Il faut sauver la dérivation

Décombres d'une première ES/S - Il faut sauver la dérivation (du néant) !
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Il était une fois...le nombre dérivé
Le taux d'accroissement d'une fonction f entre deux points a et x
La fonction f est définie sur un intervalle I.
y
On appelle (C) sa courbe représentative.
(C)
a et x sont deux réels de cet intervalle I.
On note h la différence entre a et x. Donc x = a + h .
f(x)
M
On appelle taux d'accroissement de la fonction f
entre a et x le quotient :
f ( x ) − f (a ) f (a + h ) − f (a )
=
x −a
h
Ce taux d'accroissement est aussi appelé
accroissement moyen ou taux de variation
f ( x ) − f (a )
Ce taux d'accroissement
est aussi le
x
b−a
coefficient directeur de la droite (AM) que l'on
appelle aussi sécante (AM) à la courbe (C).
f(a)
A
a
h
x=a+h
De la sécante, vers la tangente et le nombre dérivé
Que se passe-t-il quand le point variable M ( x; f ( x ) ) tend vers le point fixe A ( a;f ( a ) ) ?
Le réel x tend vers a et la différence h = x − a tend vers 0. Mais quid la sécante (AM) ?
y
Le réel x tend vers a.
La sécante (AM) qui pivote autour du point A tend vers une droite T A qui est
appelée tangente à la courbe (C) au point A.
Donc, le coefficient directeur de la sécante (AM) qu'est le taux d'accroissement
f ( x ) − f (a )
tend vers le coefficient directeur cette la tangente T A .
b−a
Ce dernier est appelé nombre dérivé de la fonction f en a. On le note f ′ ( a ) .
A retenir !
Définition : nombre dérivé d'une fonction f en un point a
La fonction f est définie sur un intervalle I. a est un réel de cet intervalle I.
Dire que la fonction f est dérivable en a, signifie que la limite lorsque x tend vers a du
f ( x ) − f (a )
quotient
existe et est finie.
b−a
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est noté f ′ ( a ) .
Quelques remarques sur cette définition :
1. Il existe une autre définition du nombre dérivé s'appuyant sur la différence h.
Quand le point M tend vers le point A, la différence h = x − a tend vers 0.
f (a + h ) − f (a )
Le coefficient directeur de la sécante (AM) est aussi le quotient
.
h
Par conséquent :
f (a + h ) − f (a )
f ′ ( a ) est aussi la limite lorsque h tend vers 0 du quotient
.
h
Ce que l'on résume par la formule :
M
f ′ ( a ) = lim
h →0
M
2.
C'est cette caractérisation utilisant la différence h que nous utiliserons pour
déterminer les nombres dérivés des fonctions usuelles.
En associant à chaque réel x de l'intervalle I son nombre dérivé f ′ ( x ) , on définit
3.
une nouvelle une fonction que l'on note f ′ : c'est la dérivée de la fonction f.
La tangente T A à la courbe (C) au point A est la droite passant par le point
M
M
M
A
(C)
f(a)
a
x
x
M
M
M M
x
x
h
f ( x ) − f (a )
= lim
x −a
x →a
Définition originale
M
TA
M
M
f (a + h ) − f (a )
A ( a;f ( a ) ) dont le coefficient directeur est f ′ ( a ) .
x
x
x
x
x
x
x
x
x
On montre que l'équation réduite de cette tangente T A est donnée par la formule :
TA : y = f ′ (a ) × ( x − a ) + f (a )
Quand le point M tend vers le point A en restant sur la courbe (C) :
Un doc réalisé par Jérôme ONILLON et distribué exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
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L'intérêt de la dérivée : son signe !
A retenir !
Théorème : le signe de la dérivée donne les variations de la fonction
La fonction f est supposée dérivable sur un intervalle I.
Si la dérivée f ′ est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I.
Si la dérivée f ′ est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Même si la dérivée f'(x) est nulle en quelques endroits, ça marche aussi !
