Groupes topologiques So

Université de Bourgogne Année 2015-2016
Licence 3 Novembre-Décembre
Devoir d’analyse fondamentale : Groupes topologiques
Soit Gun groupe. On note par eson élément neutre et si gest dans Galors g−1désignera l’inverse
de g. De plus, le produit interne sera simplement noté par juxtaposition i.e. le produit de gavec hest
gh. En particulier gg−1=g−1g=e.
Rappels :
i) Un sous-groupe Hde Gest un sous-ensemble non vide de Gtel que
– si h1et h2sont deux éléments de Halors h1h2l’est aussi,
– si hest dans Halors son inverse h−1est aussi dans H.
ii) Un sous-groupe Hde Gest distingué si pour tout g∈Get h∈Hl’élément ghg−1est dans H.
iii) Un sous-groupe Hest abélien (ou commutatif ) si tout couple (h1, h2)∈H2vérifient h1h2=h2h1.
iv) Le centre Z(G)de Gest défini par Z(G) := {g∈G|gh =hg ∀h∈G}.
v) Si Xest un espace métrique et x∈Xalors la composante connexe de xest le plus grand connexe
de Xqui contient x.
vi) Un sous-ensemble Yd’un espace métrique Xest dit totalement discontinu si les seuls sous-ensembles
connexes de Ysont les singletons (et l’ensemble vide).
Par la suite on munit Gd’une métrique det on suppose que l’application
φ:G2→G
(g1, g2)7→ g−1
1g2
est continue quand G2est muni de la topologie produit. On dit alors que Gest un groupe topologique.
Les groupes de matrices (Gln,Sln,On,etc.) sont des exemples importants de groupes topologiques.
Remarque générale : Aucune question ne nécessite une rédaction compliquée. N’oubliez pas que la
plupart des notions du cours ont plusieurs caractérisations équivalentes (en terme d’ouverts, de fermés,
de suites, de fonctions continues etc.). Si une approche ne fonctionne pas, essayez les autres !
1) Montrer que les applications g7→ g−1et (g1, g2)7→ g1g2sont continues.
2) Soit Hun sous-groupe de G.
a) Montrer que l’adhérence Hde Hdans Gest aussi un sous-groupe de G.
b) Montrer que Hest abélien si et seulement si Hl’est.
3) a) Si Aest un sous-ensemble de Get g∈G, on définit gA := {gh |h∈A}.Montrer que gA est
ouvert si et seulement si Aest ouvert. Indication : on pourra considérer l’application Tgde Gdans lui
même définie par Tg(h) = gh.
b) Soit Hun sous-groupe de G. Montrer que
G\H=[
g /∈H
gH.
c) Déduire de a) et b) que si Hest un sous-groupe ouvert de Galors Hest aussi fermé.
d) En déduire que si Gest connexe et que Hest un sous-groupe ouvert de Galors H=G.
4) On suppose Gconnexe. Soit Hun sous-groupe distingué de G. Montrer que si Hest totalement
discontinu alors Hest contenu dans le centre Z(G)de G. Indication : pour h∈Hon pourra considérer
l’application Chde Gdans lui-même définie par Ch(g) = ghg−1.
5) Montrer que si Hest la composante connexe contenant l’élément neutre de Galors Hest un sous-
groupe distingué de G.
1

6) Soit Bun sous-ensemble de Gstable par produit i.e. si get hsont deux éléments de Balors gh
aussi. On suppose que Best compact et le but est de montrer que Best alors un sous-groupe de G.
Soit g∈B. On note gnla puissance n-ième de g.
a) Montrer qu’il existe un élément a∈Bet une sous-suite (gφ(n))n≥1de (gn)n≥1telle que (gφ(n))n≥1
converge vers a.
b) On pose ψ(n) = φ(n+ 1) −φ(n).Justifier pourquoi ψ(n)≥1pour tout n≥1.
c) De la même façon qu’en a), montrer qu’il existe b∈Bet une sous-suite (gψ(ρ(n)))n≥1de (gψ(n))n≥1
telle que (gψ(ρ(n)))n≥1converge vers b.
d) Déduire de la définition de ψ(n)que ab =a.
e) En déduire que b=e.
f) Montrer qu’il existe une sous-suite de (gψ(ρ(n))−1)n≥1qui converge vers g−1.
i) Montrer que Best un sous-groupe de G.
2