Vecteurs aléatoires

Page 1 Matthias FEGYVERES – Stéphane PRETESEILLE  EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre
que la consultation individuelle et privée sont interdites.
Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
Méthodes
I. Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans
2
¡
§ Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans
2
¡
. Soient X et Y deux variables aléatoires
réelles discrètes. L’application
(
)
2
(X,Y):
X(),Y()
W®
www
¡
a est un vecteur aléatoire discret à
valeur dans
2
¡
(ou couple de variables aléatoires réelles discrètes).
§ Loi de probabilité ou loi conjointe de (X,Y). On appelle loi de probabilité (ou loi conjointe)
d’un couple de variables aléatoires réelles discrètes (X,Y), l’application
[ ] [ ]
(
)
(X,Y)()
p:
(i,j)pXiYj
W®
=Ç=
¡
a.
§ Loi marginale de X. Soient (X,Y) un couple de variables aléatoires réelles discrètes. On
appelle loi marginale de X, l’application
[ ] [ ]
( )
jY()
X()
p:
ipXiYj
ÎW
W®
=Ç=
å
¡
a.
§ Loi conditionnelle de X sachant [Y=j]. Soient (X,Y) un couple de variables aléatoires
réelles discrètes et
jY()
ÎW
tel que p(Y = j)
¹
0. On appelle loi conditionnelle de X sachant
[Y=j], l’application :
(
)
[ ] [ ]
( )
X()
p:
pXiYj
Xi
ip Yj p(Yj)
W®
=Ç=
==
==
¡
a.
§ Indépendance de deux variables aléatoires. Soient (X,Y) un couple de variables
aléatoires réelles discrètes. X et Y sont indépendantes si
[
]
[
]
(
)
(
)
(
)
(i,j)(X,Y)(),pXiYjpXipYj
"ÎW=Ç====.
II. Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans
n
¡
§ Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans
n
¡
. Soient n un entier naturel supérieur ou
égal à 2 et
(
)
i
1in
X
££
n variables aléatoires réelles discrètes.
L’application
( ) ( )
( )
n
i1in i
1in
X: X
££
££
W®
ww
¡
a est un vecteur aléatoire discret à valeurs dans
n
¡
.
§ Loi de probabilité de (Xi)1=i=n. On appelle loi du vecteur aléatoire discret
i1in
(X)
££
,
l’application
[ ]
i1in
n
i1inii
i1
(X)()
p:
(K)pXK
££
££
=
W®
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
¡
aI, également notée
(
)
i1in
i1in1122nn
(x)()
p:
(K)pXK,XK,...,XK
££
££
W®
===
¡
a.
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Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
§ Loi marginale de X1. Soit
i1in
(X)
££
un vecteur aléatoire discret à valeurs dans
n
¡
. On appelle
loi marginale de
1
X
, l’application
[ ]
j2jnj2jn
1
n
1jj
j2
(K)(X)()
X()
p:ipXiXK
££££ =
ÎW
W®
æö
æö
÷
ç÷
ç
éù
÷
÷
ç=Ç=ç
÷
÷
çç
ëû
÷
÷
÷
ç
÷
çç
èø
èø
å
¡
aI.
§ Indépendance. Soit
i1in
(X)
££
un vecteur aléatoire discret à valeurs dans
n
¡
. Les variables
aléatoires
i1in
(X)
££
sont mutuellement indépendantes (ou indépendantes) si :
[ ] ( ) ( )
nn
i1ini1inii1122nnii
i1i1
(K)(X)(),pXKpXK,XK,...,XKpXK
££££
==
æö
÷
ç÷"ÎW=======
ç÷
ç ÷
ç
èø
ÕI.