En effet :
y
Quand la fonction f est
croissante sur un
intervalle,
Les tangentes sont des
droites montantes,
Donc leurs coefficients
directeurs f'(x) sont
positifs,
Donc la dérivée f' est
positive sur cet
intervalle.
Quand la fonction f
est décroissante sur
un intervalle,
Les tangentes sont des
droites descendantes,
Donc leurs coefficients
directeurs f'(x) sont
négatifs,
Donc la dérivée f' est
négative sur cet
intervalle.
1
B
A
x
-2
-1
1
2
A retenir !
Théorème : dérivée d'une fonction affine
La fonction affine f ( x ) = m × x + p est dérivable sur et le nombre dérivé de f en x est
toujours égal au coefficient directeur m.
En particulier, le nombre dérivé d'une fonction constante f ( x ) = p est toujours 0.
Ici m =0
Le nombre dérivé de la fonction f ( x ) = x est toujours égal à 1.
Ici m =1
Ainsi :
( Constante )′ = 0
(C)
TB
( x )′ = 1
( m × x + p )′ = m
Dérivée de la fonction carrée...et dérivées des fonctions puissances
La fonction carré f ( x ) = x 2 est définie sur : tout réel a un carré.
Mais tout réel x a-t-il un nombre dérivé par la fonction carré f ?
Essayons de répondre à cette question toujours pour le cas particulier a = 3 .
Pour ce faire, intéressons-nous encore au taux de variation de f entre 3 et 3 + h .
f ( 3 + h ) − f ( 3)
Encore une forme
indéterminée du type
TA
f ( 3 + h ) − f ( 3)
= m tend donc vers...m.
h
Conclusion : le nombre dérivée de f ( x ) = m × x + p en x est toujours égal à m.
Quand h tend vers 0, le quotient
h
0
0
lorsque h tend vers 0.
Au boulot !
f ( 3 + h ) − f ( 3)
( 3 + h )2 − 9
9 + 6 × h + h 2 −9
h
h
2
h × (6 + h )
6× h + h
=
=
= 6+h
h
h
=
= 6 + h tend vers 6.
Les dérivées des fonctions de référence
Quand h tend vers 0, le quotient
Dérivée d'une fonction affine f(x)=m.x+p
Conclusion : le nombre dérivé de f ( x ) = x 2 en 3 est égal à 6 = 2 × 3 .
h
=
Toute fonction affine f ( x ) = m × x + p est définie sur : tout réel a donc une image par la
fonction f. Mais tout réel a-t-il pour autant un nombre dérivé par f ?
Voyons ce qui se passe dans le cas particulier où a = 3 .
Pour ce faire, intéressons-nous d'abord au taux d'accroissement de f entre 3 et 3 + h .
Lorsque h tend vers 0, ce
quotient est une forme
0
indéterminée du type
.
0
C'est pour ça qu'on le modifie !
f ( 3 + h ) − f ( 3)
h
=
=
( m × (3 + h ) + p) − ( m × 3 + p)
h
3 × m + m × h + p −3 × m − p
h
=
m× h
=m
h
Théorème : dérivées de la fonction carrée et des fonctions puissances
A retenir !
La fonction carré f ( x ) = x 2 est dérivable sur et le nombre dérivé de f en x est 2 × x .
Plus généralement, toute fonction puissance f ( x ) = x n est dérivable sur et le nombre
dérivé de f en x est égal à n × x n −1 . Ainsi :
′
′
x2 = 2 × x
x3 = 3 × x 2
( )
( )
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( x )′ = n × x
n
n −1
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Dérivée de la fonction inverse
1
La fonction inverse f ( x ) = n'est définie que sur \ {0} : seuls les réels non nuls ont un
x
inverse ! Mais ont-ils aussi un nombre dérivé par la fonction f ?
Voyons ce qu'il en est encore avec le cas particulier a = 3 .
Pour ce faire, intéressons-nous au taux d'accroissement de f entre 3 et 3 + h .
