Mouvement des astres et lois de Kepler

TS
Thème : Comprendre lois et modèles
TP n°16
Physique
Mouvement des astres et lois de Kepler
Chap.7
 But du TP : Etudier les caractéristiques du mouvement des planètes autour du Soleil grâce aux lois de Kepler.
I. Le mouvement des planètes
1. Introduction historique
 « Un corps se mouvant autour d’un centre pèse en raison inverse du carré de sa distance actuelle au centre,
comme aussi en raison directe de sa masse ; or, il est démontré que c’est la gravitation qui le fait tourner
autour de ce centre, puisque, sans cette gravitation, il s’en éloignerait en décrivant une tangente. Cette
gravitation agira donc plus fortement sur un mobile qui tournera plus vite autour de ce centre ; et plus ce
mobile sera éloigné, plus il tournera lentement, car alors il pèsera bien moins. »
D’après Voltaire, Eléments de la philosophie de Newton, 1738.
2. Orbite circulaire ou elliptique ?
 L’orbite de la Terre autour du Soleil n’est pas un cercle, mais une ellipse.
Un cercle est défini par son centre C et son rayon r, tandis qu’une ellipse est
définie par son centre O, son demi-grand axe a, ses deux foyers F et F’, et
c
son excentricité e = , où c = OF = OF'
a
 Le Soleil occupe l’un des deux foyers de cette ellipse. Aux alentours du 2
janvier, la Terre est le plus près du Soleil (périhélie) à une distance
d’environ 147 millions de km, alors que vers le 2 juillet, elle se trouve le
plus loin du Soleil (aphélie), à une distance d’environ 152 millions de km.
 Nous allons étudier les planètes Terre et Jupiter, dont voici quelques
caractéristiques.
Demi-grand axe a
Période de révolution T
Planète
Excentricité e
Masse (en kg)
(×106 km)
(en années)
0,017
150
1,0
5,98×1024
Terre
0,048
778
12
1,90×1027
Jupiter
3. Protocole expérimental
 Ouvrir le logiciel Stellarium présent sur l’ordinateur.
 Supprimer le sol [G] et l’atmosphère [A], puis configurer le ciel [F4] pour montrer les orbites des planètes.
 Se positionner [F6] au-dessus du plan de l’écliptique (Solar System Observer), puis rechercher [F3] la planète
Jupiter.
 Zoomer avec la molette de la souris pour observer son orbite et accélérer
le temps pour voir la planète se mouvoir.
4. Exploitation
4.1. Quel scientifique est à l’origine de la loi de la gravitation ? Indiquer
son expression pour l’interaction entre le Soleil et Jupiter. Calculer sa
valeur. Donnée : Constante universelle de gravitation
G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
4.2. Comment cette loi permet-elle d’expliquer le mouvement des
planètes autour du Soleil ?
4.3. D’après le texte de Voltaire, que se passerait-il pour la Terre sans
l’existence de cette action mécanique ? Est-ce compatible avec le
principe d’inertie ?
4.4. Jupiter tourne-t-elle plus vite, aussi vite ou moins vite que la Terre
autour du Soleil ?
4.5. Que devient une ellipse de demi-grand axe a lorsque son excentricité
e est nulle ? En déduire si la trajectoire de ces deux planètes peut être
confondue avec des cercles.
4.6. Dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement des
planètes est uniforme.
4.6.1 Calculer la vitesse (en km.s-1) de la Terre et de Jupiter autour du
doc.1 Jupiter et ses quatre lunes galiléennes
Soleil, notée respectivement vT et vJ.
4.6.2 Ces valeurs sont-elles cohérentes avec la réponse à la question 4.4. ?
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P07_lois_de_Kepler.doc
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II. Les trois lois de Kepler
 Claude Ptolémée (IIè siècle après J.-C.) fut le premier à décrire avec précision le
mouvement du Soleil, de la Lune et des planètes autour de la Terre, considérée
alors comme le centre du monde, par une combinaison de mouvements
circulaires uniformes […].
