chap7_vecteurs_aleatoires

Lycée Sainte Geneviève BCPST 2
Chapitre 7 : Vecteurs aléatoires discrets
1 Lois associées à un vecteur aléatoire
1.1 Définitions
Définition 1. Soit (Ω,T)un espace probabilisable. On appelle vecteur aléatoire toute application
Z: Ω →Rnde la forme Z= (X1, . . . , Xn)où X1, . . . , Xnsont des variables aléatoires réelles. Plus précisé-
ment :
Z:Ω→Rn
ω→(X1(ω), . . . , Xn(ω))
Définition 2. Soit Z= (X1, . . . , Xn)un vecteur aléatoire réel. Si ses composantes sont des VA réelles
discrètes alors Zest dit discret. L’ensemble des valeurs prises par le vecteur est alors au plus dénombrable.
L’application :
πZ:ImX1×. . . ×ImXn→[0,1]
(x1, . . . , xn)→P((X1=x1)∩. . . ∩(Xn=xn))
est appelée loi du vecteur Zou encore loi conjointe des variables aléatoires X1, . . . , Xn.
Définition 3. Soit Z= (X1, . . . , Xn)un vecteur aléatoire réel. Pour tout i∈J1, nK, on appelle i-ème loi
marginale de Zla loi de Xi.
Proposition 1. Lois marginales en fonction de la loi conjointe
Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires réelles dicrètes. Si on note X(Ω) = {xi, i ∈I}et
Y(Ω) = {yj, j ∈J}avec Iet Jdes parties de N, on retrouve les lois marginales de Xet de Yde la façon
suivante :
∀i∈I, P (X=xi) = X
j∈J
P((X=xi)∩(Y=yj)) et ∀j∈J, P (Y=yj) = X
i∈I
P((X=xi)∩(Y=yj))
Définition 4. Pour tout couple (X, Y )de VA réelles discrètes, et pour tout γ∈Y(Ω) tel que P(Y=γ)6= 0,
on définit la loi conditionnelle de Xsachant (Y=γ)comme étant l’application
X(Ω) →[0,1]
α→P((X=α)∩(Y=γ))
P(Y=γ)
et on note P(Y=γ)(X=α) = P((X=α)∩(Y=γ))
P(Y=γ).
De même on définit, pour tout α∈X(Ω) tel que P(X=α)6= 0,la loi conditionnelle de Ysachant
(X=α), par
P(X=α)(Y=γ) = P((X=α)∩(Y=γ))
P(X=α)
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Proposition 2. Liens entre les différentes lois liées à un couple discret
Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires réelles dicrètes. On note X(Ω) = {xi, i ∈I}et Y(Ω) =
{yj, j ∈J}avec Iet Jdes parties de N. On suppose que pour tout (i, j)∈I×J,P(X=xi)6= 0 et
P(Y=yj)6= 0. On a, pour tout (i, j)∈I×J:
P((X=xi)∩(Y=yj)) = P(Y=yj)(X=xi)P(Y=yj) = P(X=xi)(Y=yj)P(X=xi)
et
P(X=xi) = X
k∈J
P(Y=yk)(X=xi)P(Y=yk)P(Y=yj) = X
k∈I
P(X=xk)(Y=yj)P(X=xk)
1.2 Formule de transfert
Théorème 1. Formule de transfert
Pour tout couple (X, Y )de VA réelles discrètes, telles que X(Ω) = {xi, i ∈I}et Y(Ω) = {yj, j ∈J}
avec Iet Jdes parties de Net pour toute fonction fdéfinie sur X(Ω) ×Y(Ω), la VA réelle discrète
Z=f(X, Y )admet une espérance si et seulement si la série double X
i,j
f(xi, yj)P((X=xi)∩(Y=yj))
converge absolument. Et dans ce cas
E(Z) = X
i∈IX j∈J
f(xi, yj)P((X=xi)∩(Y=yj)) = X
j∈JX i∈I
f(xi, yj)P((X=xi)∩(Y=yj))
2 Indépendance
Définition 5. Deux VA aléatoires réelles discrètes sur un même espace probabilisé (Ω,T, P )sont dites
indépendantes si :
∀(α, γ)∈ImX×ImY, P ((X=α)∩(Y=γ)) = P(X=α)P(Y=γ)
Proposition 3. Soient Xet Ydeux VA réelles discrètes. Si elles sont indépendantes alors pour toutes
parties A⊂X(Ω) et B⊂Y(Ω), les événements (X∈A)et (Y∈B)sont indépendants
Définition 6. Soient X1, . . . , Xndes VA réelles discrètes sur un même espace probabilisé (Ω,T, P ).
