Mouvements dans l`espace

AE : Mouvement dans l’espace
Connaissances et compétences :
- Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite,
d’une planète, est uniforme. Etablir l’expression de sa vitesse et de sa période.
- Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas de mouvements circulaires.
Matériel :
- Animation GPS :
(http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/GPS.html)
- 1 PC avec Regressi
I. Les lois de Kepler
De l'Antiquité à la Renaissance, la Terre était considérée comme le centre de l'Univers. Il
faudra attendre le XVIIe siècle pour qu'un astronome, Kepler, propose une description
correcte du mouvement des planètes et des satellites.
Histoire et vision du système solaire
Claude Ptolémée (11e siècle après J.-C.) fut le premier à décrire
avec précision le mouvement du Soleil, de la Lune et des planètes
autour de la Terre, considérée alors comme le centre du monde, par
une combinaison de mouvements circulaires uniformes [...].
Trois siècles plus tard, Nicolas Copernic (1473-1543), astronome
polonais, propose son modèle héliocentrique du système solaire : à
l'instar de Ptolémée, l'astronome polonais décrit le mouvement des
planètes comme une combinaison de mouvements circulaires mais
son système - dans lequel le Soleil a remplacé la Terre au centre du
monde - est finalement plus compliqué que celui de Ptolémée.
Les observations très précises de la position de Mars faites par son maître et astronome
danois Tycho Brahe (1546-1601) convainquent Johannes Kepler (1571-1630),astronome
allemand, que l'orbite de la planète rouge ne peut être décrite ni par un cercle ni par une
combinaison de cercles, mais qu'elle est elliptique, le Soleil occupant un des foyers de
l'ellipse. Il publie ce résultat - qui constitue la première loi de Kepler - en 1609 dans son
Astronomia nova (Astronomie nouvelle).
Puis, il généralise cette loi à d'autres planètes dans ses Epitome astronomiae
copernicanae de 1618-1621, qui contiennent la première description correcte du système
solaire et dans lesquelles est correctement formulée la deuxième loi de Kepler : les aires
balayées en des temps égaux par la droite joignant la planète au Soleil sont égales. La
dernière loi - le carré de la période de révolution des planètes est proportionnel au cube de
leur distance moyenne au Soleil - est énoncée en 1619 dans Harmonice mundi
(L'Harmonie du mondé).
James Lequeux, extraits de « Tables pruténiques » et « Lois de Kepler », Encyclopœdia Universalis.
Les lunes galiléennes
Les lunes galiléennes, Io, Europe, Ganymède et Callisto, sont quatre
satellites naturels de Jupiter parmi les 63 connus. Ils se nomment ainsi car
ils ont été découverts par Galilée (1564-1642) en 1610. Leurs trajectoires
peuvent être considérées comme circulaires.
1) À partir des informations du texte, représenter sur un schéma
l'orbite de Mars et y placer le Soleil.
2) Énoncer les trois lois de Kepler pour toute planète du système solaire.

3) Que peut-on déduire de la deuxième loi de Kepler sur la vitesse des planètes en
orbite elliptique autour du Soleil ?
4) Dans le cas des lunes galiléennes, quel est l'astre attracteur ?
5) Que devient l'énoncé de la troisième loi de Kepler appliquée aux lunes galiléennes ?
6) En utilisant éventuellement un tableur-grapheur, construire la représentation
graphique de l'évolution de T² en fonction de r3 pour les lunes galiléennes.
7) La troisième loi de Kepler est-elle vérifiée ?
8) Qu'apportent les lois des Kepler sur la connaissance des trajectoires des planètes et
des satellites ? de leur vitesse? de leur période de révolution ?
II. Le mouvement d’un satellite
Le système de navigation GPS a de multiples applications. Il repose sur une flotte de
satellites en orbite autour de notre planète. Quel est le mouvement d’un satellite du
système GPS ?
La constellation GPS est composée de 30 satellites (y compris ceux
de réserve) évoluant dans 6 plans orbitaux différents, ces plans
étant régulièrement répartis autour du globe. Chaque plan contient
le centre O de la Terre et présente un angle d’inclinaison identique
de 55° par rapport au plan équatorial. Les satellites parcourent leurs
orbitent circulaires situées à 20 300 km d’altitude en 11h58min, à la
vitesse constante de 13 000 km.h-1.
Les satellites, assimilés à des points matériels M de masse m, sont situés au-delà de
l’atmosphère terrestre, d’épaisseur 200 km environ. La seule force prise en compte est
donc l’attraction de la Terre, de centre O. Cette force gravitationnelle a pour expression :
avec :
- RT = 6,36.106 m le rayon de la Terre ;
- MT = 5,97.1024 kg la masse de la Terre ;
- G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2 la constante de gravitation universelle.
L’étude du mouvement des satellites s’effectue dans le référentiel géocentrique, dont
l’origine est au centre O de la Terre et les 3 axes dans la direction de 3 étoiles lointaines.
1) La trajectoire d’un satellite de la constellation GPS est-elle plane ?
2) Si oui quel point du globe appartient systématiquement à ce plan ?
3) Représenter dans un plan la Terre et la trajectoire d’un satellite, ces deux corps
étant assimilés à des points matériels.
4) Exprimer la force gravitationnelle subie par le satellite, en fonction du rayon r de sa
trajectoire. En déduire l’expression de son accélération.
5) Quelle est la nature du mouvement des satellites ? En déduire une relation entre
l’accélération a, la vitesse v et le rayon r.
6) Exprimer la vitesse v du satellite en fonction de r. Vérifier la valeur de v donnée dans
le texte.
7) A partir de l’expression de v en fonction de r, établir la relation entre le carré de la
période de révolution T du satellite et le cube de r.
8) Quelle loi relative au mouvement des planètes retrouve-t-on ?