Fonctions dérivées

Fonctions dérivées
1. Des formules pour calculer des nombres dérivés de fonctions simples
Définition :
Lorsque l’on peut calculer le nombre dérivé d’une fonction f en tout nombre x d’un intervalle I, on dit que
la fonction f est dérivable sur l’intervalle I, et la fonction qui associe à tout nombre x le nombre dérivé de
la fonction f en x est appelée fonction dérivée de f, et sera notée
': '( )
f x f x
Voici un tableau qui donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles :
Si
( )
f x
est égal à… Alors
'( )
f x
est égal à…
k
(nombre fixé) 0
x 1
ax b
+
(fonction affine)
a
2
x
(fonction carré)
2
x
3
x
(fonction cube)
3 ²
x
n
x
(où n est un entier naturel non nul)
1
n
nx
−
1
x
(fonction inverse)
1
²
x
−
1
n
x
(où n est un entier naturel non nul)
1
n
n
x
+
−
Ainsi on peut être sûr (sans même à avoir à déterminer graphiquement un coefficient directeur de
tangente) que :
Le nombre dérivé de la fonction carré
2
( )
c x x
=
en 15 est égal à 2'(15)
15 30
c
=
×
=
Le nombre dérivé de la fonction cube
3
( )
d x x
=
en -2 est égal à
3 ( 2)² 1
' 2)
2
(d
× −
− = =
Le nombre dérivé de la fonction inverse
1
( )i x
x
=
en 4 est égal à 1/(4)²'(4)
1/16
i
=
−
=
−
Le nombre dérivé de la fonction affine
( ) 3 2
a x x
= − +
en 7 est égal à
3
'(7)a
=
−
2. Opérations sur les dérivées
Maintenant il est évident que ces quelques fonctions sont insuffisantes pour faire des mathématiques, et
que celles que l’on utilise couramment sont des fonctions plus « sophistiquées », comme les fonctions
polynômes (du type
3 2
( ) 2 5 4
p x x x
= + −
ou
5
( ) 3
q x x x
= −
, par exemple) ou des fonctions rationnelles
(qui sont de quotients de polynômes, du type
2
3
1
( )
1
x
r x
x x
−
=
− −
par exemple)… Il est à noter que ce type de
fonctions est parfaitement dérivable sur les intervalles où elles sont bien définies.

Voici quelques règles qui permettent de déterminer les fonctions dérivées de fonctions plus « élaborées »
que celles présentées dans le tableau ci-dessus : (u et v sont des fonctions quelconques, dérivables, et
dont les fonctions dérivées sont
'
u
et
'
v
)
Si
( )
f x
est égal à… Alors
'( )
f x
est égal à…
( )
k u x
×
(où k est un nombre fixé)
'( )
k u x
×
( ) ( )
u x v x
+
'( ) '( )
u x v x
+
( ) ( )
u x v x
×
Attention !
'( ) ( ) ( ) '( )
u x v x u x v x
+
1
( )
v x
Attention !
'( )
( )²
v x
v x
−
( )
( )
u x
v x
Attention !
'( ) ( ) ( ) '( )
( )²
u x v x u x v x
v x
−
Voilà quelques exemples d’utilisation de ces formules :
Si
2
( ) 5
f x x
= alors 5'(
0
)
2 1
x x
f x
×
= =
Si
3 2
( ) 4
p x x x
= + −
alors 3'(
2
)²pxx
x
=
+
Si
3
1
( ) 2g x x
x
= +
alors
4
1 6 1
2 3 ²
² ²
'( ) x x
x x
g x
−
× −= =
Si
5 2
( ) ( 3)
h x x x
= +
alors
4 2 5 6 4
(5 )( 3)'( (2 ) 1)
7 5
x x x x x
xxh + + += =
Si
1
( )
2 7
r x x =
+
alors 2
(
'
2 7)²
( )r x x −
+
=
2
( )
5 3
x
s x
x
+
=
−
alors
1(5 3 ) ( 2)( 3) 11
(5 3 )² (5 3 )²
'( )sx xx x
x
− − + −
−
=
−
=