Feuille 3 - Université de Nantes

Universit´e de Nantes Licence Math L3
D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2009-2010
Topologie et calculs diff´erentiel — Liste n˚3
1 Exercices fondamentaux
Applications Lin´eaires
Exercice 1. Calculer la norme de l’application lin´eaire u:R2→Rd´efinie
par ∀(x, y)∈R2,u(x, y) = x−ylorsque Ret R2sont munis de la norme
euclidienne.
Exercice 2. Soit Xl’espace des fonctions continues sur [a, b] `a valeurs r´eelles
muni de la norme de la convergence uniforme, ϕ∈Xet u∈End(X) d´efini
par : ∀f∈X,u(f) = ϕ.f.
Montrer que uest continu et d´eterminer sa norme.
Exercice 3. Pour tout k∈N, soit Aket Ades matrices r´eelles n×p.
Prouver l’´equivalence entre
1. (Ak) converge vers Adans L(Rp,Rn) o`u on identifie ici matrice et
application lin´eaire
2. les coefficients de Akconvergent vers ceux de A
Exercice 4. Soit f∈L(E, F ) o`u Eet Fsont deux espaces vectoriels norm´es
sur K=Rou C.
1. Montrer que : fcontinue ⇒Kerf ferm´e.
2. Si F=K, montrer que : Kerf ferm´e ⇒fcontinue.
(ind : on raisonne par l’absurde en supposant fnon continue et on
montre qu’il existe une suite (xn)de Kerf tq xncv →aavec f(a) = 1).
3. On consid`ere maintenant E=R[X] muni de la norme kPk:= sup
k
|ak|
si P=Pk=n
k=0 akXk.
V´erifier que les applications suivantes sont lin´eaires et ´etudier leur
continuit´e :
(a) ϕ:E→Etq ϕ(P) = P′le polynˆome d´eriv´e ;
(b) ψ:E→Etq ψ(P) = (X+ 1)P;
(c) ξ:E→Rtq ξ(P) = P(0). D´eteminer Kerϕ et d´eduire un contre
exemple `a la r´eciproque de 1).
1

4. Montrer que si pour toute suite (xn) de Econvergeant vers 0E, la suite
(f(xn)) est born´ee dans F, alors fest continue.
Exercice 5. Soient (X, N) et (Y, M) deux espaces vectoriels norm´es et
f:X→Yune application lin´eaire continue. Montrer que si P∞
p=0 upest
une s´erie convergente de (X, N ), alors la s´erie P∞
p=0 f(up) est convergente
dans (Y, M) et a pour somme : f(P∞
p=0 up).
Espaces Complets
Exercice 6. Pour la topologie induite, d´eterminer parmi les parties de R
suivantes celles qui sont compl`etes :
Z,Q,[0,1],[2,3[,]− ∞, π],]π, +∞[.
Exercice 7. V´erifier que d(x, y) = |1/x −1/y|d´efinit une distance sur
X=]0,+∞[ et que la topologie ainsi d´efinie est la topologie induite sur X
par (R,|.|). Montrer que (]0,1], d) est une partie compl`ete mais que (]0,1],| ·
|) n’est pas complet. En d´eduire que la compl´etude n’est pas une notion
topologique.
Exercice 8. Soit X=]0,+∞[ muni de la distance d(x, y) = |ln x−ln y|.
1. Montrer que (X, d) est un espace m´etrique complet.
2. Soit f:X→Xune fonction de classe C1telle que :
∀x∈X, x|f′(x)| ≤ kf(x),avec k∈[0,1]
Montrer que fadmet un unique point fixe dans X.
Exercice 9. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels norm´es.
1. Montrer que si Eest de dimension finie, alors ∀f∈L(E, F ), fest une
application continue.
2. Soit p∈L(E) continue telle que p2=p. Montrer que le noyau et
l’image de psont des sous-espaces ferm´es de Eet que, s’ils sont com-
plets pour la topologie induite, alors Eest complet.
Exercice 10. On note E=C([0,1],R) et ∀f∈E,kfk1=Z1
0
|f(t)|dt.
Montrer que, muni de cette
norme, En’est pas complet.
2

