Théorie des groupes

Théorie des groupes
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
1 Groupes et sous-groupes 3
1.1 Groupes .............................. 3
1.1.1 Définitions ......................... 3
1.1.2 Propriétés ......................... 3
1.2 Sous-groupes ........................... 4
1.2.1 Définitions ......................... 4
1.2.2 Propriétés ......................... 5
1.3 Applications ............................ 5
1.3.1 Opérations élémentaires sur les matrices ........ 5
1.3.2 Mots ............................ 6
1.3.3 Groupe diédral ...................... 6
1.3.4 Commutateurs, groupe dérivé .............. 7
2 Morphismes, isomorphismes 9
2.1 Définitions ............................. 9
2.2 Propriétés ............................. 10
3 Théorème de Lagrange 15
3.1 Groupes, relations d’équivalence, indice ............. 16
3.2 Théorèmes ............................. 17
4 Actions d’un groupe sur un ensemble 19
4.1 Actions de groupes ........................ 19
4.2 Opérations par translation .................... 22
4.3 Opérations par conjugaison ................... 22
5 Groupes symétriques 25
5.1 Groupe des permutations ..................... 25
5.2 Cycles et support ......................... 26
5.3 Générateurs et signature ..................... 28
5.4 Groupe alterné .......................... 29
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ii TABLE DES MATIÈRES
5.4.1 Définition ......................... 29
5.4.2 Sous-groupes ....................... 30
5.5 Simplicité ............................. 30
6 Groupes quotients 33
7 Formule des classes 37
8 Produits directs et semi-directs 41
8.1 Produit direct ........................... 41
8.1.1 Définitions ......................... 41
8.1.2 Propriétés ......................... 41
8.1.3 Applications ........................ 42
8.2 Produit semi-direct ........................ 43
8.2.1 Définitions ......................... 43
8.3 Suites exactes ........................... 46
9 Théorèmes de Sylow 47

Introduction
•Groupes en arithmétique (Galois) :
Pour P∈Z[X], on dit que Pest résoluble ssi on peut écrire ses racines
en fonction de ses coefficients.
ÀP, on associe son groupe de Galois G. La théorie de Galois repose
sur Présoluble ssi Grésoluble.
Or Gest résoluble si Card(G)624 ie Pest résoluble si deg P64.
•Groupes en géométrie (Klein) :
Une géométrie est composée d’un ensemble Sde points et d’un groupe
Gde transformations de S.
Dans une géométrie, on a des figures (parties de S) et des propriétés
stables par G.
•Groupes en analyse :
Théorème 0.1 Un système différentiel hamiltonien (pendule, toupie,
problème à trois corps,. . .) est intégrable ssi son groupe de Galois est
presque commutatif.
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