Feuille de TD 4

L2 Mathématiques 2011–2012
Algèbre et Arithmétique 3
Feuille n°4 : groupes cycliques, groupes de permutations
Exercices à savoir faire
Exercice 1
1Soit ζ=e18 i π
13 . Déterminer l’ordre de ζet de ζ3dans C×. Même question avec ζ=e4i π 9.
2 Sur le cercle unité, dessiner les éléments du groupes des racines 6-èmes de l’unité. Parmi ces
éléments, marquer ceux qui sont d’ordre 6.
Exercice 2
Le groupe Z/2Z×Z/2Zest-il cyclique ? Et le groupe Z/2Z×Z/3Z?
Exercice 3
Choisir un petit nombre premier p (disons inférieur à 20) et répondre aux questions suivantes :
quels sont les ordres possibles des éléments du groupe ( Fp )
×
? Combien d’éléments de chaque
ordre ce groupe possède-t-il ? Quels sont les éléments qui engendrent le groupe ? Recommencer
avec un autre petit nombre premier. . .
Exercice 4
Soit Gun groupe, g1un élément d’ordre r1et g2un élément d’ordre r2.
1 On suppose que g1 et g2 commutent et que r1 et r2 sont premiers entre eux. Montrer que
g1g2est d’ordre r1r2.
2 On suppose que g1 et g2 commutent. Montrer que g1g2 est d’ordre fini. Montrer par un
exemple que l’ordre de g1g2n’est pas nécessairement r1r2, ni ppcm(r1, r2).
3 Montrer par un exemple qu’en général g1g2 n’est pas nécessairement d’ordre fini (on pourra
par exemple prendre pour g1et g2des rotations planes).
Exercice 5
1Écrire la table de multiplication de S3et vérifier que S3n’est pas commutatif.
2Soit n>3un entier. Montrer que Snn’est pas commutatif.
Exercice 6
1Montrer que l’ordre d’un r-cycle est r.
2 Si n> 4, exhiber une permutation de Sn qui est d’ordre 2mais qui n’est pas une transposition.
3Décrire les éléments d’ordre 2de Sn.
4 Montrer que l’ordre d’une permutation σ est le ppcm des ordres des cycles intervenant dans
la décomposition de σen produit de cycles à supports disjoints.
Exercice 7
Quel est l’ordre de la permutation (1,2,3,4)(2,5) ?

Exercice 8
Le but de cet exercice est d’achever la démonstration débutée en cours du fait qu’on a pour
toute permutation σ et toute transposition τ la relation ε ( σ τ ) = ε ( σ ) ε ( τ ). Soient r et s des
entiers supérieurs à 2, c1 un r -cycle et c2 un s -cycle. On suppose les supports de c1 et c2 disjoints.
Soit τune permutation dont le support intersecte le support de c1et le support de c2.
1Vérifier qu’on peut écrire c1= (d1, d2, . . . , dr),c2= (d0
1, . . . , d0
s)et τ= (d1, d0
1).
2Montrer que c1c2τest un r+s-cycle de support {d1, . . . , dr, d0
1, . . . , d0
s}
3Vérifier qu’on a ε(c1c2τ) = ε(c1c2)ε(τ).
Exercice 9
Le but de cet exercice est de montrer que l’écriture d’une permutation comme produit de
cycles à supports deux à deux disjoints est unique à l’ordre des facteurs près.
1Soit cun cycle et dun élément du support de c. Vérifier que le support de cest
{ck(d), k ∈N}.
2
Soit c1, . . . , cr des cycles dont les supports sont deux à deux disjoints et σ = c1c2. . . cr . Soit
i∈ {1, . . . , r}. Vérifier que pour tout ddans le support de ci, on a ci(d) = σ(d).
3 Soit c0
1, . . . , c0
s
des cycles dont les supports sont deux à deux disjoints. On suppose qu’on a
c1c2. . . cr = c0
1c0 2. . . c0
s
. Il s’agit de montrer qu’on a r = s et qu’à renumérotation éventuelle près,
on a ci=c0
ipour tout i.
Soit d un élément du support de c1 . Vérifier que d est dans le support de l’un des c0
i
. En
renumérotant, on peut donc supposer que dest dans le support de c0
1.
4Montrer que c1et c0
1ont même support puis que c0 1=c1.
5Conclure.
Exercice 10
Soit r> 2un entier et d1, . . . , dr des entiers deux à deux distincts. Vérifier soigneusement la
relation
(d1, d2, . . . , dr−1, dr)=(d1, dr) (d1, dr−1). . . (d1, d3) (d1, d2).
Retour sur les chapitres précédents du cours
Exercice 11
Soit K un corps, P et Q des éléments de K [ X ]. On note hPi = PK [ X ]l’idéal engendré par
P, c’est-à-dire l’ensemble des multiples de P. Montrer qu’on a
hPi=hQi ⇔ (P|Qet Q|P)⇔ ∃α∈K×, α P =Q.
Exercice 12
Soit Kun corps et Pun élément non nul de K[X]. Montrer que Pa au plus deg(P)racines
dans K . Indication : raisonner par récurrence sur deg ( P ). Pourquoi le résultat est-il vrai si

