Arithmétique dans l`ensemble des entiers relatifs

Interrogation orale - Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr
Exercice 9 : Montrer pour tout n ∈ N que 40n n! | (5n)!.
Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
1
Divisibilité
Exercice 10 : Résoudre x2 + y 2 = 3z 2 pour (x, y, z) ∈ Z3 .
Exercice 1 : Soit n ∈ N que l'on écrit n = 10q + r avec q ∈ N et r ∈ J0, 9K.
1. Montrer que 7 | n si et seulement si 7 | q − 2r.
2. Est ce que 7 | 11228 ? Est ce que 7 | 15637 ?
Exercice 11 : On souhaite résoudre x2 + y 2 + z 2 = x2 y 2 pour (x, y, z) ∈ Z3 .
1. Montrer que si (x, y, z) est solution, alors x, y et z sont pairs.
2. En déduire les solutions de l'équation.
Exercice 2 : Montrer que 11 divise 2123 + 3121 .
Exercice 12 : Déterminer les entiers naturels dont le produit des diviseurs est
égal à 4542 .
Exercice 3 : Montrer pour tout n ∈ N que
(i) 6 | 5n3 + n,
(iv) 5 | 22n+1 + 32n+1 ,
(ii) 7 | 32n+1 + 2n+2 , (iii) 11 | 38n × 54 + 56n × 73 ,
(v) 9 | 4n − 1 − 3n,
Exercice 13 : Soit n ∈ N∗ . Montrer que
√
n ∈ Q si et seulement si
√
n ∈ N.
(vi) 152 | 16n − 1 − 15n.
Exercice 14 : Soit n ∈ N∗ . Déterminer le reste dans la division euclidienne
par n de la somme des n premiers entiers.
Exercice 4 : Montrer que pour tout entier n > 2, on a 10 | 2 − 6.
2n
N
Y
Exercice 5 : Montrer pour tout n ∈ N que la plus grande puissance de 2
n
Exercice 15 : Soit n ∈ N \ {0, 1} et n =
pαk k sa décomposition primaire.
divisant 52 − 1 est 2n+2 .
k=1
1. Quel est le nombre de diviseurs positifs d(n) de n ?
2. Montrer que n est un carré parfait ssi d(n) est impair.
3. Calculer
Y
X
d et
d.
Exercice 6 : Soient (a, b) ∈ Z2 et n ∈ N∗ . Montrer que
a ≡ b[n]
⇒
an ≡ bn [n2 ].
d|n
Exercice 7 : Soit (x, y) ∈ N2 . Montrer 7 | x et 7 | y si et seulement si 7 | x2 +y 2 .
Exercice 8 : Résoudre pour (x, y) ∈ Z2 les équations suivantes.
(i) xy = 3x + 2y,
1
1 1
(ii)
+ = ,
x y
5
2
d|n
Exercice 16 : Pour n ∈ N∗ . On note d(n) le nombre de diviseurs positifs de n.
Déterminer un équivalent de
n
1X
d(k).
n
2
(iii) x − y − 4x − 2y = 5.
k=1
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2
PGCD et PPCM
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Exercice 26 : Résoudre dans (N∗ )2 les systèmes suivants.
Exercice 17 : Calculer (3123 − 5) ∧ 25.
(i)
x ∧ y = 18
x ∨ y = 540
(ii)
x ∧ y = 10
x + y = 100
Exercice 18 : Soit (a, b) ∈ Q2 . Montrer que
a + b ∈ Z et ab ∈ Z
⇒
Exercice 27 : Trouver les triplets (a, b, c) ∈ (N∗ )3 vériant
(a, b) ∈ Z2 .
a ∨ b = 42,
Exercice 19 : Soit (a0 , a1 , . . . , an−1 ) ∈ Zn . Montrer que si x ∈ Q vérie
a∧c=3
et
a + b + c = 29.
Exercice 28 : Soit (d, m) ∈ (N∗ )2 . Déterminer une condition nécessaire et
susante pour qu'il existe (x, y) ∈ (N∗ )2 tel que
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0,
alors x ∈ Z.
x ∧ y = d et x ∨ y = m.
Exercice 20 : Soit (a, b, n) ∈
Exercice 21 : Soit (a, b) ∈
(N∗ )3 .
(N∗ )2 .
Montrer que
an
∧
bn
= (a ∧
b)n .
Montrer que (a + b) ∧ (a ∨ b) = a ∧ b.
