Il faut sauver la dérivation

Décombres d'une première ES/S - Il faut sauver la dérivation (du néant) ! Page 1 sur 4
Un doc réalisé par Jérôme ONILLON et distribué exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
Il était une fois...le nombre dérivé
Le taux d'accroissement d'une fonction f entre deux points a et x
La fonction f est définie sur un intervalle I.
On appelle (C) sa courbe représentative.
a et x sont deux réels de cet intervalle I.
On note h la différence entre a et x. Donc
x a h
= +
.
Ce taux d'accroissement est aussi appelé
accroissement moyen ou taux de variation
Ce taux d'accroissement
(
)
(
)
f x f a
b a
−
−
est aussi le
coefficient directeur de la droite (AM) que l'on
appelle aussi sécante (AM) à la courbe (C).
De la sécante, vers la tangente et le nombre dérivé
Que se passe-t-il quand le point variable
(
)
(
)
M x; f x
tend vers le point fixe
(
)
(
)
A a;f a
?
Le réel x tend vers a et la différence
h x a
= −
tend vers 0. Mais quid la sécante (AM) ?
Quand le point M tend vers le point A en restant sur la courbe (C) :
 Le réel x tend vers a.
 La sécante (AM) qui pivote autour du point A tend vers une droite
A
T
qui est
appelée tangente à la courbe (C) au point A.
 Donc, le coefficient directeur de la sécante (AM) qu'est le taux d'accroissement
(
)
(
)
f x f a
b a
−
− tend vers le coefficient directeur cette la tangente
A
T
.
Ce dernier est appelé nombre dérivé de la fonction f en a. On le note
(
)
f a
′
.
Définition : nombre dérivé d'une fonction f en un point a
La fonction f est définie sur un intervalle I. a est un réel de cet intervalle I.
Dire que la fonction f est dérivable en a, signifie que la limite lorsque x tend vers a du
quotient
(
)
(
)
f x f a
b a
−
−
existe et est finie.
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est noté
(
)
f a
′
.
Quelques remarques sur cette définition :
1. Il existe une autre définition du nombre dérivé s'appuyant sur la différence h.
Quand le point M tend vers le point A, la différence
h x a
= −
tend vers 0.
Le coefficient directeur de la sécante (AM) est aussi le quotient
(
)
(
)
f a h f a
h
+ −
.
Par conséquent :
(
)
f a
′
est aussi la limite lorsque h tend vers 0 du quotient
(
)
(
)
f a h f a
h
+ −
.
Ce que l'on résume par la formule :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h 0 x a
Définition originale
f a h f a f x f a
f a lim lim
h x a
→ →
+ − −
′= = −
C'est cette caractérisation utilisant la différence h que nous utiliserons pour
déterminer les nombres dérivés des fonctions usuelles.
2. En associant à chaque réel x de l'intervalle I son nombre dérivé
(
)
f x
′
, on définit
une nouvelle une fonction que l'on note
f
′
: c'est la dérivée de la fonction f.
3. La tangente
A
T
à la courbe (C) au point A est la droite passant par le point
(
)
(
)
A a;f a
dont le coefficient directeur est
(
)
f a
′
.
On montre que l'équation réduite de cette tangente
A
T
est donnée par la formule :
( ) ( ) ( )
A
: y f a x a f a
′
= × − +T
x
y
A
a
f(a)
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
(C)
A
T
TT
T
A retenir !
On appelle taux d'accroissement de la fonction f
entre a et x le quotient :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x f a f a h f a
x a h
− + −
=
−
x
y
A
M
a
x=a+h
f(a)
f(x)
h
(C)

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L'intérêt de la dérivée : son signe !
Théorème : le signe de la dérivée donne les variations de la fonction
La fonction f est supposée dérivable sur un intervalle I.
 Si la dérivée
f
′
est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I.
 Si la dérivée
f
′
est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
En effet :
Les dérivées des fonctions de référence
Dérivée d'une fonction affine f(x)=m.x+p
Toute fonction affine
(
)
f x m x p
= × +
est définie sur  : tout réel a donc une image par la
fonction f. Mais tout réel a-t-il pour autant un nombre dérivé par f ?