•Elles sont dites indépendantes deux à deux si pour tout (i, j)∈J1, nK2avec i6=j,Xiet Xjsont
indépendantes.
•Elles sont dites mutuellement indépendantes si pour tout (α1, . . . , αn)∈Im(X1)×. . .×Im(Xn):
P((X1=α1)∩. . . ∩(Xn=αn)) = P(X1=α1). . . P (Xn=αn)
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Théorème 2. Soient X1, . . . , Xndes VA réelles discrètes mutuellement indépendantes sur un même espace
probabilisé (Ω,T, P ). Pour toutes fonctions f1, . . . , fntelles que fkest définie sur Im(Xk)à valeurs dans R,
f1(X1), . . . , fn(Xn)sont des VA réelles discrètes mutuellement indépendantes.
Théorème 3. Lemme des coalitions
Soient X1, . . . , Xndes VA réelles discrètes mutuellement indépendantes sur un même espace probabilisé
(Ω,T, P ). Soient n1, . . . , nkdes entiers tels que
k
X
i=1
ni=net ϕ1, . . . , ϕkdes fonctions telles que ϕiest définie
sur Rnià valeurs réelles.
Alors les VA ϕ1(X1, . . . , Xn1), ϕ2(Xn1+1, . . . , Xn1+n2), . . . , ϕk(Xn1+...+nk−1+1,...Xn)sont mutuellement in-
dépendantes.
Définition 7. Si (Xn)n∈Nest une suite de VA réelles discrètes définies sur un même espace probabilisé
(Ω,T, P ). On dit que c’est une suite de VA mutuellement indépendantes si pour toute partie finie I⊂N, les
VA (Xn)n∈Isont mutuellement indépendantes.
Si, de plus les (Xn)n∈Nont toutes la même loi, on dit que qu’elles sont indépendantes et identiquement
distribuées (iid).
3 Sommes, minimum, maximum
Proposition 4. Pour (X, Y )un couple de VA réelles discrètes et gune fonction définie sur Im(X)×Im(Y)
à valeurs dans R, la loi de la VA réelle discrète G=g(X, Y )est donnée par
∀z∈G(Ω), P (G=z) = X
(α,γ)∈Im(X)×Im(Y)
g(α,γ)=z
P((X=α)∩(Y=γ))
Remarques
1. On utilise donc la loi conjointe du couple (X, Y ).
2. Si Xet Ysont indépendantes, on peut écrire
∀z∈G(Ω), P (G=z) = X
(α,γ)∈Im(X)×Im(Y)
g(α,γ)=z
P(X=α)P(Y=γ))
3.1 Sommes
Proposition 5. Convolution discrète
Soient Xet Ydeux VA réelles discrètes. Pour tout z∈Im(X+Y)on a
P(X+Y=z) = X
α∈Im(X)
P((X=α)∩(Y=z−α))
Si de plus Xet Ysont à valeurs dans Net indépendantes, alors pour tout k∈Im(X+Y):
P(X+Y=k) =
k
X
i=0
P(X=i)P(Y=k−i)
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Théorème 4. Stabilité des lois usuelles
On suppose que Xet Ysont deux VA réelles discrètes indépendantes.
•Loi binomiale : si X → B(n, p)et si Y → B(m, p)alors X+Y → B(n+m, p)
•Loi de Poisson : si X → P(λ)et si Y → P(µ)alors X+Y → P(λ+µ)
•Loi de pascal : si X → PA(r1, p)et si Y → PA(r2, p)alors X+Y → PA(r1+r2, p)
•Loi binomiale négative : X → BN (r1, p)et si Y → BN (r2, p)alors X+Y → BN (r1+r2, p)
Remarque On obtient les mêmes résultats pour une somme de nvariables aléatoires mutuellement
indépendantes.
