Triangle rectangle et trigonométrie

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Triangle rectangle et trigonométrie
I – Rappels sur les triangles rectangles :
1. Configurations géométriques :
Retrouver les différentes propriétés d’un triangle rectangle :
Hypoténuse : c’est le coté opposé à l’angle droit, c’est le plus grand coté du triangle.
Orthocentre : c’est le sommet de l’angle droit, les cotés de l’angle droit sont les
hauteurs respectives de ces cotés.
Cercle circonscrit : l’hypoténuse est un de ses diamètres.
Centre du cercle circonscrit : c’ est le milieu de l’hypoténuse.
Médiane issue de l’angle droit : Elle a pour mesure la moitié de l’hypoténuse et donc
OC = OB = OA.
2. Théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle. Si le triangle ABC est rectangle en A.
alors BC!=AB!+AC!
3. Réciproque du théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle. Si BC!=AB!+AC!
alors le triangle ABC est rectangle en A.
4. Contraposée du théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle de plus grand coté [BC].
Si BC!≠AB!+AC!
alors le triangle ABC n’est rectangle en A.

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II - Rappel : cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle
1. Vocabulaire :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé (face) à l’angle droit est l’hypoténuse. Ici c’est [BC]
Si on s’intéresse à l’angle
B
ˆ
:
Le côté opposé à l’angle
B
ˆ
est [AC]
Le côté adjacent à l’angle
B
ˆ
est [AB]
Si on s’intéresse à l’angle
C
ˆ
:
Le côté opposé à l’angle
C
ˆ
est [AB]
Le côté adjacent à l’angle
C
ˆ
est [AC]
Remarque :
°=+ 90
ˆ
ˆCB
2. Formule :
𝑐𝑜𝑠!
B
ˆ
=!𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑢!𝑐𝑜𝑡é!𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡!à!𝐵
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑒!𝑙!ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶!
𝑐𝑜𝑠!
C
ˆ
=!𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑢!𝑐𝑜𝑡é!𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡!à!𝐶
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑒!𝑙!ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 =
𝐴𝐶
𝐵𝐶!
Remarque : Comme l’hypoténuse est le plus grand côté, le cosinus d’un angle est toujours
plus petit que 1.
III – Généralisation : Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
1. Formules :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
𝑐𝑜𝑠𝐵=!𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑢!𝑐𝑜𝑡é!𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡!à!𝐵
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑒!𝑙!ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶!
sin 𝐵=!𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑢!𝑐𝑜𝑡é!𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é!à!𝐵
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑒!𝑙!ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 =
𝐴𝐶
𝐵𝐶!
𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟!𝑑𝑢!𝑐𝑜𝑡é!𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é!à!𝐵
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑟!𝑑𝑢!𝑐𝑜𝑡é!𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡!à!𝐵
=
sin 𝐵
𝑐𝑜𝑠𝐵
=
𝐴𝐶
𝐴𝐵
sin =
hypoténuse
opposé
cos =
hypoténuse
adjacent
tan =
adjacent
opposé
C
A
B
C
A
B

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3!
III - Formules et valeurs remarquables :
1. Formule fondamentale
(𝑐𝑜𝑠𝐴)!+(𝑠𝑖𝑛𝐴)!=1!
Démonstration
(cosA)!+(sinA)!=
AB!
AC!+
BC!
AC!=
AB!+BC!
AC!=1!
car d’après le théorème de Pythagore AB!+BC!=AC!!
Conclusion, quelle que soit la mesure x de l’angle aigu :
(cos x)2 + (sin x)2 = 1
remarque : on note aussi 𝑠𝑖𝑛!𝐴+𝑐𝑜𝑠!𝐴=1
2. Valeurs remarquables :
a) Soit ABC un triangle rectangle isocèle en B tel
que AB = BC = a.
BAC =ACB =45°
D’après le théorème de Pythagore :
AC!=AB!+BC!=2a!!donc!AC =!a2.
sin!45° =cos!45° =
AB
AC =
a
a2
=
1
2
=
2
2!
b) Soit EFG un triangle équilatéral de côté a et H le
pied de la hauteur issue de F et donc le milieu de
[EG].
Donc!HG!=!
a
2!!
et!dans!le!triangle!FGH!rectangle!en!H!
HF!+HG!=FG!donc!HF!=GF!−HG!!
HF!=a!−
a!
4=
3
4a!!et!HF =a
3
2
HGF =60°!et!HFG =30°
cos!HGF =
HG
GF =sin!HFG =
𝑎
2
𝑎=
1
2
sin!HGF =
HF
GF =cos!HFG =
𝑎3
2
𝑎=
3
2
D’où le tableau des valeurs remarquables :
Angle ∝
30°
45°
60°
Cos!∝
3
2
2
2
1
2
Sin ∝
1
2
2
2
3
2
C
B
A