Voyons ce qui se passe dans le cas particulier où
a 3
=
.
Pour ce faire, intéressons-nous d'abord au taux d'accroissement de f entre 3 et
3 h
+
.
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
m 3 h p m 3 p
f 3 h f 3
h h
3 m
× + + − × +
+ − =
×
=m h p+ × + 3 m− × p−m h
h
×
=h
m
=
Quand h tend vers 0, le quotient
(
)
(
)
f 3 h f 3
m
h
+ −
=
tend donc vers...m.
Conclusion : le nombre dérivée de
(
)
f x m x p
= × +
en x est toujours égal à m.
Théorème : dérivée d'une fonction affine
La fonction affine
(
)
f x m x p
= × +
est dérivable sur  et le nombre dérivé de f en x est
toujours égal au coefficient directeur m.
En particulier, le nombre dérivé d'une fonction constante
(
)
Ici m 0
f x p
=
=
est toujours 0.
Le nombre dérivé de la fonction
(
)
Ici m 1
f x x
=
=
est toujours égal à 1.
Ainsi :
( )
Constante 0
′
=
( )
x 1
′
=
( )
m x p m
′
× + =
Dérivée de la fonction carrée...et dérivées des fonctions puissances
La fonction carré
( )
2
f x x
=
est définie sur  : tout réel a un carré.
Mais tout réel x a-t-il un nombre dérivé par la fonction carré f ?
Essayons de répondre à cette question toujours pour le cas particulier
a 3
=
.
Pour ce faire, intéressons-nous encore au taux de variation de f entre 3 et
3 h
+
.
( ) ( ) ( )
2
f 3 h f 3 3 h 9 9
h h
+ − + −
= =
2
6 h h 9
+ × + −
2
h
h
6 h h
h
× +
= =
( )
6 h
h
× +
6 h
= +
Quand h tend vers 0, le quotient
(
)
(
)
f 3 h f 3
6 h
h
+ −
= +
tend vers 6.
Conclusion : le nombre dérivé de
( )
2
f x x
=
en 3 est égal à
6 2 3
= ×
.
Théorème : dérivées de la fonction carrée et des fonctions puissances
La fonction carré
( )
2
f x x
=
est dérivable sur  et le nombre dérivé de f en x est
2 x
×
.
Plus généralement, toute fonction puissance
( )
n
f x x
= est dérivable sur  et le nombre
dérivé de f en x est égal à
n 1
n x
−
×
. Ainsi :
( )
2
x 2 x
′
= ×
( )
3 2
x 3 x
′
= ×
( )
n n 1
x n x
−
′= ×
A retenir !
x
y
-
2
-
1
1
2
1
(C)
A
B
Quand la fonction f est
croissante sur un
intervalle,
Les tangentes sont des
droites montantes,
Donc leurs coefficients
directeurs f'(x) sont
positifs,
Donc la dérivée f' est
positive sur cet
intervalle.
Qu
and la fonction f
est décroissante
sur
un intervalle,
L
es tangentes sont des
droites descendantes,
Donc leurs coefficients
directeurs f'(x)
sont
négatifs,
Donc la dérivée f' est
négative
sur cet
intervalle.
A
T
TT
T
B
T
TT
T
A retenir !
A retenir !
Même si la dérivée f'(x) est nulle en quelques endroits, ça mar
che aussi !
Lorsque h tend vers 0, ce
quotient est une forme
indéterminée du type
0
0
.
C'est pour ça qu'on le modifie !
Encore une forme
indéterminée du type
0
0
lorsque h tend vers 0.
Au boulot !

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Dérivée de la fonction inverse
La fonction inverse
( )
1
f x
x
=
n'est définie que sur
{
}
\ 0
: seuls les réels non nuls ont un
inverse ! Mais ont-ils aussi un nombre dérivé par la fonction f ?
Voyons ce qu'il en est encore avec le cas particulier
a 3
=
.
