Mathématiques L1/L2 – Statistique et probabilités en 30

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Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches
Le langage
des ensembles
I Opérations sur les ensembles
–Réunion. La réunion des deux ensembles Aet Best notée A∪Bet est définie
par :
x∈A∪B⇔(x∈Aou x∈B).
–Intersection. L'intersection des deux ensembles Aet Best notée A∩Bet est
définie par :
x∈A∩B⇔(x∈Aet x∈B).
Deux ensembles Aet Bsont disjoints si A∩B=∅ .
–Partition. Une famille (Ai)i∈Ide parties d'un ensemble est une partition de
si 
i∈I
Ai=
∀(i,j)∈I2,(i=/j⇒Ai∩Aj=∅).
–Complémentaire. Soit Aune partie d'un ensemble E, le complémentaire de A
dans Eest noté Acet est défini par :
x∈Ac⇔(x∈Eet x/∈A).
–Différence. Soit Aet Bdeux parties de E, nous notons A\Bl'ensemble défi-
ni par :
x∈A\B⇔(x∈Aet x/∈B).
Par conséquent, nous avons l'égalité A\B=A∩Bc.
–Différence symétrique. Soit Aet Bdeux parties de E, nous notons ABl'en-
semble défini par :
x∈AB⇔[x∈(Aou B)]et [x/∈(Aet B)].
Par conséquent, nous avons l'égalité AB=(A∪B)\(A∩B).
FICHE 1

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FICHE 1 – Le langage des ensembles
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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–Produit cartésien. Le produit cartésien des deux ensembles Eet Fest noté
E×F. Il est défini par :
E×F={(x,y)/x∈Eet y∈F}.
–Ensemble des parties. L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté P(E), est
l'ensemble de tous les sous-ensembles de E.
P(E)={F|F⊂E}.
–Règles de calcul. Soit A,Bet Ctrois parties de E.
1. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C).
2. (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).
3. (Ac)c=A.
4. (A∪B)c=Ac∩Bc.
5. (A∩B)c=Ac∪Bc.
II Ensembles et fonctions
•Images et images réciproques
L'ensemble des applications d'un ensemble Evers un ensemble Fest noté F(E,F)
ou FE. Soit fde FE,Aune partie de Eet Bune partie de F.
–L’image de Apar fest l'ensemble :
f(A)={y∈F/∃x∈Atel que y=f(x)}.
–L’image réciproque de Bpar fest l'ensemble :
f−1(B)={x∈E/f(x)∈B}.
–Règles de calcul. Soit fune application de Edans Fet Aet Bdeux parties de
F.
1. f(∅)=∅,f−1(∅)=∅.
2. f−1(A∪B)=f−1(A)∪f−1(B).
3. f−1(A∩B)=f−1(A)∩f−1(B).
4. f−1(Ac)=f−1(A)coù Acest le complémentaire de Adans Fet
f−1(A)cest le complémentaire de f−1(A)dans E.

•Fonction caractéristique d'une partie
Soit Aune partie d'un ensemble E. La fonction caractéristique de A, ou fonction
indicatrice de A, notée 1A, est une fonction définie sur Eet à valeurs dans {0,1}
par :
1A(x)=1six∈Aet 1A(x)=0six/∈A.
Soit Aet Bdeux parties d'un ensemble Eet Acle complémentaire de Adans E.
– Inclusion.
A⊆B⇔∀x∈E,1A(x)1B(x).
– Complémentaire.
∀x∈E,1Ac(x)=1−1A(x).
– Différence A\B.
∀x∈E,1A\B(x)=1A(x)−1A(x)1B(x).
– Intersection.
∀x∈E,1A∩B(x)=min (1A(x),1B(x))=1A(x)·1B(x).
En particulier
∀x∈E,1A(x)=1A∩A(x)=1A(x)·1A(x)=1A(x)2.
– Réunion.
∀x∈E,1A∪B(x)=max(1A(x),1B(x))
=1A(x)+1B(x)−1A(x)·1B(x).
– Différence symétrique.
∀x∈E,1AB(x)=1A(x)+1B(x)−2·1A(x)·1B(x).
Proposition : L'ensemble des parties de E,P(E)est en bijection avec l'ensemble
des fonctions de Edans {0,1},F(E,{0,1}).
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