 Trois siècles plus tard, Nicolas Copernic (1473-1543), astronome polonais,
propose son modèle héliocentrique du système solaire, comprenant des
combinaisons de trajectoires circulaires mais encore plus compliquées que celles
de Ptolémée.
 Les mesures très précises de Mars faites par l’astronome danois Tycho Brahe
(1546-1601), convainquent son élève Johannes Kepler (1571-1630), astronome
allemand (voir doc.2), que l’orbite de la planète rouge ne peut pas être décrite ni
par un cercle, ni par une combinaison de cercles, mais qu’elle est elliptique, le
Soleil occupant l’un des foyers. Il publie ce résultat en 1609, dans son
Astronomia nova, aujourd’hui connu sous le nom de première loi de Kepler.
doc.2 J. Kepler en 1609
 Puis, il généralise cette loi à d’autres planètes dans ses Epitome astronomiae
copernicanae (entre 1618-1621) où apparait la première description correcte du système solaire et dans lesquelles
est correctement formulée la deuxième loi de Kepler : Pendant des durées égales, le rayon Soleil-Planète balaye
des aires égales.
 En 1619, dans Harmonice mundi, il établit la troisième loi de Kepler : le carré de la période T de révolution des
planètes est proportionnel au cube de leur distance r au Soleil.
 Pendant ce temps, en 1610, le savant Galilée (1564-1642) découvre que quatre petits satellites (appelées lunes
galiléennes) gravitent autour de Jupiter (voir doc.1). Cette observation des premiers corps tournant autour d’un
autre corps que la Terre est pour lui une preuve irréfutable de la validité de la théorie héliocentrique, et donc de la
véracité des trois lois de Kepler.
Nom des lunes galiléennes
Rayon r de l’orbite quasi-circulaire (en km)
4,22.105
6,71.105
1,07.106
1,88.106
Période de révolution T (en j)
1,77
3,55
7,16
16,7
1. Protocole expérimental
 Zoomer sur Jupiter pour visualiser ses quatre lunes galiléennes. Puis, compléter la première colonne du tableau.
 Mesurer le plus précisément possible, la période T de révolution de chaque satellite et vérifier la dernière
colonne.
 Sur le schéma ci-dessous, placer l’aphélie et le périhélie de la trajectoire de Jupiter autour du Soleil (τ ≈ 100 j).
 Puis, y colorier l’aire AP balayée par le rayon [SJ] entre les 2 dates encadrant le moment où Jupiter est au
périhélie.
 De même, colorier l’aire AA balayée par le rayon [SJ] entre les 2 dates encadrant le moment où Jupiter est à
l’aphélie.
2. Exploitation
2.1. D’après la deuxième loi de Kepler, quelle relation existe-t-il entre AP et AA ?
2.2. En déduire si la vitesse à l’aphélie est supérieure, égale ou inférieure à celle
au périhélie.
 Problématique : On souhaite vérifier si la troisième loi de Kepler peut être
appliquée aux lunes galiléennes.
2.3. Quel est l’astre attracteur des lunes galiléennes ? En déduire le référentiel le
plus adapté pour l’étude de leur mouvement.
2.4. Réécrire la troisième loi de Kepler appliquée aux lunes galiléennes.
2.5. Proposer un protocole expérimental pour répondre à la problématique.
 Faire valider votre démarche et la mettre en place. Conclure.
T² 4²
2.6. La deuxième loi de Newton appliquée aux lunes galiléennes donne 3 =
. Déterminer la masse MJ de
r GMJ
Jupiter. Calculer l’écart relatif avec la valeur du premier tableau. Conclure.
GMJ
2.7. Quelle est l’expression de leur vitesse v en fonction de T et de r ? En déduire qu’on puisse écrire v =
.
r
2.8.
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Vérifier l’homogénéité de cette relation, puis faire calculer la vitesse de chaque satellite.
Cette expression confirme-t-elle la réponse à la question I-4.4. ? Justifier.
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