L2 Mathématiques 2011–2012 Algèbre et Arithmétique 3 Feuille n°4 : groupes cycliques, groupes de permutations Exercices à savoir faire Exercice 1 18 i π 4iπ 1 Soit ζ = e 13 . Déterminer l’ordre de ζ et de ζ 3 dans C× . Même question avec ζ = e 9 . 2 Sur le cercle unité, dessiner les éléments du groupes des racines 6-èmes de l’unité. Parmi ces éléments, marquer ceux qui sont d’ordre 6. Exercice 2 Le groupe Z/2Z × Z/2Z est-il cyclique ? Et le groupe Z/2Z × Z/3Z ? Exercice 3 Choisir un petit nombre premier p (disons inférieur à 20) et répondre aux questions suivantes : quels sont les ordres possibles des éléments du groupe (Fp )× ? Combien d’éléments de chaque ordre ce groupe possède-t-il ? Quels sont les éléments qui engendrent le groupe ? Recommencer avec un autre petit nombre premier. . . Exercice 4 Soit G un groupe, g1 un élément d’ordre r1 et g2 un élément d’ordre r2 . 1 On suppose que g1 et g2 commutent et que r1 et r2 sont premiers entre eux. Montrer que g1 g2 est d’ordre r1 r2 . 2 On suppose que g1 et g2 commutent. Montrer que g1 g2 est d’ordre fini. Montrer par un exemple que l’ordre de g1 g2 n’est pas nécessairement r1 r2 , ni ppcm(r1 , r2 ). 3 Montrer par un exemple qu’en général g1 g2 n’est pas nécessairement d’ordre fini (on pourra par exemple prendre pour g1 et g2 des rotations planes). Exercice 5 1 Écrire la table de multiplication de S3 et vérifier que S3 n’est pas commutatif. 2 Soit n > 3 un entier. Montrer que Sn n’est pas commutatif. Exercice 6 1 Montrer que l’ordre d’un r-cycle est r. 2 Si n > 4, exhiber une permutation de Sn qui est d’ordre 2 mais qui n’est pas une transposition. 3 Décrire les éléments d’ordre 2 de Sn . 4 Montrer que l’ordre d’une permutation σ est le ppcm des ordres des cycles intervenant dans la décomposition de σ en produit de cycles à supports disjoints. Exercice 7 Quel est l’ordre de la permutation (1, 2, 3, 4)(2, 5) ? Exercice 8 Le but de cet exercice est d’achever la démonstration débutée en cours du fait qu’on a pour toute permutation σ et toute transposition τ la relation ε(σ τ ) = ε(σ) ε(τ ). Soient r et s des entiers supérieurs à 2, c1 un r-cycle et c2 un s-cycle. On suppose les supports de c1 et c2 disjoints. Soit τ une permutation dont le support intersecte le support de c1 et le support de c2 . 1 Vérifier qu’on peut écrire c1 = (d1 , d2 , . . . , dr ), c2 = (d01 , . . . , d0s ) et τ = (d1 , d01 ). 2 Montrer que c1 c2 τ est un r + s-cycle de support {d1 , . . . , dr , d01 , . . . , d0s } 3 Vérifier qu’on a ε(c1 c2 τ ) = ε(c1 c2 ) ε(τ ). Exercice 9 Le but de cet exercice est de montrer que l’écriture d’une permutation comme produit de cycles à supports deux à deux disjoints est unique à l’ordre des facteurs près. 1 Soit c un cycle et d un élément du support de c. Vérifier que le support de c est {ck (d), k ∈ N}. 2 Soit c1 , . . . , cr des cycles dont les supports sont deux à deux disjoints et σ = c1 c2 . . . cr . Soit i ∈ {1, . . . , r}. Vérifier que pour tout d dans le support de ci , on a ci (d) = σ(d). 3 Soit c01 , . . . , c0s des cycles dont les supports sont deux à deux disjoints. On suppose qu’on a c1 c2 . . . cr = c01 c02 . . . c0s . Il s’agit de montrer qu’on a r = s et qu’à renumérotation éventuelle près, on a ci = c0i pour tout i. Soit d un élément du support de c1 . Vérifier que d est dans le support de l’un des c0i . En renumérotant, on peut donc supposer que d est dans le support de c01 . 4 Montrer que c1 et c01 ont même support puis que c01 = c1 . 