Eléments de correction 1p14 1. En classe ou voir vidéo : https://mix.office.com/watch/1bcrnyuyynykq 2. On note d(n) les diviseurs positifs de n. Les lampes sont éteintes au départ, puis allumées à l'étape 1 car 1 divise tout nombre. d(12)={1;2;3;4;6;12}. 12 a un nombre pair de diviseurs inférieurs à 100. La lampe sera donc éteinte à la fin. d(25)={1;5;25}. 25 a trois diviseurs, donc la lampe sera allumée. d(68)={1;2;4;14;34;68}. 68 a 6 diviseurs, donc la lampe sera éteinte. d(81)={1;3;9;27;81}. 81 a cinq diviseurs, la lampe sera donc allumée. 3. On comprend que les lampes allumées sont celles ayant un nombre impair de diviseurs, et elles seules. Conjecture : le lampe allumée sont celles dont le numéro est un carré. Démonstration : * Soit n∈ℕ et a un diviseur positif de n. * On sait que a≠0 car n≠0 , et qu'il existe b∈ℕ tel que n=ab . Quitte à renommer a en, b et b en a, on peut considérer que a⩽b . Les diviseurs de n vont ainsi par deux, et leur nombre est donc pair, sauf si a=b Or si a=b , alors n=a 2 , et réciproquement, si n=a 2 , alors a 2 =n=ab donc a=b (en divisant par a≠0 ) Au final, n=a 2 ⇔ n a un nombre impair de diviseurs. Eléments de correction 2p14 Avec Xcas : créer un tableur (menu principal) : 101 lignes, 3 colonnes Titres dans la ligne 0 : n, diviseurs, nombre A1=1, B1=divisors(A1) et C1=size(B1) A2=A1+1 puis <clic droit+remplir+copier vers le bas> Répéter <clic droit+remplir+copier vers le bas> sur B1 puis C1. C'est 12, atteint pour n=60 . 60 est ainsi le « champion de la divisibilité » des nombres raisonnablement petits, ce probablement pourquoi il a été choisi par les babyloniens comme base de numération, et conservé par exemple dans les minutes et secondes jusque chez nous... v.dujardin 1