Exercice 29 : Soit (un ) la suite d'entiers dénie par u0 = 14 et un+1 = 5un −6.
Déterminer pour tout n ∈ N le nombre dn = un+1 ∧ un .
2
Exercice 22 : Soient (a, b) ∈ (N∗ )2 . Montrer que (a2 + ab + b2 ) ∧ ab = a2 ∧ b2 . Exercice 30 : Soit (m, n) ∈ (N∗ ) .
1. Déterminer la division euclidienne de 2m − 1 par 2n − 1.
Exercice 23 : Pour n ∈ N, calculer les pgcd suivant.
2. En déduire pgcd(2m − 1, 2n − 1).
(i) (n2 + n) ∧ (2n + 1),
(ii) (15n2 + 8n + 6) ∧ (30n2 + 21n + 13).
Exercice 31 : Soit (a, b) ∈ (N∗ )2 premier entre eux. Montrer que
Exercice 24 : Résoudre pour (x, y) ∈ Z2 les équations suivantes.
(i) x ∧ y + x ∨ y = x + y,
ab = n2
⇔
∃(m, n) ∈ N2 ,
a = m2
(ii) 20x − 53y = 3.
(i) 95x + 25y = 45,
Exercice 25 : Résoudre pour (x, y) ∈
∃n ∈ N,
N2
les équations suivantes.
Exercice 32 : Montrer que
∀n ∈ N,
(ii) x ∨ y + 11(x ∧ y) = 203.
2/4
2n
n+1|
.
n
et b = n2 .
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Exercice 33 : Soit n ∈ N. Montrer que les entiers
Exercice 39 : Soient a et p deux entiers supérieurs à 2. Montrer que si ap − 1
est premier alors a = 2 et p est premier.
ak = k · n! + 1 pour k ∈ J1, n + 1K
sont deux à deux premiers entre eux.
Exercice 34 : Pour n ∈ N, on note Fn = 22 + 1. Pour (m, n) ∈ N2 avec
m 6= n, montrer que Fm ∧ Fn = 1.
n
Exercice 35 : On considère la suite (ϕn )n∈N dénie par
ϕ0 = 0,
1.
2.
3.
4.
ϕ1 = 1 et ∀n ∈ N,
Exercice 40 : Soit n ∈ N∗ . Montrer que si 2n + 1 est premier alors n est une
puissance de 2.
Exercice 41 : Soit p > 5 premier. Montrer que p2 − 1 est divisible par 24.
Exercice 42 : Soit n ∈ N \ {0, 1}.
1. Montrer que n est premier si et seulement si
ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn .
Montrer que ϕn+1 ϕn−1 − ϕ2n = (−1)n pour tout n ∈ N∗ .
En déduire que ϕn ∧ ϕn+1 = 1 pour tout n ∈ N∗ .
Montrer ϕn+m = ϕm ϕn+1 + ϕm−1 ϕn pour tout (m, n) ∈ N∗ × N.
En déduire ϕm ∧ ϕn pour (m, n) ∈ N2 .
∀k ∈ J1, n − 1K,
n
n|
.
k
2. En déduire que si p ∈ N est un nombre premier, alors
∀n ∈ Z,
np ≡ n[p].
Exercice 36 (Théorème de Kurshchak) : Montrer que
∀n ∈ N \ {0, 1},
n
X
1
k
Exercice 43 : Soient n ∈ N∗ et p ∈ N premier.
1. Déterminer la plus grande puissance de p dans n!.
2. Combien de zéros y a-t-il à la n de 30! ?
!
∈
/ N.
k=1
Exercice 37 : Soit (a, b) ∈ N∗ ×N∗ . Montrer que pgcd(a, b) = 1 ssi l'application
f : div(a) × div(b) → div(ab),
(k, `) 7→ k`
est bijective. (div(n) désigne l'ensemble des diviseurs positifs de n ∈ N∗ ).
3
Exercice 44 : Montrer qu'il existe une innité de nombres premiers congrus à
3 modulo 4.
Exercice 45 : Soit p ∈ N avec p > 5. Montrer que
Nombres premiers
N∗ .
Exercice 38 : Soit n ∈
Montrer qu'il existe un nombre premier strictement
compris entre n et n! + 2.
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p n'est pas premier
⇔
p | (p − 1)!.
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Solutions
Exercice 3 : Les solutions sont
(i) Modulo 6, on a 5n3 + n = −(n − 1)n(n + 1) qui est divisible par 6.