Exercice 11. Montrer que toute suite de Cauchy dans un espace m´etrique
(E, d) est born´ee mais que la r´eciproque est fausse. Donner des exemples
simples d’espaces m´etriques non complets.
Exercice 12. Soit (X, d) un espace m´etrique complet. On note fples it´er´ees
de fd´efinies par f0=Id et fp+1 =f◦fp(= fp◦f).
1. Soit Apl’ensemble des points fixes de fp. Montrer que Apest stable
par f.
2. Montrer que si l’une des fpest contractante, alors fposs`ede un unique
point fixe et que toute suite de points de Xd´efinie par r´ecurrence par
x0∈Xet xn+1 =f(xn) converge vers ce point fixe.
Exercice 13. Montrer que C([a, b],R) muni de la norme sup est un espace
complet mais que pour la mˆeme norme, C1([a, b],R) ne l’est pas. Qu’en est-il
de C1([a, b],R) muni de kfk=kfk∞+kf′k∞?
Exercice 14. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces m´etriques et f:E→F
une application continue telle que :
∀(x, y)∈E2, d(x, y)≤δ(f(x), f(y)).
1. Montrer que fest un hom´eomorphisme de Esur f(E) o`u f(E) est
munie de la topologie induite.
2. On suppose maintenant que fest surjective. Montrer que (E, d) com-
plet implique (F, δ) complet.
2 Exercices compl´ementaires et d’entrainement
Exercice 15. Soient E,Fet Gtrois espaces vectoriels norm´es. On note
Lc(E, F ) (resp. Lc(F, G), Lc(E, G)) l’ensemble des applications lin´eaires
continues de Edans F(resp. de Fdans Get de Edans G) et k.kd´esignera
indiff´eremment la norme de E,F,G,Lc(E, F ), Lc(F, G) ou Lc(E, G).
1. Montrer que ∀u∈Lc(E, F ), ∀v∈Lc(F, G), on a : kv◦uk ≤ kvk kuk.
2. Montrer que si Fest complet alors Lc(E, F ) est un espace de Banach.
3. On suppose que F=Eet on note Lc(E, F ) par Lc(E). Montrer que
si u∈Lc(E) v´erifie kuk<1 alors I−uest inversible. On note U(E)
l’ensemble des automorphismes continus de E.
3

4. Montrer que U(E) est un ouvert puis que l’application Φ : U(E)→U(E)
u7→ u−1
est continue.
Exercice 16. (Compl´et´e d’un espace m´etrique, m´ethode de Cantor)
Soit (E, d) un espace m´etrique. On note Yl’ensemble des suites de Cauchy
d’´el´ements de Eet on pose ∀(u, v)∈Y2,d′(u, v) = lim
n→∞ d(un, vn) o`u u=
(un)n∈Net v= (vn)n∈N.
1. Montrer que d′:Y2→R+est une application bien d´efinie.
2. Soit Rla relation d´efinie sur Ypar : u∼v⇐⇒ d′(u, v) = 0,
∀(u, v)∈Y2.
(a) Montrer que Rest une relation d’´equivalence sur Y.
(b) Montrer que d′induit une distance ˜ dsur le quotient ˜ E=Y/R.
3. Soit j:E→˜ El’application qui a x∈Eassocie la classe de la
suite constante de valeur ´egale `a x. Montrer que jest une injection
isom´etrique (i.e. ∀(x, y)∈E2,˜ d(j(x), j(y)) = d(x, y)).
4. Montrer que j(E) est dense dans ˜ E.
5. Montrer que ( ˜ E, ˜ d) est un espace m´etrique complet.
6. Appliquer cette m´ethode `a Qet montrer que l’on obtient R.
Exercice 17. Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que les assertions
suivantes sont ´equivalentes :
1. (i) (E, d) est un espace m´etrique complet.
2. (ii) Pour toute suite (Xn)n∈Nd´ecroissante pour l’inclusion de ferm´es
non vides de Etelle que la suite (δ(Xn))n∈Nconverge vers 0, l’inter-
section \
n∈N
Xnest un point, o`u δ(Xn) d´esigne le diam`etre de Xn.
Exercice 18. Soit (E, d) un espace m´etrique complet et (An)n∈Nune suite
d´ecroissante pour l’inclusion d’ouverts denses. Montrer que A=\
n∈N
Anest
une partie dense de E.
Exercice 19. On consid`ere l’espace Rnmuni des diff´erentes normes : kxkp=
Pi=n
i=0 xp i1/p pour p∈N∗et kxk∞= Max
1≤i≤n(|xi|). On rappelle que la norme
k.k2est la norme associ´ee au produit scalaire euclidien d´efini par ∀x, y ∈
Rn, < x, y >=Pi=n
i=0 xiyiet si A= (aij )∈Mn(R) est une matrice carr´ee
r´eelle, alors id´esigne le num´ero de ligne et jcelui de la colonne. Pour
A= (aij )∈Mn(R), on pose N1(A) := Maxj=1..n Pi=n
i=1 |aij |et N∞(A) :=
Maxi=1..n Pj=n
j=1 |aij |.
4

1. Soit A∈Mn(R). Montrer que l’application f:x7→ Ax est une appli-
cation lin´eaire continue et que sa norme vaut N1(A) ou N∞(A) suivant
que Rnest muni de la norme k.k1ou k.k∞.
2. En notant tAla matrice transpos´ee de A, montrer que les valeurs
propres de la matrice tAA sont toutes r´eelles positives et que cette
matrice est diagonalisable dans une base orthonorm´ee euclidienne. On
notera N2(A) la racine carr´ee de la plus grande valeur propre de tAA.
3. Montrer que l’application lin´eaire continue fde la question 1) a pour
norme N2(A) lorsque Rnest muni de la norme euclidienne k.k2.
Exercice 20. Soit Hl’espace vectoriel des suite r´eelles de carr´e sommable,
c’est-`a-dire :
(xn)n≥0∈ H si, et seulement si
+∞
X
n=0
x2
n<+∞.
1. Montrer que l’application : < x, y >=
+∞
X
n=0
xnyn,∀(x, y)∈ H2, d´efinie
un produit scalaire sur H.
2. Montrer que muni de ce produit scalaire, Hest un espace de Hilbert.
3. Soit Q={x= (xn)∈ H/∀n∈N,|xn| ≤ 1/n}. Montrer que Qest
complet.
5