3−3− h
−h
1
1 1× 3 − 1 × ( 3 + h )
−
f ( 3 + h ) − f ( 3) 3 + h 3
3 + h)×3
3 + h)× 3
3 + h)×3
(
(
(
=
=
=
=
h
h
h
h
h Quand h tend vers 0,
0
( −1) × h 1
×
3 + h)×3 h
(
=
0
lorsque h tend vers 0...
=
Quand h tend vers 0, le quotient
h
=
1
3+ h + 3
tend vers
1
3+ 3
=
1
2. 3
1
2× 3
.
.
A retenir !
Théorème : dérivée de la fonction racine
La fonction racine carrée f ( x ) = x est seulement dérivable sur ]0; +∞[ et le nombre
dérivé de f est x est égal à
1
2× x
La fonction racine n'est
donc pas dérivable en 0
. Ainsi :
( x )′ = 2 ×1 x
−1
(3 + h ) × 3
...c 'est multiplier par son inverse.
f ( 3 + h ) − f ( 3)
h
=
Conclusion : le nombre dérivé de la fonction f ( x ) = x est 3 est égal à
Diviser par h...
Re-forme indéterminée
f ( 3 + h ) − f ( 3)
alors que pourtant
existe !
0
Dérivées d'une somme, d'un produit...
−1
1
tend vers − .
9
(3 + h ) × 3
1
Dérivée d'une somme et d'un produit d'une fonction par un réel
1
1
1
Conclusion : le nombre dérivé de f ( x ) = en 3 est égal à − = − .
x
9
32
A retenir !
Théorème : dérivée de la fonction inverse
1
1
La fonction inverse f ( x ) = est dérivable sur * et le nombre dérivé de f en x est −
.
x
x2
Ainsi :
1
 1 ′
x =− 2
 
x
A retenir !
Théorème : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées
Si les fonctions u et v sont dérivables sur un intervalle I, alors :
Leur somme u + v est aussi dérivable sur I et pour tout réel x ∈ I , on a :
u + v )′ ( x ) = u ′ ( x ) + v′ ( x )
(
La dérivée de la somme est la somme des dérivées.
Le produit λ × u est aussi dérivable sur I et pour tout réel x ∈ I , on a :
λ × u )′ ( x ) = λ × u ′ ( x )
(
Les facteurs constants λ survivent à la dérivation !
Dérivée de la fonction racine carrée
La fonction racine f ( x ) = x est seulement définie sur [ 0; +∞[ : seuls les réels positifs et 0
ont une racine. Mais ont-ils aussi un nombre dérivé par f ?
Pour ce faire, nous allons voir ce qui se passe pour le cas particulier a = 3 !
Intéressons-nous au taux d'accroissement de f entre 3 et 3 + h .
f ( 3 + h ) − f ( 3)
h
Forme indéterminée
0
0
lorsque h tend vers 0...
3+ h − 3
=
=
h
=
(
(
h×
) −( 3)
h ×( 3+ h + 3)
3+ h
2
) (
3+ h − 3 ×
(
3+ h + 3
3+ h + 3
)
h×
(
3 + h −3
3+ h + 3
)
=
(
)
h×
La fonction f ( x ) = 2 × x 3 + 3 × x − 7 est dérivable sur car elle est la somme des fonctions
x 3 ; x et −7 qui le sont. Pour tout réel x, nous pouvons écrire :
′
′
f ′ ( x ) = 2 × x 3 + 3 × x − 7 = 2 × x 3 + 3 × ( x )′ + ( −7 )′
)
( )
La dérivée de la somme est la somme des dérivées
2
2
2
=
L'exemple :
(
h
3+ h + 3
)
Le signe de la
dérivée donne
les variations
de la fonction...
= 2 × 3 × x + 3 ×1 + 0 = 6 × x + 3
Un carré étant toujours positif ou nul, il en va de même pour son produit avec 6.
Conclusion : comme sa dérivée f ′ ( x ) = 6 × x 2 + 3 est toujours strictement positive sur ,
alors la fonction f est strictement croissante sur .
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Dérivée d'un produit
Dérivée d'un inverse et d'un quotient
A retenir !
