Logique, ensembles, raisonnements 1 Logique - Pierre

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009
Licence 1 Introduction aux Math´ematiques G´en´erales
Universit´e de Paris 8 Feuille n1
Logique, ensembles, raisonnements
1 Logique
Exercice 1 Soient les quatre assertions suivantes :
(a)xRyRx+y > 0 ; (b)xRyRx+y > 0 ;
(c)xRyRx+y > 0 ; (d)xRyRy2> x.
1. Les assertions a,b,c,dsont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur n´egation.
Exercice 2 Soit fune application de Rdans R. Nier, de la mani`ere la plus pr´ecise possible,
les ´enonc´es qui suivent :
1. Pour tout xRf(x)61.
2. L’application fest croissante.
3. L’application fest croissante et positive.
4. Il existe xR+tel que f(x)60.
5. Il existe xRtel que quel que soit yR, si x<yalors f(x)> f(y).
On ne demande pas de d´emontrer quoi que ce soit, juste d’´ecrire le contraire d’un ´enonc´e.
Exercice 3 Compl´eter les pointill´es par le connecteur logique qui s’impose : ,,.
1. xRx2= 4 . . . . . . x = 2 ;
2. zCz=z . . . . . . z R;
3. xRx=π . . . . . . e2ix = 1.
Exercice 4 Dans R2, on d´efinit les ensembles F1={(x, y)R2, y 60}et F2={(x, y)
R2, xy >1, x >0}.´
Evaluer les propositions suivantes :
1. ε]0,+[M1F1M2F2/||
M1M2|| < ε
2. M1F1M2F2/ε]0,+[||
M1M2|| < ε
3. ε]0,+[/M1F1M2F2||
M1M2|| < ε
4. M1F1M2F2ε]0,+[/||
M1M2|| < ε
Quand elles sont fausses, donner leur n´egation.
Exercice 5 Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus
gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
Exercice 6 Nier les assertions suivantes :
1
1. tout triangle rectangle poss`ede un angle droit ;
2. dans toutes les ´ecuries, tous les chevaux sont noirs ;
3. pour tout entier x, il existe un entier ytel que, pour tout entier z, la relation z < x
implique le relation z < x + 1 ;
4. ε > 0α > 0/|x7/5|< α ⇒ |5x7|< ε.
Exercice 7 Montrer que ε > 0NNtel que (n>NV2ε < 2n+1
n+2 <2 + ε).
Exercice 8 Soit f, g deux fonctions de Rdans R. Traduire en termes de quantificateurs les
expressions suivantes :
1. fest major´ee ;
2. fest born´ee ;
3. fest paire ;
4. fest impaire ;
5. fne s’annule jamais ;
6. fest eriodique ;
7. fest croissante ;
8. fest strictement d´ecroissante ;
9. fn’est pas la fonction nulle ;
10. fn’a jamais les mˆemes valeurs en deux points distcincts ;
11. fatteint toutes les valeurs de N;
12. fest inf´erieure `a g;
13. fn’est pas inf´erieure `a g.
2 Ensembles
Exercice 9 Montrer par contraposition les assertions suivantes, E´etant un ensemble :
1. A, B ∈ P(E) (AB=AB)A=B,
2. A, B, C ∈ P(E) (AB=ACet AB=AC)B=C.
Exercice 10 Soit A, B deux ensembles, montrer {(AB) = {A{Bet {(AB) = {A{B.
Exercice 11 Soient Eet Fdeux ensembles, f:EF. D´emontrer que :
A, B ∈ P(E) (AB)(f(A)f(B)),
A, B ∈ P(E)f(AB)f(A)f(B),
A, B ∈ P(E)f(AB) = f(A)f(B),
A, B ∈ P(F)f1(AB) = f1(A)f1(B),
A∈ P(F)f1(F\A) = E\f1(A).
Exercice 12 Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ´eventuellement vide
ou r´eduit `a un point
I1=
+
\
n=1 1
n,2 + 1
net I2=
+
[
n=1 1 + 1
n, n.
Exercice 13 Soient A, B E. R´esoudre les ´equations `a l’inconnue XE
1. AX=B.
2. AX=B.
2
3 Absurde et contrapos´ee
Exercice 14 Soit (fn)nNune suite d’applications de l’ensemble Ndans lui-mˆeme. On d´efinit
une application fde Ndans Nen posant f(n) = fn(n) + 1. D´emontrer qu’il n’existe aucun
pNtel que f=fp.
Exercice 15 1. Soit p1, p2, . . . , prrnombres premiers. Montrer que l’entier N=p1p2. . . pr+
1 n’est divisible par aucun des entiers pi.
2. Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer par l’absurde qu’il existe une infinit´e de
nombres premiers.
4 R´ecurrence
Exercice 16 Montrer :
1.
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2nN.
2.
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6nN.
Exercice 17 Soit la suite (xn)nNd´efinie par x0= 4 et xn+1 =2x2
n3
xn+ 2 .
1. Montrer que : nNxn>3.
2. Montrer que : nNxn+1 3>3
2(xn3).
3. Montrer que : nNxn>3
2n+ 3.
4. La suite (xn)nNest-elle convergente ?
Exercice 18
1. Dans le plan, on consid`ere trois droites ∆1,2,3formant un “vrai” triangle : elles ne
sont pas concourantes, et il n’y en a pas deux parall`eles. Donner le nombre R3de r´egions
(zones blanches) d´ecoup´ees par ces trois droites.
2. On consid`ere quatre droites ∆1,...,4, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni
deux parall`eles. Donner le nombre R4de r´egions d´ecoup´ees par ces quatre droites.
3. On consid`ere ndroites ∆1,...,n, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux
parall`eles. Soit Rnle nombre de r´egions d´elimit´ees par ∆1. . . n, et Rn1le nombre de
r´egions d´elimit´ees par ∆1. . . n1. Montrer que Rn=Rn1+n.
4. Calculer par r´ecurrence le nombre de r´egions d´elimit´ees par ndroites en position g´en´erale,
c’est-`a-dire telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parall`eles.
Exercice 19 Soit Xun ensemble. Pour f∈ F(X, X), on d´efinit f0=id et par r´ecurrence
pour nNfn+1 =fnf.
1. Montrer que nNfn+1 =ffn.
2. Montrer que si fest bijective alors nN(f1)n= (fn)1.
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