Pour ce faire, intéressons-nous au taux d'accroissement de f entre 3 et
3 h
+
.
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
( )
Diviser par h...
1 3 1 3 h 3 3 h h
1 1
f 3 h f 3 3 h 3 3 h 3 3 h 3
3 h 3
h h h h h
1 h
× − × + − − −
−
+ − + × + × + ×
+
= = = =
− ×
=
( )
1
3 h 3 h
×
+ ×
( )
...c'est multiplier par son inverse.
1
3 h 3
−
=+ ×
Quand h tend vers 0, le quotient
(
)
(
)
( )
f 3 h f 3 1
h 3 h 3
+ − −
=
+ ×
tend vers
1
9
−
.
Conclusion : le nombre dérivé de
( )
1
f x
x
=
en 3 est égal à
2
1 1
9
3
− = − .
Théorème : dérivée de la fonction inverse
La fonction inverse
( )
1
f x
x
=
est dérivable sur
*
et le nombre dérivé de f en x est
2
1
x
− .
Ainsi :
2
1 1
x
x
′
  = −
Dérivée de la fonction racine carrée
La fonction racine
(
)
f x x
= est seulement définie sur
[
[
0;
+∞
: seuls les réels positifs et 0
ont une racine. Mais ont-ils aussi un nombre dérivé par f ?
Pour ce faire, nous allons voir ce qui se passe pour le cas particulier
a 3
=
!
Intéressons-nous au taux d'accroissement de f entre 3 et
3 h
+
.
( ) ( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )
( )
2 2
3 h 3 3 h 3
f 3 h f 3 3 h 3
h h h 3 h 3
3 h 3 3
h 3 h 3
+ − × + +
+ − + −
= = × + +
+ −
= =
× + +
h 3 + −
( )
h
h 3 h 3
=
× + + h
(
)
3 h 3
× + +
Quand h tend vers 0,
(
)
(
)
f 3 h f 3 1
h
3 h 3
+ − =+ +
tend vers
1 1
3 3 2. 3
=
+
.
Conclusion : le nombre dérivé de la fonction
(
)
f x x
= est 3 est égal à
1
2 3
×
.
Théorème : dérivée de la fonction racine
La fonction racine carrée
(
)
f x x
= est seulement dérivable sur
]
[
0;
+∞
et le nombre
dérivé de f est x est égal à
1
2 x
×
. Ainsi :
( )
1
x
2 x
′=×
Dérivées d'une somme, d'un produit...
1
Dérivée d'une somme et d'un produit d'une fonction par un réel
Théorème : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées
Si les fonctions u et v sont dérivables sur un intervalle I, alors :
 Leur somme
u v
+
est aussi dérivable sur I et pour tout réel
x I
∈
, on a :
( ) ( ) ( ) ( )
La dérivée de la somme est la somme des
dérivées.
u v x u x v x
′′ ′
+ = +
 Le produit
u
λ×
est aussi dérivable sur I et pour tout réel
x I
∈
, on a :
( ) ( ) ( )
Les facteurs constants survivent à la d
érivation !
u x u x
λ
′′
λ× = λ×
L'exemple :
La fonction
( )
3
f x 2 x 3 x 7
= × + × −
est dérivable sur  car elle est la somme des fonctions
3
x
; x et
7
−
qui le sont. Pour tout réel x, nous pouvons écrire :
( )
(
)
(
)
( ) ( )
3 3
La dérivée de la somme est la somme des dérivées
2 2
f x 2 x 3 x 7 2 x 3 x 7
2 3 x 3 1 0 6 x 3
′ ′
′ ′
′
= × + × − = × + × + −
= × × + × + = × +
Un carré étant toujours positif ou nul, il en va de même pour son produit avec 6.
Conclusion : comme sa dérivée
( )
2
f x 6 x 3
′
= × +
est toujours strictement positive sur ,
alors la fonction f est strictement croissante sur .
A retenir !
A retenir !
A retenir !
Le signe de la
dérivée donne
les variations
de la fonction...