Théorème 5.
•Si X1, . . . , Xnsont nvariables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toute une loi de bernoulli
de paramètre p, alors
X1+. . . +Xn→ B(n, p)
•Si X1, . . . , Xnsont nvariables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toute une loi géomé-
trique de paramètre p, alors
X1+. . . +Xn→ PA(n, p)
3.2 Min, max
Proposition 6. Soient Xet Ydeux VA réelles discrètes à valeurs dans Zdéfinies sur un même espace
probabilisé. On a
∀k∈Z,(min(X, Y )≥k) = (X≥k)∩(Y≥k)et (max(X, Y )≤k) = (X≤k)∩(Y≤k)
Si, de plus Xet Ysont indépendantes, on trouve :
P(min(X, Y )≥k) = P(X≥k)P(Y≥k)et P(max(X, Y )≤k) = P(X≤k)P(Y≤k)
Remarque Une fois effectués les calculs précédents on trouve la loi du min ou du max en utilisant :
P(min(X, Y ) = k) = P(min(X, Y )≥k)−P(min(X, Y )≥k+ 1)
Et pour la calcul de l’espérance, si la VA min ou max en admet une, on peut aussi utiliser la formule très
classique dite de "sommation des queues" qu’il est fortement conseillé de savoir redémontrer :
E(X) = X
k∈N∗
P(X≥k)
4 Covariance, corrélation
4.1 Covariance
Proposition 7. Soient Xet Ydes VA réelles discrètes sur un même espace probabilisé.
Si Xet Yadmettent des moments d’ordre 2 alors XY admet une espérance.
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Définition 8. Soient Xet Ydes VA réelles discrètes sur un même espace probabilisé admettant une
espérance. Si la VA (X−E(X))(Y−E(Y)) admet une espérance, on appelle covariance de Xet Yle réel :
Cov (X, Y ) = E((X−E(X))(Y−E(Y)))
Théorème 6. Koenig-Huygens
Soient Xet Ydes VA réelles discrètes sur un même espace probabilisé. On suppose que X, Y et XY admettent
une espérance (par exemple si Xet Yadmettent un moment d’ordre 2). Alors (X, Y )admet une covariance
et :
Cov (X, Y ) = E(XY )−E(X)E(Y)
Proposition 8. Propriétés de la covariance
Soient X, X0, Y, Y 0des VA admettant des moments d’ordre 2 et λun réel. On a
1. Symétrie : Cov (X, Y ) = Cov (Y, X)
2. Bilinéarité : Cov (λX +X0, Y ) = λCov (X, Y ) + Cov (X0, Y )
et Cov (X, λY +Y0) = λCov (X, Y ) + Cov (X, Y 0)
3. Positivité : Cov (X, X) = V(X)≥0
4. Cov (X, X)=0si et seulement si Xest presque sûrement constante.
Théorème 7. Variance d’une somme
•Si Xet Ysont des VA réelles discrètes admettant un moment d’ordre 2, alors X+Yadmet une
variance et :
V(X+Y) = V(X) + V(X) + 2Cov (X, Y )
•On peut généraliser à une famille de nVA réelles discrètes admettant un moment d’ordre 2,
X1, . . . , Xn. Alors
n
X
k=1
Xkadmet une variance et
V n
X
k=1
Xk!=
n
X
k=1
V(Xk)+2 X
1≤i<j≤n
Cov (Xi, Xj)
Théorème 8. Cauchy-Schwarz (HP mais très classique)
Si Xet Ysont des VA réelles discrètes admettant un moment d’ordre 2, on a
|Cov (X, Y )| ≤ σ(X)σ(Y)
Dans le cas où σ(X)6= 0, on a égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz si et seulement si Xet Ysont
presque sûrement affinement liées i.e. s’il existe (a, b)∈R2tels que P(Y=aX +b)=1.
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