5 Conclure. Exercice 10 Soit r > 2 un entier et d1 , . . . , dr des entiers deux à deux distincts. Vérifier soigneusement la relation (d1 , d2 , . . . , dr−1 , dr ) = (d1 , dr ) (d1 , dr−1 ) . . . (d1 , d3 ) (d1 , d2 ). Retour sur les chapitres précédents du cours Exercice 11 Soit K un corps, P et Q des éléments de K[X]. On note hP i = P K[X] l’idéal engendré par P , c’est-à-dire l’ensemble des multiples de P . Montrer qu’on a hP i = hQi ⇔ (P |Q et Q|P ) ⇔ ∃α ∈ K× , α P = Q. Exercice 12 Soit K un corps et P un élément non nul de K[X]. Montrer que P a au plus deg(P ) racines dans K. Indication : raisonner par récurrence sur deg(P ). Pourquoi le résultat est-il vrai si deg(P ) = 0 ? Si P est de degré quelconque, soit P n’a pas de racines, et le résultat est vrai, soit il existe a tel que P (a) = 0. Diviser alors P par X − a pour appliquer l’hypothèse de récurrence. Exercice 13 Cette exercice porte sur l’arithmétique des polynômes. La quasi-totalité des réponses peuvent s’obtenir en copiant quasiment mot à mot les démonstrations des résultats analogues pour Z. 1 Démontrer le lemme de Gauss pour les polynômes : soit P, Q, R ∈ K[X] tels que P divise Q R et P est premier avec Q. Alors P divise R. 2 En déduire le lemme d’Euclide pour les polynômes : soit P, Q, R ∈ K[X] tels que P est irréductible et P divise Q R. Alors P divise Q ou P divise R. 3 Démontrer que tout polynôme non constant a un diviseur irréductible (considérer un diviseur non constant de degré minimal). 4 Démontrer que tout polynôme non constant s’écrit comme un produit de polynômes irréductibles et que cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près et à multiplication par une constante inversible près. Exercice 14 Un exercice pour réviser la pratique de l’algorithme d’Euclide sur les polynômes. 1 Soit P et Q les éléments de Q[X] définis par P = X 4 − 2 X 3 − X + 2 et Q = X 5 + X 2 + X 4 + X + X 3 + 1. Calculer un pgcd ∆ de P et Q ainsi que deux polynômes U, V ∈ Q[X] vérifiant U P + V Q = ∆. 2 Même question en supposant cette fois P et Q dans F2 [X]. 3 Choisir deux polynômes P et Q au hasard dans k[X] avec k = Q, F2 , F3 ou F5 . Calculer un pgcd ∆ de P et Q ainsi que deux polynômes U, V ∈ Q[X] vérifiant U P + V Q = ∆. Vérifier le résultat avec Maple. 4 Montrer que le polynôme X 2 + 1 est irréductible dans F7 [X]. Choisir un élément non nul de F7 [X]/hX 2 + 1i (écrit sous la forme a + b α avec a, b ∈ F7 ) et calculer son inverse. 5 Même question avec X 3 + X + 1 dans F5 [X]. Exercice 15 Soit A et B des anneaux commutatifs, I un idéal de A, π : A → A/I le morphisme quotient, f : A → B un morphisme d’anneau dont le noyau contient I, fe : A/I → B l’unique morphisme vérifiant fe ◦ π = f . Montrer que le noyau de fe est π(Ker(f )). En déduire que fe est injectif si et seulement si Ker(f ) = I. Exercices à chercher Exercice 16 Soit E et F des ensembles et f : E → F une bijection. Montrer que l’application qui à σ ∈ SE associe f ◦ σ ◦ f −1 induit un isomorphisme du groupe SE sur le groupe SF . Exercice 17 Soit n > 2 un entier. À tout élément σ de Sn−1 on associe l’application de Nn dans Nn qui à n associe n et à tout élément i ∈ {1, . . . , n − 1} associe σ(i). Cette application est notée ϕ(σ). Montrer que ϕ(σ) est un élément de Sn , puis que ϕ est un morphisme injectif du groupe Sn−1 vers le groupe Sn , dont l’image est le sous-groupe de Sn constitué des permutations dont n est un point fixe. Exercice 18 Soit σ ∈ Sn . 1 Soit ι(σ) = #{(i, j) ∈ Nn , 1 6 i < j 6 n, σ(i) > σ(j)}. ι(σ) est appelé le « nombre d’inversions » de σ. Montrer la formule ε(σ) = (−1)ι(σ) . 2 Montrer la formule ε(σ) = Y 16i<j6n 3 σ(i) − σ(j) . i−j En déduire une nouvelle démonstration du fait que ε est un morphisme de groupes. Exercice 19 Soit n > 1 un entier et E un espace vectoriel de base (e1 , . . . , en ). Soit σ un élément de Sn . Soit fσ l’application linéaire E → E définie par fσ (ei ) = eσ(i) . 1 Montrer que fσ est un élément de GL(E), puis que σ 7→ fσ est un morphisme de Sn vers GL(E). 2 Montrer qu’on a det(fσ ) = ε(σ).