Re-forme indéterminée
0
0
lorsque h tend vers 0...
Forme indéterminée
0
0
lorsque h tend vers 0...
La fonction racine n'est
donc pas dérivable en 0
alors que pourtant
0
existe !

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Dérivée d'un produit
Théorème : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées
Si les fonctions u et v sont dérivables sur un intervalle I,
alors leur produit
u v
×
est dérivable sur I et pour tout réel
x I
∈
, nous avons :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La dérivée du produit n'est pas le produ
it des dérivées
u v x u x v x v x u x
′′ ′
× = × + ×
L'exemple
Déterminons les variations de la fonction f définie sur
[
[
0;
+∞
par :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x 2 x 1 x u x v x
= − × + × = ×
D'abord, examinons les deux fonctions facteurs composant le produit f :
(
)
( )
u x 2 x 1
u x 2
= − × +
′= −
La fonction est dérivable sur 
( )
( )
v x x
1
v x
2 x
=
′=×
La fonction v est dérivable sur
]
[
0;
+∞
Par conséquent, la fonction
(
)
(
)
(
)
(
)
f x u x v x 2 x 1 x
= × = − × + × est seulement
dérivable sur
]
[
0;
+∞
. Pour tout réel
]
[
x 0;
∈ +∞
, nous pouvons écrire :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
On met au même dénominateur...
1
f x u x v x v x u x 2 x 2 x 1
2 x
2 x 2 x 2 x 1 4 x 2 x 1 6 x 1
2 x 2 x 2 x 2 x
′′ ′
= × + × = − × + × − × +
×
− × × × − × + − × − × + − × +
= + = =
× × × ×
x
0
1/ 6
+∞
6.x 1
− +
+ 0 –
2 x
× 0 + +
(
)
f x
′
+ 0 –
6
9
Nous connaissons le signe du
facteur affine
6.x 1
− +
.
Une racine est une quantité
positive quand elle n'est pas
nulle.
Par conséquent, le tableau de
signe de la dérivée
(
)
f x
′
et de
variation de la fonction f est celui
ci-contre 
f
0
−∞
Dérivée d'un inverse et d'un quotient
Théorème : dérivées d'un inverse et d'un quotient
1. Si la fonction u est dérivable et non nulle sur un intervalle I,
alors son inverse
1
u
est dérivable sur I et pour tout réel
x I
∈
, nous avons :
( ) ( )
( )
( )
2
u x
1x
uu x
′′
  = −
2. Si les fonctions u et v sont dérivables sur un intervalle I et si v ne s'annule pas sur I,
alors leur quotient
u
v
est dérivable sur I et pour tout réel
x I
∈
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
u x v x v x u x
ux
vv x
′′ ′
× − ×
  =
Les deux exemples
1. Comme la fonction
( )
( )
2
u x x 1
u x 2 x
= +
′
= ×
est dérivable et non nulle sur ,
alors son inverse, la fonction
( ) ( )
2
1 1
f x
u x
x 1
= =
+
est dérivable sur  et pour tout réel x :
( )
(
)
( )
( )
( )
2 2
2
u x
2 x
f x
u x
x 1
′×
′= − = −
+
2. Comme les fonctions
( )
( )
2
u x x x 1
u x 2 x 1
= + +
′
= × +
et
(
)
( )
v x x 4
v x 1
= −
′=
sont dérivables sur .
et comme la fonction
(
)
v x x 4
= −
est non nulle sur
{
}
\ 4
,
alors leur quotient
( )
(
)
( )
2
u x
x x 1
f x
x 4 v x
+ +
= =
−
est seulement dérivable sur
{
}
\ 4
et :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2 2
2 x 1 x 4 1 x x 1
u x v x v x u x
f x
x 4
v x
2 x 8 x x 4 x x 1 x 8 x 5
x 4 x 4
× + × − − × + +
′ ′
× − ×
′= = −
× − × + − − − − − × −
= =
− −
A retenir ! A retenir !
Pour connaître les
variations de f, il suffit
juste de dresser le
tableau de signe de
ce quotient.