1. De quoi s`agit-il ? 2. Lignes trigonométriques.

CLASSE DE TROISIÈME ACTIVITÉS GEOMÉTRIQUES.
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Trigonométrie dans le triangle rectangle. 1
TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE.
1. De quoi s’agit-il ?
1.1 Situation :
On doit obligatoirement se trouver dans un triangle rectangle.
1.2 De quoi çà parle ?
La trigonométrie dans le triangle rectangle, ce sont les relations qui existent entre les longueurs des côtés du
triangle et les angles de ce triangle.
Ces relations s’appellent souvent les lignes trigonométriques.
2. Lignes trigonométriques.
2.1 Le cosinus. (vu en 4ème)
Rappel :
1. Définition :
Dans le triangle rectangle ABC, on appelle cosinus de l’angle
l
B le
nombre donné par :
l
l
coté adjacent à B
cos hypoténuse
BA
BBC
==
2. On retiendra que :
•
l
BA = BC×cosB
• Un côté de l’angle droit est égal au produit de l’hypoténuse par le cosinus de l’angle
adjacent.
• Dans un triangle rectangle, on aura toujours :
l
0<cosB<1
On donne un triangle ABC rectangle en C, tel que AC = 3 cm et
n
BAC = 50°
Calculer AB.
EXERCICE 1
 A chercher.
A
BC
H
C
AB

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2.2 Le sinus.
1. Définition :
Dans le triangle rectangle ABC, on appelle sinus de l’angle
l
B, le nombre
donné par le rapport :
l
l
cot
sin
A
C é opposé à B
BBC hypoténuse ==
2. On retiendra que :
•
l
AC = BC×sinB
• Un côté de l’angle droit est égal au produit de
l’hypoténuse par le sinus de l’angle opposé à ce côté.
• Dans un triangle rectangle, on aura toujours :
l
0<sinB<1
On donne le triangle ABC rectangle en A, tel que BC = 5 cm et AC = 4 cm
Calculer le sinus de l’angle
l
C.
2.3 La tangente.
1. Définition :
Dans le triangle ABC, on appelle tangente de l’angle
l
Ble nombre donné par
le rapport :
l
l
l
cot
tan cot
A
C é opposé à B
BAB é adjacent à B ==
2. On retiendra que :
•
l
AC = AB×tanB
• Un côté de l’angle droit est égal au produit de la tangente de l’angle qui lui est opposé par l’autre
côté de l’angle droit.
• Dans le triangle rectangle, la tangente d’un angle est un nombre positif et qui peut-être plus
grand que 1. (par exemple : tan 80° = 5,67)
EXERCICE 2
 A chercher.
A
BC
H
A
BC
H

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On donne le triangle ABC rectangle en B, tel que : BC = 4 et tan
n
ACB = 0,839
Calculer AB
Calculer ensuite AC. Quelle vérification peut-on faire ?
3. Relations fondamentales.
3.1 Relation 22
sin x+cos x =1
• Soit le triangle CAB rectangle en C.
• Écrire la relation de Pythagore dans ce triangle.
• Montrer que 22
1
AC CB
AB AB
⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
• On pose
n
CAB x=. Interpréter le résultat précédent à l’aide de sin
x
et de cos
x
EXERCICE 3
 A chercher.
A
B
C
H
C
AB

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4
3.2 Relation sinx
tanx = cosx
• Dans le triangle CAB rectangle en C, compléter les relations
suivantes :
n
sinCAB =
n
cosCAB =
n
tanCAB =
• Quel rapprochement pouvez-vous faire entre ces trois relations ?
On considère le triangle équilatéral ABC de côté a.
Soit AH la hauteur issue de A.
1. Dans le triangle rectangle AHC, calculer :
 HC =
 AH
n
cos ACH =
n
sin ACH =
n
tan ACH =
EXERCICE 4
 A chercher.
C
AB

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2. Dans le triangle rectangle AHC, calculer :
n
sinCAH =
n
cosCAH =
n
tanCAH =
3. Dans le triangle rectangle AHC, quelle est la mesure :
 De l’angle
n
ACH ?
 De l’angle
n
CAH ?
 Quelle relation existe-t-il entre ces deux angles ?
 Si nous admettons que les résultats précédents sont généralisables, quelle conclusion
pouvons-nous tirer concernant le sinus et le cosinus de deux angles complémentaires ?
On considère le carré ABCD de côté a, et sa diagonale [BD] .
 Calculer BD.
 Dans le triangle rectangle ABD, calculer
n
sin ABD .
EXERCICE 5
 A rédiger.