Théorème : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées
Si les fonctions u et v sont dérivables sur un intervalle I,
alors leur produit u × v est dérivable sur I et pour tout réel x ∈ I , nous avons :
u × v )′ ( x ) = u ′ ( x ) × v ( x ) + v′ ( x ) × u ( x )
(
La dérivée du produit n'est pas le produit des dérivées
L'exemple
Déterminons les variations de la fonction f définie sur [ 0; +∞[ par :
La fonction v est dérivable sur ]0; +∞[
Par conséquent, la fonction f ( x ) = u ( x ) × v ( x ) = ( −2 × x + 1) × x est seulement
dérivable sur ]0; +∞[ . Pour tout réel x ∈ ]0; +∞[ , nous pouvons écrire :
=
−2 × x × 2 × x
−2 × x + 1
1
2× x
+
=
2
×
x
2
×
x
2× x
=
Une racine est une quantité
positive quand elle n'est pas
nulle.
x
0
−6.x + 1
2× x
0
f ′( x)
variation de la fonction f est celui
ci-contre +
+
Par conséquent, le tableau de
signe de la dérivée f ′ ( x ) et de
f
0
0
0
6
9
1
2
x +1
f ′( x ) = −
2× x
+∞
1/ 6
+
1. Comme la fonction u ( x ) = x 2 + 1 est dérivable et non nulle sur ,
u′ ( x ) = 2 × x
−6 × x + 1
On met au même dénominateur...
Nous connaissons le signe du
facteur affine −6.x + 1 .
Les deux exemples
alors son inverse, la fonction f ( x ) =
× ( −2 × x + 1)
−4 × x − 2 × x + 1
A retenir !
2. Si les fonctions u et v sont dérivables sur un intervalle I et si v ne s'annule pas sur I,
u
alors leur quotient
est dérivable sur I et pour tout réel x ∈ I :
v
u ′ ( x ) × v ( x ) − v′ ( x ) × u ( x )
 u ′
 v  (x) =
 
( v ( x ) )2
f ( x ) = ( −2 × x + 1) × x = u ( x ) × v ( x )
D'abord, examinons les deux fonctions facteurs composant le produit f :
u ( x ) = −2 × x + 1
v(x) = x
u ′ ( x ) = −2
1
v′ ( x ) =
La fonction est dérivable sur 2× x
f ′ ( x ) = u ′ ( x ) × v ( x ) + v ′ ( x ) × u ( x ) = −2 × x +
Théorème : dérivées d'un inverse et d'un quotient
1. Si la fonction u est dérivable et non nulle sur un intervalle I,
1
alors son inverse
est dérivable sur I et pour tout réel x ∈ I , nous avons :
u
u′ ( x )
 1 ′
 u  (x) = −
 
( u ( x ) )2
=
1
est dérivable sur et pour tout réel x :
u (x)
u′ ( x )
( u ( x ))
2
=−
2× x
( x + 1)
2
2
2. Comme les fonctions u ( x ) = x 2 + x + 1 et v ( x ) = x − 4 sont dérivables sur .
u′ ( x ) = 2 × x + 1
v′ ( x ) = 1
–
et comme la fonction v ( x ) = x − 4 est non nulle sur \ {4} ,
+
alors leur quotient f ( x ) =
–
f ′ (x) =
−∞
=
x2 + x + 1 u ( x )
=
est seulement dérivable sur \ {4} et :
x−4
v(x)
u ′ ( x ) × v ( x ) − v′ ( x ) × u ( x )
( v ( x ))
2
2
2
=
( 2 × x + 1) × ( x − 4 ) − 1× ( x 2 + x + 1)
2 × x − 8 × x + x − 4 − x − x −1
( x − 4)
2
( x − 4 )2
=
2
x − 8× x − 5
Un doc réalisé par Jérôme ONILLON et distribué exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
( x − 4 )2
Pour connaître les
variations de f, il suffit
juste de dresser le
tableau de signe de
ce quotient.