Eléments de correction 1p14 Eléments de correction 2p14

Eléments de correction 1p14
1. En classe ou voir vidéo : https://mix.office.com/watch/1bcrnyuyynykq
2. On note d(n) les diviseurs positifs de n.
Les lampes sont éteintes au départ, puis allumées à l'étape 1 car 1 divise tout
nombre.
d(12)={1;2;3;4;6;12}. 12 a un nombre pair de diviseurs inférieurs à 100.
La lampe sera donc éteinte à la fin.
d(25)={1;5;25}. 25 a trois diviseurs, donc la lampe sera allumée.
d(68)={1;2;4;14;34;68}. 68 a 6 diviseurs, donc la lampe sera éteinte.
d(81)={1;3;9;27;81}. 81 a cinq diviseurs, la lampe sera donc allumée.
3. On comprend que les lampes allumées sont celles ayant un nombre impair de
diviseurs, et elles seules.
Conjecture : le lampe allumée sont celles dont le numéro est un carré.
Démonstration :
Soit
n∈ℕ*
et a un diviseur positif de n.
On sait que
a≠0
car
n≠0
, et qu'il existe
b∈ℕ*
tel que
n=ab
.
Quitte à renommer a en, b et b en a, on peut considérer que
a⩽b
.
Les diviseurs de n vont ainsi par deux, et leur nombre est donc pair, sauf si
a=b
Or si
a=b
, alors
n=a2
,
et réciproquement, si
n=a2
, alors
a2=n=ab
donc
a=b
(en divisant par
a≠0
)
Au final,
n=a2
⇔
n a un nombre impair de diviseurs.
Eléments de correction 2p14
Avec Xcas : créer un tableur (menu principal) : 101 lignes, 3 colonnes
Titres dans la ligne 0 : n, diviseurs, nombre
A1=1, B1=divisors(A1) et C1=size(B1)
A2=A1+1 puis <clic droit+remplir+copier vers le bas>
Répéter <clic droit+remplir+copier vers le bas> sur B1 puis C1.
C'est 12, atteint pour
n=60
.
60 est ainsi le « champion de la divisibilité » des nombres raisonnablement petits, ce
probablement pourquoi il a été choisi par les babyloniens comme base de numération, et
conservé par exemple dans les minutes et secondes jusque chez nous...
v.dujardin 1