deg ( P ) = 0 ? Si P est de degré quelconque, soit P n’a pas de racines, et le résultat est vrai, soit il
existe a tel que P ( a )=0. Diviser alors P par X−a pour appliquer l’hypothèse de récurrence.
Exercice 13
Cette exercice porte sur l’arithmétique des polynômes. La quasi-totalité des réponses peuvent
s’obtenir en copiant quasiment mot à mot les démonstrations des résultats analogues pour Z.
1 Démontrer le lemme de Gauss pour les polynômes : soit P, Q, R ∈K [ X ]tels que P divise
Q R et Pest premier avec Q. Alors Pdivise R.
2 En déduire le lemme d’Euclide pour les polynômes : soit P, Q, R ∈K [ X ]tels que P est
irréductible et Pdivise Q R. Alors Pdivise Qou Pdivise R.
3 Démontrer que tout polynôme non constant a un diviseur irréductible (considérer un diviseur
non constant de degré minimal).
4 Démontrer que tout polynôme non constant s’écrit comme un produit de polynômes irré-
ductibles et que cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près et à multiplication par une
constante inversible près.
Exercice 14
Un exercice pour réviser la pratique de l’algorithme d’Euclide sur les polynômes.
1 Soit P et Q les éléments de Q [ X ]définis par P = X4− 2 X3−X + 2 et Q = X5 + X2 +
X4 + X + X3 + 1. Calculer un pgcd ∆de P et Q ainsi que deux polynômes U, V ∈Q [ X ]vérifiant
U P +V Q = ∆.
2Même question en supposant cette fois Pet Qdans F2[X].
3 Choisir deux polynômes P et Q au hasard dans k [ X ]avec k = Q , F2 , F3 ou F5 . Calculer un
pgcd ∆de P et Q ainsi que deux polynômes U, V ∈Q [ X ]vérifiant U P + V Q = ∆. Vérifier le
résultat avec Maple.
4 Montrer que le polynôme X2 + 1 est irréductible dans F7 [ X ]. Choisir un élément non nul de
F7[X]/hX2+ 1i(écrit sous la forme a+b α avec a, b ∈F7) et calculer son inverse.
5Même question avec X3+X+ 1 dans F5[X].
Exercice 15
Soit A et B des anneaux commutatifs, I un idéal de A , π : A→A/I le morphisme quotient,
f : A→B un morphisme d’anneau dont le noyau contient I ,
e
f : A/I →B l’unique morphisme
vérifiant
e
f◦π = f . Montrer que le noyau de
e
f est π ( Ker ( f )). En déduire que
e
f est injectif si et
seulement si Ker(f) = I.
Exercices à chercher
Exercice 16
Soit E et F des ensembles et f : E→F une bijection. Montrer que l’application qui à
σ∈SEassocie f◦σ◦f−1induit un isomorphisme du groupe SEsur le groupe SF.

Exercice 17
Soit n> 2un entier. À tout élément σ de Sn−1 on associe l’application de Nn dans Nn qui à
n associe n et à tout élément i∈ { 1 , . . . , n − 1 } associe σ ( i ). Cette application est notée ϕ ( σ ).
Montrer que ϕ ( σ )est un élément de Sn , puis que ϕ est un morphisme injectif du groupe Sn−1
vers le groupe Sn, dont l’image est le sous-groupe de Snconstitué des permutations dont nest
un point fixe.
Exercice 18
Soit σ∈Sn.
1Soit
ι(σ)=#{(i, j)∈Nn,16i<j6n, σ(i)> σ(j)}.
ι(σ)est appelé le « nombre d’inversions » de σ. Montrer la formule
ε(σ)=(−1)ι(σ).
2Montrer la formule
ε(σ) = Y
16i<j6n
σ(i)−σ(j)
i−j.
3En déduire une nouvelle démonstration du fait que εest un morphisme de groupes.
Exercice 19
Soit n> 1un entier et E un espace vectoriel de base ( e1, . . . , en ). Soit σ un élément de Sn .
Soit fσl’application linéaire E→Edéfinie par fσ(ei) = eσ(i).
1 Montrer que fσ est un élément de GL ( E ), puis que σ7→ fσ est un morphisme de Sn vers
GL(E).
2Montrer qu’on a det(fσ) = ε(σ).