(ii) Modulo 7, on a 32n+1 + 2n+2 = 9n · 3 + 2n · 4 = 2n · 7 = 0.
(iii) Modulo 11, on a 38n · 54 + 56n · 73 = 5n · 9 + 5n · 2 = 0.
(iv) Modulo 5, on a 22n+1 + 3n+1 = 4n · 2 + 9n · 3 = 4n · 5 = 0.
(v) Modulo 9 par récurrence, on a 4n+1 − 1 − 3n = 3(4n − 1) = 0 car 3 | 4n − 1.
(vi) Modulo 152 par récurrence, on a 16n+1 − 1 − 15n = 15(16n − 1) = 0.
Exercice 7 : Regarder les valeurs possibles de x2 + y 2 modulo 7.
Exercice 9 : Faire une récurrence.
Exercice 10 : En passant modulo 3, on trouve (x, y, z) = (0, 0, 0).
Exercice 22 : Il sut de le montrer quand pgcd(a, b) = 1. S'il existe un
nombre premier p tel que p | a2 + ab + b2 et ab, alors (p | a − b ou p | a + b) et
(p | a ou p | b). Ainsi p | a et p | b, ce qui n'est pas possible.
Exercice 24 : Les solutions sont (x, y) = (−9 − 5k, 36 + 19k) et (x, y) =
(24 + 53k, 9 + 20k).
Exercice 27 : Les solutions sont les triplets (21, 2, 6), (3, 14, 12) et (6, 14, 9).
Comme 3 | a, 3 | c et b = 29 − a − c, on obtient que pgcd(b, 3) = 1. D'autre
part, b | 42 = 3 × 14, donc b | 14 et b ∈ {1, 2, 7, 14}. Comme 29 − b = a + c est
divisible par 3, on restreint les valeurs possibles de b à 2 et 14. En traitant les
deux cas, on trouve les triplets annoncés.
Exercice 30 : Si m > n, la division euclidienne de 2m − 1 par 2n − 1 est
2m − 1 = 2r (2nq − 1) + 2r − 1 = 2r (2n − 1)(2n(q−1) + · · · + 1) + 2r − 1
On en déduit que pgcd(2m − 1, 2n − 1) = 2pgcd(m,n) − 1.
Exercice 11 : On regarde modulo 4 pour montrer que x, y et z sont pairs. En
décomposant x, y ∈ Z∗ en produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair, Exercice 33 : Si p est un diviseur premier de ak et a` , alors p divise la
diérence, donc p 6 n.
puis en raisonnant modulo 4, on en déduit que (x, y, z) = (0, 0, 0).
Exercice 12 : On peut écrire n = 3α · 5β avec α, β > 1. On obtient l'équation Exercice 35 : On eectue des récurrence pour 1 et 3. En itérant, on trouve
ϕm ∧ ϕn = ϕm∧n .
(3α/2 · 5β/2 )(α+1)(β+1) = 4542 , qui implique α = 6 et β = 3, donc n = 36 · 53 .
Exercice 15 : On a d(n) = (α1 + 1) · · · (αN ). Pour la dernière question, on a Exercice 38 : Soit p est un facteur premier de n! + 1. Si p 6 n, alors on a
p | (n! + 1) − n! = 1, ce qui est absurde.
Y
d|n
d=
√ d(n)
n
et
X
d|n
d=
N
Y
pαi +1 − 1
i
i=1
Exercice 16 : On trouve ln(n) comme équivalent.
pi − 1
.
Exercice 42 : Si n n'est pas premier, montrer que pour k = p le plus petit
facteur premier, la division n'est pas possible.
Exercice 43 : La plus grande puissance de p divisant n! est
P
k bn/p
k c.
Exercice 18 : Si a, n 6= 0, on écrit a = p/q et b = m/n avec p, m ∈ Z, Exercice 44 : Supposons qu'il n'y en ait qu'un nombre ni p1 , . . . , pk et posons
q, n ∈ N∗ , p ∧ q = 1 et m ∧ n = 1. On a a + b = pn+mq
∈ Z, donc par le m = 4p1 . . . pk − 1. On a m > 2 et m = 3[4], donc m admet un diviseur premier
qn
lemme de Gauss, on a q | n. De même, n | q , donc n = q . D'autre part, on a p tel que p = 3[4]. Ainsi p | m et p | p1 · · · pk , donc p | 1, ce qui est absurde.
ab = (pm)/q 2 ∈ Z. Or q ∧ pm = 1, donc q = n = 1.
4/4