PRODUIT SCALAIRE – PRODUIT VECTORIEL

PRODUIT SCALAIRE – PRODUIT VECTORIEL
I. PRODUIT SCALAIRE
I.1Calcul du produit scalaire
G G G
Soit i , j , k une base orthonormée directe.
(
)
x
x
G 2
G 1
Il y a deux méthodes pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs : V1 y1 et V2 y2 .
•
z1
G G
G
G
G G
Méthode 1 : définition du produit scalaire : V1 ⋅ V2 = V1 × V2 × cos V1 ,V2
(
z2
)
G G
• Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe : V1 ⋅ V2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Il faut bien réfléchir pour savoir quelle méthode donnera les calculs les plus simples.
I.2 Première propriétés
G G
G G
a) V1 ⋅ V2 = V2 ⋅ V1 le produit scalaire est commutatif.
b)
•
•
G G
G
G
Si V1 et V2 sont orthogonaux, alors V1 ⋅ V2 = 0 . Attention, la réciproque est fausse.
G
G
G G
G G
G G
G
G
G G
Si V1 ⋅ V2 = 0 ⇔ V1 × V2 × cos V1 , V2 = 0 ⇔ V1 = 0 ou V2 = 0 ou V1 et V2 sont orthogonaux
(
)
II. PRODUIT VECTORIEL
II.1 Définition – Interprétation géométrique de la norme
G
G
G
G G
Le produit vectoriel de V1 et V2 , noté V1 ^ V2 est le vecteur V tel que :
G
G
G
G G
•
V = V1 × V2 × sin α avec α = V1 , V2
G G
G G
G
G
• Quand V1 et V2 sont non nuls, on a V ⊥ V1 et V ⊥ V2
G G G
• Le trièdre V1 , V2 ,V est direct. On peut appliquer la règle de la main droite : les 4 doigts de la main sont
G
G
dans la direction de V1 , la paume de la main est dans la direction de V2 . Le pouce donne alors la direction de
G
V.
(
(
G
V2
)
)
G
V
C
α
G
V1
JJJG G
AC = V2
G
V2
G
V1
A
D
α
H JJJG
G B
AB = V1
On a souvent besoin d’interpréter graphiquement la norme du produit vectoriel. Soit ABCD le parallélogramme
G
G
construit à partir des vecteurs V1 et V2 .
L’aire du parallélogramme ABCD vaut : base × hauteur = AB × CH = AB × AC × sin α = V1 × V2 × sin α .
G G
L’aire du parallélogramme ABCD vaut : V1 ^ V2
Q Produit scalaire – Produit vectoriel (33-101)
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JN Beury
II.2 Premières propriétés
G G
G G
a) V1 ^ V2 = −V2 ^ V1 le produit vectoriel n’est pas commutatif.
b)
G G G
G
G
Si V1 et V2 sont colinéaires, alors V1 ^ V2 = 0 . Attention, la réciproque est fausse.
G G G
G
G
G G
G G
G G
G
G
Si V1 ^ V2 = 0 ⇔ V1 × V2 × sin V1 , V2 = 0 ⇔ V1 = 0 ou V2 = 0 ou V1 et V2 sont colinéaires
•
(
•
)
II.3 Linéarité
G
G
G G
V1 ^ λV2 = λ V1 ^ V2 avec λ ∈ \
G G G
G G G G
u ^ V1 + V2 = u ^ V1 + u ^ V2
( ) (
(
)
)
II.4 Coordonnées dans une base orthonormée directe
G G G
Soit i , j , k une base orthonormée directe.
G G G
G
i ^ j =k
k
G G G
j ^k =i
G
G G G
j
G
k ^i = j
i
Moyen mnémotechnique pour retrouver sans schéma ces relations :
G G
G
G G G G G G
G
écrire i , j , k , i , j , k . Pour calculer k ^ i par exemple, i est à droite de k dans cette liste, on aura un signe +
G G
G
G
Si on veut calculer j ^ i , on aura un signe – car i est à gauche de j .
(
)
G
G
G
G
G
G
G
G
V1 = x1i + y1 j + z1 k et V2 = x2 i + y2 j + z2 k
G
G
G
G
G G
G
G
G
G
G
G
G
G
V1 ^ V2 = x1i + y1 j + z1 k ^ x2 i + y2 j + z2 k = x1 y2 k − x1 z2 j − y1 x2 k + y1 z2 i + z1 x2 j − z1 y2 i
(
) (
)
y1 z2 − z1 y2
G G
On obtient : V1 ^ V2 = z1 x2 − x1 z2 . On retient ce résultat avec les déterminants :
x1 y2 − y1 x2
+ det
y1
y2
z1
z2
x1 x2
G G
x
V1 ^ V2 = y1 ^ y2 = − det 1
z1
z1 z2
x
+ det 1
y1
x2
z2
.
x2
y2
Le premier déterminant s’obtient en « rayant » la première ligne (x1 et x2). Le deuxième déterminant s’obtient
en « rayant » la deuxième ligne (y1 et y2). Le troisième déterminant s’obtient en « rayant » la troisième ligne (z1
et z2).
Retenir que l’on a des signes ALTERNÉS : +, – et +.
II.5 Double produit vectoriel
G G G
G G G G G G
u ^ ( v ^ w) = (u ⋅ w) v − (u ⋅ v ) w
G G G
G G G G G G
(u ^ v ) ^ w = (u ⋅ w) v − ( v ⋅ w) u
Moyen mnémotechnique : « commencer par vecteur milieu et mettre un signe – devant l’autre vecteur de la
parenthèse du double produit vectoriel. Il reste à rajouter les produits scalaires des deux autres vecteurs ».
II.6 Bilan
Il y a deux méthodes pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs.
• Méthode 1 : définition du produit vectoriel.
• Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe.
Il faut bien réfléchir pour savoir quelle méthode donnera les calculs les plus simples.
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