Fonctions convexes

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Jean-Paul Vincent

Jean-Paul Vincent
Fonctions convexes
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Fonctions convexes
Definition
Une partie C du plan est dite convexe si le segment [A, B ] est contenu
dans C dès que les points A et B sont dans C .
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Definition
Une partie C du plan est dite convexe si le segment [A, B ] est contenu
dans C dès que les points A et B sont dans C .
Definition
Une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs réelles est dite
convexe si {(x , f (x )) ∈ R2 /x ∈ I } est une partie convexe. f est dite
concave si −f est convexe.
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Fonctions convexes
Definition
Une partie C du plan est dite convexe si le segment [A, B ] est contenu
dans C dès que les points A et B sont dans C .
Definition
Une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs réelles est dite
convexe si {(x , f (x )) ∈ R2 /x ∈ I } est une partie convexe. f est dite
concave si −f est convexe.
{(x , f (x )) ∈ R2 /x ∈ I } est appelé épigraphe.
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Fonctions convexes
Fonctions convexes
Autrement dit, f est convexe si pour tous x et x 0 dans I et tout u dans
[0, 1] :
f (ux + (1 − u )x 0 ) ≤ uf (x ) + (1 − u )f (x 0 )
La corde est au-dessus du graphe.
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Fonctions convexes
Autrement dit, f est convexe si pour tous x et x 0 dans I et tout u dans
[0, 1] :
f (ux + (1 − u )x 0 ) ≤ uf (x ) + (1 − u )f (x 0 )
La corde est au-dessus du graphe.
(a, f (a))
uf (a) + (1 − u)f (b)
(b, f (b))
f (ua + (1 − u)b)
ua + (1 − u)b
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Taux d’accroissement d’une fonction convexe
Theorem
f est convexe si et seulement si, pour tout a dans I, l’application
x 7→
f (x ) − f (a )
x −a
est croissante sur I \ {a}.
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Taux d’accroissement d’une fonction convexe
Theorem
f est convexe si et seulement si, pour tout a dans I, l’application
x 7→
f (x ) − f (a )
x −a
est croissante sur I \ {a}.
Preuve
Soient x , y , z des réels tels que : x < y < z et α dans [0, 1]. Choisissons
y
α de manière à avoir : αx + (1 − α)z = y , soit : α = zz −
−x . Alors :
f (y ) ≤ αf (x ) + (1 − α)f (z )
Donc : 0 ≤
z −y
z −x (f
(x ) − f (z )) + f (z ) − f (y ).
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Taux d’accroissement d’une fonction convexe
Preuve (suite)
Nous en déduisons que :
f (z ) − f (x ) f (z ) − f (y )
+
0 ≤ (z − y ) −
z −x
z −y
!
Comme z > y , il vient :
f (z ) − f (x )
f (z ) − f (y )
≤
z −x
z −y
En échangeant x et z on obtient α =
x −y
x −z
et
f (x ) − f (z ) f (x ) − f (y )
0 ≤ (x − y ) −
+
x −z
x −y
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!
Taux d’accroissement d’une fonction convexe
(suite).
et comme x < y :
f (z ) − f (x )
f (x ) − f (y )
≤
x −y
z −x
nous obtenons la formule des trois cordes :
f (x ) − f (y )
f (z ) − f (x )
f (z ) − f (y )
≤
≤
x −y
z −x
z −y
qui démontre la croissance du taux d’accroissement.
La réciproque se prouve en remontant les calculs.
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Des conséquences sur les dérivées
Corollaire 1
La démonstration précédente prouve que :
lim
x →y −
existe car
f (x )−f (y )
x −y
f (z )−f (y )
.
z −y
De même
f (x ) − f (y )
x −y
est une fonction croissante de x , majorée par
f (x )−f (y )
x −y
minore
lim+
z →y
f (z )−f (y )
z −y
donc :
f (z ) − f (y )
z −y
existe. Ainsi, f admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en
y . Par suite, une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue.
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Des conséquences sur les dérivées
Corollaire 2
Soit f dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si f 0 est
croissante.
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Des conséquences sur les dérivées
Démonstration
Supposons f convexe. En faisant tendre y vers x dans l’inégalité
f (z )−f (y )
f (y )
− f (xx)−
≥ 0, on trouve :
z −y
−y
f (z ) − f (x )
≥ f 0 (x )
z −x
f (z )−f (x )
De même, en faisant tendre y vers z dans z −x
continue) :
f (z ) − f (x )
≤ f 0 (z )
z −x
D’où f 0 (x ) ≤ f 0 (z ).
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≤
f (z )−f (y )
z −y
(f est
Des conséquences sur les dérivées
Réciproque.
Supposons f 0 croissante. La somme de deux fonctions convexes est
convexe et une fonction affine est convexe, il suffit donc de montrer
que, pour tous a et b dans I, la fonction g :
g (x ) = f (x ) − f (a ) −
f (b ) − f (a )
(x − a )
b−a
est croissante. Comme g (a) = g (b ) = 0, si g (x ) ≤ 0 lorsque x est
dans ]a, b [ alors la courbe est sous la corde. Or d’après le théorème de
f (b )−f (a)
Rolle, il existe c dans ]a, b [ tel que : b −a = f 0 (c ). f 0 étant
croissante, g 0 est négative sur ]a, c [, nulle en c et positive sur ]c, b [.
Donc g est négative sur ]a, b [.
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Des conséquences sur les dérivées
Remarque
La courbe est située au-dessus de ses tangentes. En effet, soit h définie
par :
h(x ) = f (x ) − (f (a) + f 0 (a)(x − a))
a une dérivée négative pour x ≤ a et positive pour x ≥ a, donc h admet
un minimum en a or : h(a) = 0, donc pour tout x dans I : h(x ) ≥ 0.
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Fonctions convexes deux fois dérivables
Corollaire 3
Si f est deux fois dérivable sur I alors f est convexe si et seulement
si f 00 ≥ 0.
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Fonctions convexes deux fois dérivables
Corollaire 3
Si f est deux fois dérivable sur I alors f est convexe si et seulement
si f 00 ≥ 0.
Démonstration.
f est convexe si et seulement si f 0 est croissante, donc si et
seulement si f 00 ≥ 0.
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