(Ai∪B)
Formules de De Morgan :
{E¡A∪B¢=A∪B=A∩Bet {E¡A∩B¢=A∩B=A∪B
{E³Si∈IAi´=Ti∈I{EAiet {E³Ti∈IAi´=Si∈I{EAi
3 TRANSCRIPTION LOGIQUE/LANGAGE ENSEMBLISTE
Logique Ensembles
Négation : ¬pComplémentaire : ¯ A
Conjonction et : p∧qIntersection : A∩B
Disjonction ou : p∨qRéunion : A∪B
Implication : p⇒qInclusion : A⊂B
Équivalence : p⇐⇒ qÉgalité : A=B