Corrigé - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne Année 2005-2006
Faculté de Mathématiques et d’Informatique
Licence mention Mathématiques -Deuxième année -Semestre 4
Probabilités élémentaires
Corrigé du devoir 2
Exercice 1 -Histoire de QCM Partie I
1) a) On suppose construit un espace probabilisé ,A,Padapté à l’expérience étudiée.
Il est clair que Nest à valeurs dans Nn,−p, et que PNn1
3et PN−p2 3.
b) On a ENnPNn−pPN−pn−2p
3.Ainsi,EN0sietseulementsin2p.
2) On peut considérer que le candidat répète n4 fois la même expérience "répondre au hasard à une
question" au cours de laquelle l’événement A"répondre correctement" a la probabilité p1
3de se réaliser.
Ainsi, la variable aléatoire Xégale au nombre de réponse correctes, c’est-à-dire au nombre de réalisations de
A, suit la loi Binomiale Bn,pB4, 1
3.
On a alors PX3C4
31
3
32
3
1≃0,0988.
Partie II
1) Réponse 3 : 110. En effet, il y a C10
3120 paquets différents, dont C5
310 paquets ne contenant que
des jetons ayant un numéro impair, et donc 120 −10 110 paquets contenant au moins un jeton ayant un
numéro pair.
2) Réponse 2 : 0,25. En effet,
0,65 1−PABPABPAPB−PA∩B0,9 −PA∩B,d’oùPA∩B0,25.
3) Réponse 1 : 2
3.Eneffet,PB/APABPB∩A
PA, et donc PAPB∩A
PAB
1
6
1
4
2
3.
4) Réponse 2 : 3
2.Eneffet,EX∑xipi2, EX2∑xi
2pi11
2,
VarXEX2−EX23
2, et donc XVarX3 2.
Exercice 2 -Problème de pannes (première partie)
Première partie :cas discret.
A.Loidesurvieetcoefficientd’avarie.
1) Pour tout entier naturel nnon nul, on a Tn−1TnTn, cette réunion étant disjointe,
donc PTn−1PTnPTn,etPTnPTn−1−PTnDn−1−Dn.
Comme nP T n/Tn−1PTn∩Tn−1
PTn−1PTn PTn−1,onendéduitque
nDn−1−Dn
Dn−1.
3

2) On suppose que pest un réel de l’intervalle 0,1et que Tsuit la loi géométrique de paramètre p.
a) Rappelons le résultat suivant :
pour tout réel xde −1,1,∑
n1
nxn−1∑
n1
xn′∑
n1
xn
′
x
1−x
′1
1−x2.
Comme 1 −pest dans 0,1⊂−1,1,ona
ET∑
n1
nPTn∑
n1
np1−pn−1p∑
n1
n1−pn−1p1
1−1−p21
p.
b) Pour tout entier naturel n,ona
DnPTnP
kn1
Tk∑
kn1
p1−pk−1p1−pn1
1−1−p1−pn
c) De 1) et 2)b), on déduit que pour tout entier naturel nnon nul,
nDn−1−Dn
Dn−11−pn−1−1−pn
1−pn−11−pn−11−1−p
1−pn−1p.
3) Réciproquement, on suppose dans cette question qu’il existe un réel strictement positif tel que pour
tout entier naturel nnon nul, n.
a) De 1), on déduit que pour tout entier naturel nnon nul,
nDn−1−Dn
Dn−1, et donc Dn−1Dn−1−Dn, c’est-à-dire Dn1−Dn−1.
b) Ainsi, la suite Dn est géométrique, de raison r1−, et de premier terme
D0PT01. On en déduit que pour tout entier naturel n,
DnD0rn11−n1−n.
c) De 1) on déduit alors que pour tout entier naturel nnon nul,
PTnDn−1−Dn1−n−1−1−n1−n−11−1− 1−n−1, c’est-à-dire
que Tsuit la loi géométrique de paramètre .
B.Nombre moyen de pannes successives dans un cas particulier.
1) a) On a ET1PT12PT2p21−p2−p.
b) Remarquons d’abord pour tout entier naturel nnon nul,
rnERn0PRn01PRn1PRn1.Ainsi,Rnsuit la loi de Bernoulli de paramètre rn.
On a ainsi r1PR11p, probabilité que le composant tombe en panne à l’instant 1, et donc qit
une durée de vie de 1.
De plus, utilisant la formule des probabilités complètes avec le système complet d’événements (de
probabilité non nulle) R10,R11,ona
r2PR21PR10P R21/R10PR11P R21/R11 .
Or PR21/R101, car sachant que le composant ne tombe pas en panne à l’instant 1, il tombe en
panne à l’instant 2 de façon certaine car la durée de vie d’un composant est 1 ou 2 ; de façon analogue
PR21/R11p, car sachant que le composant tombe en panne à l’instant 1, il est instantanément
remplacé et la probabilité que ce nouveau composant tombe en panne à l’instant 2 est égale à la probabilité
que sa durée de vie soit 1.
On en déduit que r21−p1ppp2−p1.
2) Soit nun entier naturel non nul.
a) Utilisant la formule des probabilités complètes avec le système complet d’événements (de probabilité
non nulle) Rn10,Rn11,ona
PRn21PRn10P Rn21/Rn10PRn11P Rn21/Rn11
1−PRn11 1PRn11pp−1PRn111.
De façon analogue, on obtient PRn11p−1PRn11. On en déduit que
PRn21pPRn11−PRn111pPRn11−p−1PRn111
pPRn111−pPRn1.
b) On a déjà remarqué que pour tout entier naturel nnon nul, rnPRn1. On en déduit donc que
rn2prn11−prn.
4

3) a) La suite rnn≥1est donc récurrente linéaire d’ordre 2.
L’équation caractéristique associée est ECr2−pr p−10, équation polynomiale de degré 2.
Le discriminant du polynome r2−pr p−1estΔ−p2−41p−1p2−4p4p−220,
donc ECadmet les deux solutions réelles r1p−p−22
21p−|p−2|
21pp−2
2p−1et
r2pp−22
21p|p−2|
21p2−p
21.
Ainsi, il existe deux constantes Aet Btelles que pour tout entier naturel nnon nul,
rnAp−1nB1nBAp−1n.
D’après 1)b), on a r1BAp−1pet r2BAp−12p2−p1. En calculant r2−r1,
on trouve Ap−1p−2p2−2p1p−12,d’oùAp−1
p−2.Der1on déduit alors B1
2−p.
Ainsi, pour tout entier naturel nnon nul, rn1
2−pAp−1n1 2−pp−1
p−2p−1n
b) Comme pvérifie 0 p1, on a −1p−10 et donc n→ lim p−1n0. On en déduit que
n→
lim rn1
2−p1
ET.
4) Soit nun entier naturel non nul.
A chaque instant icompris entre 1 et n, la variable aléatoire Riindique s’il y a une panne (Ri1) ou
pas (Ri0). Il est donc clair que le nombre de pannes survenues jusqu’à l’instant ninclus est donné par
Un∑
i1
nRi.
On en déduit que EUnE∑
i1
nRi∑
i1
nERi(par linéarité de l’espérance mathématique).
Ainsi, on a EUn∑
i1
nri∑
i1
n1
2−pp−1 p−2p−1in 2−pp−1 p−2p−11−p−1n
1−p−1
et donc EUnn
2−p−p−12
2−p21−p−1n.
Comme n→
lim p−1n0, on a n→ lim p−12
2−p21−p−1np−12 2−p2.Deplus,n→
lim n
2−p.
On en déduit que EUn
n
2−p.
5