§ Soit
i1in
(X)
££
un vecteur aléatoire discret à valeurs dans
n
¡
. Si les variables aléatoires
i1in
(X)
££
sont indépendantes, alors :
-toute permutation de
i1in
(X)
££
est indépendante,
-pour tout
p1,n
Î
§¨
, les variables aléatoires
i1ip
(X)
££
sont indépendantes et :
-pour tout
p1,n1
Î-
§¨
, toute fonction de
i1ip
(X)
££
est indépendante de toute fonction de
ip1in
(X)
+££
.
Soit nn
(X)
Î
¥
une suite de variables aléatoires discrètes. Cette suite est une suite de variables
aléatoires indépendantes si toute sous-suite finie de cette suite est constituée de variables
aléatoires indépendantes.
III. Opérations sur les variables aléatoires
§ Linéarité de l'espérance. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes
admettant une espérance. On a : 2
(a,b),E (aXbY)aE (X)bE (Y)
"Î+=+¡.
§ Covariance. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes admettant une
espérance et telles que XY admette également une espérance. On appelle covariance de X et
Y et on note
cov(X,Y)
, le nombre :
(
)
cov(X,Y)E((XE(X)(YE(Y))
=--
soit :
cov(X,Y)E(XY)E(X) E(Y)
=-
.
En particulier, on a :
cov(X,X)V(X)
=
.
§ Propriétés de la covariance. Soient X, Y et Z trois variables aléatoires réelles discrètes
admettant une espérance et telles que XZ et YZ admettent également une espérance.
On a :
2
(a,b),cov(aXbY,Z)a cov(X,Z)b cov(Y,Z)
"Î+=+¡,
cov(X,Y)cov(Y,X)
=
,
cov(X,Y)V(X)V(Y)
£.
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Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
§ Variance d'une somme. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes admettant
une variance et telles que XY admette une espérance. On a :
V(XY)V(X)V(Y)2cov(X,Y)
+=++
.
Plus généralement, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et pour toute suite
i1in
(X)
££
de
variables aléatoires réelles discrètes admettant une espérance et telles que, pour tout couple
2
ij
(i,j)1,n,XX
Χ¨ admette une espérance, on a
nn
iiij
i1i11ijn
VXV(X)2cov(X,X)
==£££
æö
÷
ç÷=+
ç÷
ç÷ç
èø
ååå .
Soient I et J deux sous-ensembles de
¥
, X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes
telles que
{
}
i
X()x,iI
W=Î
et
{
}
j
Y()y,jJ
W=Î
, f une fonction définie sur
(X,Y) () et Zf(X,Y)
W=
. Z est une variable aléatoire discrète et, si la double somme
ijij
iI
jJ
f(x,y) p([Xx][Yy])
Î
Î
=Ç=
å
existe, alors Z admet une espérance et cette espérance
vaut : ijij
iI
jJ
E(Z)f(x,y) p([Xx][Yy])
Î
Î
==Ç=
å
.
En particulier, si E(XY) existe, on a : ijij
iI
jJ
E(XY)xy p([Xx][Yy])
Î
Î
==Ç=
å
.
Indépendance. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes. On a
alors :
-
cov(X,Y)0,
=
-
E(XY)E(X)E(Y)
=
(si X et Y admettent une espérance);
-
V(XY)V(X)V(Y)
+=+
(si X et Y admettent une variance).
Coefficient de corrélation linéaire. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes non
constantes ou quasi-constantes. On appelle coefficient de corrélation linéaire et on note
x,y
r
le
nombre : x,y xy
cov(X,Y)
r=ss .
On a : x,yx,y
1 et 1 et si et seulement si (a,b),YaXb.
*
r£r=$δ=+
¡¡ Y est alors dite
fonction quasi-affine de X.
Stabilité pour la somme des lois binomiale et de Poisson. Soient X et X' deux variables
aléatoires réelles discrètes indépendantes,
- si X suit B(n,p) et X' suit B(n',p), alors (X+X') suit B(n+n',p),
- si X suit P(
l
) et X' suit P(
'
l
), alors (X+X') suit P
(')
l+l
.
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