Mathématiques L1/L2 – Statistique et probabilités en 30

FICHE
I
1
Le langage
des ensembles
Opérations sur les ensembles
– Réunion. La réunion des deux ensembles A et B est notée A ∪ B et est définie
par :
x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B).
– Intersection. L'intersection des deux ensembles A et B est notée A ∩ B et est
définie par :
x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A et x ∈ B).
Deux ensembles A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅.
– Partition. Une famille (Ai )i∈I de parties d'un ensemble est une partition de
si

 Ai = 
i∈I
∀(i, j) ∈ I 2 ,(i =
/ j ⇒ Ai ∩ A j = ∅).
– Complémentaire. Soit A une partie d'un ensemble E, le complémentaire de A
dans E est noté Ac et est défini par :
/ A).
x ∈ Ac ⇔ (x ∈ E et x ∈
– Différence. Soit A et B deux parties de E, nous notons A \ B l'ensemble défini par :
x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A et x ∈
/ B).
Par conséquent, nous avons l'égalité A \ B = A ∩ B c .
– Différence symétrique. Soit A et B deux parties de E, nous notons AB l'ensemble défini par :
x ∈ AB ⇔ [x ∈ (A ou B)] et [x ∈
/ (A et B)] .
Par conséquent, nous avons l'égalité AB = (A ∪ B) \ (A ∩ B) .
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Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches
1
– Produit cartésien. Le produit cartésien des deux ensembles E et F est noté
E × F. Il est défini par :
E × F = {(x,y)/x ∈ E et y ∈ F} .
– Ensemble des parties. L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté P (E), est
l'ensemble de tous les sous-ensembles de E.
P (E) = {F|F ⊂ E} .
– Règles de calcul. Soit A, B et C trois parties de E.
1. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) .
2. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) .
3. (Ac )c = A.
4. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
5. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
II Ensembles et fonctions
•
Images et images réciproques
L'ensemble des applications d'un ensemble E vers un ensemble F est noté F (E,F)
ou F E . Soit f de F E , A une partie de E et B une partie de F.
– L’image de A par f est l'ensemble :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
f (A) = {y ∈ F/∃x ∈ A tel que y = f (x)} .
– L’image réciproque de B par f est l'ensemble :
f −1 (B) = {x ∈ E/ f (x) ∈ B} .
– Règles de calcul. Soit f une application de E dans F et A et B deux parties de
F.
1. f (∅) = ∅, f −1 (∅) = ∅.
2. f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) .
−1
3. f −1 (A ∩ B) = f −1 (A)
.
c ∩ f (B)
−1
c
−1
c
A
f
(A
)
=
f
(A)
où
est
le complémentaire de A dans F et
4.
−1
c
f (A) est le complémentaire de f −1 (A) dans E.
FICHE 1 – Le langage des ensembles
5
•
Fonction caractéristique d'une partie
Soit A une partie d'un ensemble E. La fonction caractéristique de A, ou fonction
indicatrice de A, notée 1 A, est une fonction définie sur E et à valeurs dans {0,1}
par :
1 A (x) = 1 si x ∈ A
et
1 A (x) = 0 si x ∈
/ A.
Soit A et B deux parties d'un ensemble E et Ac le complémentaire de Adans E.
– Inclusion.
A⊆B
⇔
∀x ∈ E, 1 A (x) 1 B (x).
– Complémentaire.
∀x ∈ E, 1 Ac (x) = 1 − 1 A (x).
– Différence A \ B.
∀x ∈ E, 1 A\B (x) = 1 A (x) − 1 A (x)1 B (x).
– Intersection.
∀x ∈ E, 1 A∩B (x) = min (1 A (x),1 B (x)) = 1 A (x) · 1 B (x).
En particulier
∀x ∈ E, 1 A (x) = 1 A∩A (x) = 1 A (x) · 1 A (x) = 1 A (x)2 .
– Réunion.
∀x ∈ E, 1 A∪B (x) = max(1 A (x),1 B (x))
= 1 A (x) + 1 B (x) − 1 A (x) · 1 B (x) .
– Différence symétrique.
∀x ∈ E, 1 AB (x) = 1 A (x) + 1 B (x) − 2 · 1 A (x) · 1 B (x).
Proposition : L'ensemble des parties de E, P (E) est en bijection avec l'ensemble
des fonctions de E dans {0,1}, F (E,{0,1}).
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