Groupes topologiques So

Université de Bourgogne
Licence 3
Année 2015-2016
Novembre-Décembre
Devoir d’analyse fondamentale : Groupes topologiques
Soit G un groupe. On note par e son élément neutre et si g est dans G alors g −1 désignera l’inverse
de g. De plus, le produit interne sera simplement noté par juxtaposition i.e. le produit de g avec h est
gh. En particulier gg −1 = g −1 g = e.
Rappels :
i) Un sous-groupe H de G est un sous-ensemble non vide de G tel que
– si h1 et h2 sont deux éléments de H alors h1 h2 l’est aussi,
– si h est dans H alors son inverse h−1 est aussi dans H.
ii) Un sous-groupe H de G est distingué si pour tout g ∈ G et h ∈ H l’élément ghg −1 est dans H.
iii) Un sous-groupe H est abélien (ou commutatif ) si tout couple (h1 , h2 ) ∈ H 2 vérifient h1 h2 = h2 h1 .
iv) Le centre Z(G) de G est défini par Z(G) := {g ∈ G | gh = hg ∀h ∈ G}.
v) Si X est un espace métrique et x ∈ X alors la composante connexe de x est le plus grand connexe
de X qui contient x.
vi) Un sous-ensemble Y d’un espace métrique X est dit totalement discontinu si les seuls sous-ensembles
connexes de Y sont les singletons (et l’ensemble vide).
Par la suite on munit G d’une métrique d et on suppose que l’application
φ : G2 → G
(g1 , g2 ) 7→ g1−1 g2
est continue quand G2 est muni de la topologie produit. On dit alors que G est un groupe topologique.
Les groupes de matrices (Gln , Sln , On , etc.) sont des exemples importants de groupes topologiques.
Remarque générale : Aucune question ne nécessite une rédaction compliquée. N’oubliez pas que la
plupart des notions du cours ont plusieurs caractérisations équivalentes (en terme d’ouverts, de fermés,
de suites, de fonctions continues etc.). Si une approche ne fonctionne pas, essayez les autres !
1) Montrer que les applications g 7→ g −1 et (g1 , g2 ) 7→ g1 g2 sont continues.
2) Soit H un sous-groupe de G.
a) Montrer que l’adhérence H de H dans G est aussi un sous-groupe de G.
b) Montrer que H est abélien si et seulement si H l’est.
3) a) Si A est un sous-ensemble de G et g ∈ G, on définit gA := {gh | h ∈ A}. Montrer que gA est
ouvert si et seulement si A est ouvert. Indication : on pourra considérer l’application Tg de G dans lui
même définie par Tg (h) = gh.
b) Soit H un sous-groupe de G. Montrer que
[
G\H =
gH.
g ∈H
/
c) Déduire de a) et b) que si H est un sous-groupe ouvert de G alors H est aussi fermé.
d) En déduire que si G est connexe et que H est un sous-groupe ouvert de G alors H = G.
4) On suppose G connexe. Soit H un sous-groupe distingué de G. Montrer que si H est totalement
discontinu alors H est contenu dans le centre Z(G) de G. Indication : pour h ∈ H on pourra considérer
l’application Ch de G dans lui-même définie par Ch (g) = ghg −1 .
5) Montrer que si H est la composante connexe contenant l’élément neutre de G alors H est un sousgroupe distingué de G.
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6) Soit B un sous-ensemble de G stable par produit i.e. si g et h sont deux éléments de B alors gh
aussi. On suppose que B est compact et le but est de montrer que B est alors un sous-groupe de G.
Soit g ∈ B. On note g n la puissance n-ième de g.
a) Montrer qu’il existe un élément a ∈ B et une sous-suite (g φ(n) )n≥1 de (g n )n≥1 telle que (g φ(n) )n≥1
converge vers a.
b) On pose ψ(n) = φ(n + 1) − φ(n). Justifier pourquoi ψ(n) ≥ 1 pour tout n ≥ 1.
c) De la même façon qu’en a), montrer qu’il existe b ∈ B et une sous-suite (g ψ(ρ(n)) )n≥1 de (g ψ(n) )n≥1
telle que (g ψ(ρ(n)) )n≥1 converge vers b.
d) Déduire de la définition de ψ(n) que ab = a.
e) En déduire que b = e.
f ) Montrer qu’il existe une sous-suite de (g ψ(ρ(n))−1 )n≥1 qui converge vers g −1 .
i) Montrer que B est un sous-groupe de G.
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