EXERCICES MPSI A 8 A. APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERRÉOL

EXERCICES MPSI A 8 A. APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERRÉOL 13/14
1. : (Petites mines 96) Soit f∈ LK
4
définie par f(−→
e
1
) = f(−→ e
2
) = −→ e
1
−−→ e
2
,f(−→ e
3
) = −f(−→ e
4
) = −→ e
3
−−→ e
4
;
((−→ e
1
,−→ e
2
,−→ e
3
,−→ e
4
)est la base canonique de K
4
).
(a) Déterminer f
x
y
z
t
, f
2
(−→ e
1
), f
2
(−→ e
2
),f
2
(−→ e
3
), f
2
(−→ e
4
)et f
2
x
y
z
t
.
(b) Remplir le tableau :
base représentation paramétrique système d’éq. cartésiennes
ker f(−→ e
1
−−→ e
2
, ...............)
Im f
.
ker f
2
.
.
.
Im f
2
.
.
(c) Vérifier que que dim Ker f+ dim Im f= dim K
4
,mais que par contre Ker f+ Im f=K
4
(attention au faux
théorème du rang !), tandis que K
4
= Ker f
2
⊕Im f
2
.
2. Soit f∈ L(E,F),Fune famille finie d’éléments de E.
(a) Montrer que si Fest liée, f(F)est liée. Contraposée de cette implication ?
(b) Montrer que si Fest génératrice ( de E),f(F)est génératrice de Im f.
3. : Soit f∈ L(E,F); avec E,Fespaces vectoriels sur K;Ede dimension n, Fde dimension p.
Dire pour chacune des phrases suivantes, si elle caractérise l’injectivité, la surjectivité ou la bijectivité de f.
(a) L’image de toute famille libre est libre.
(b) Im f=F.
(c) L’image d’une base de Eest génératrice de F.
(d) rg f=n.
(e) L’image d’une base de Eest libre.
(f) rg f=p
(g) L’image d’une base de Eest une base de F.
(h) L’image de toute famille génératrice de Eest génératrice de F.
4. Soient f∈ L(E,F)et g∈ L(F,G)où E,F,Gsont trois K-espaces vectoriels.
(a) Montrer que g◦f= 0 si et seulement si Im f⊂Ker g.
(b) Comparer vis-à-vis de l’inclusion Ker (g◦f)et Ker f, Im (g◦f)et Im g.
5. Soient f, g ∈ L(E,F);
(a) Montrer que Im (f+g)⊂Im (f) + Im (g).
(b) Donner un exemple très simple où Im (f+g)= Im (f) + Im (g).
6. :
(a) Donner, si c’est possible, un exemple d’endomorphisme de K
2
1

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i. dont le noyau est réduit à {(0,0)}.
ii. dont le noyau et l’image sont non nuls et distincts.
iii. dont le noyau est égal à l’image.
iv. dont le noyau est égal à K
2
.
(b) Mêmes questions dans K
3
,puis dans K
n
.
7. :
(a) Soit D:
K[X]→K[X]
P→ P
′
,
i. Montrer que Dest un endomorphisme de K[X]surjectif mais pas injectif. Est-ce contradictoire ?
ii. Trouver un endomorphisme de K[X]injectif mais pas surjectif.
(b) Soit D
n
:
K
n
[X]→K
n
[X]
P→ P
′
.Vérifier qu’on a bien :
rg D
n
+ dim Ker D
n
= dim K
n
[X]
8. : Soit Tun réel fixé, et E=C
∞
(R,R)∩f∈R
R
/ f est périodique de période T.
(a) Vérifier que si f∈E, alors f
′
également.
Soit Dl’endomorphisme :
E→E
f→ f
′
(b) Déterminer Ker D.
(c) Soit g∈E;montrer que g∈Im Dsi et seulement si 
T
0
g(x)dx = 0.
(d) Montrer que E= Ker D⊕Im D.
9. : Caractérisations des homothéties
(a) Démontrer que les homothéties sont les seuls endomorphismes fde Etels que :
∀−→ x∈E∃α
−→
x
∈Kf(−→ x) = α
−→
x
−→
x
Indication : démontrer que α
−→
x
=α
−→
y
,d’abord dans le cas (−→ x , −→ y)libre, puis dans le cas (−→ x , −→ y)lié avec −→ xet −→ y
non nuls.
(b) En déduire que les homothéties sont les seuls endomorphismes de Equi commutent avec tout autre endomorphisme
(on pourra considérer une projection sur Vect (−→ x)).
(c) ** Généralisation de (a).
Montrer que si f, g ∈ L(E,F)vérifient ∀−→ x∈E∃α(−→ x)∈Kf(−→ x) = α(−→ x)g(−→ x), alors ∃α∈Kf=αg.
10. : Soit Pun plan vectoriel ; on va montrer que si fest un endomorphisme de Pqui n’est pas une homothétie, tout
endomorphisme qui commute avec fest de la forme αid
E
+βf.
(a) En utilisant le 9. (a) montrer qu’il existe −→ x
0
de Ptel que B= (−→ x
0
, f (−→ x
0
)) soit une base de P.
(b) Soit gun endomorphisme commutant avec f; exprimer g(−→ x
0
)dans B, puis g(f(−→ x
0
)) et en déduire que gest de
la forme αid
E
+βf.
(c) En déduire que id
E
, f, f
2
est liée.
Attention, ceci n’est valable qu’en dimension 2 ; on peut trouver en dimension supérieure des endomorphismes
fqui ne sont pas des homothéties tels qu’il existe un endomorphisme commutant avec fet qui n’est pas un
polynôme en f(cf. exercice 4. (c) sur les matrices).
11. : Début ENSI 1975
On donne la matrice A=
1 2 3
2 4 5
3 5 10
4 7 12
.
Soit f
A
l’application linéaire de K
3
dans K
4
dont la matrice associée, relativement aux bases canoniques −→ i , −→ j , −→ kde
K
3
et −→ i
′
,−→ j
′
,−→ k
′
,−→ l
′
de K
4
est A.
2

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(a) Déterminer Ker f
A
et en déduire rg f
A
.
(b) Déterminer une base de Im f
A
dont les vecteurs n’ont que des coordonnées égales à 0ou à 1.Soit −→ I , −→ J , −→ K
cette base.
(c) Que dire de la restriction gde f
A
àIm f
A
(pour l’ensemble d’arrivée) ?
Déterminer la matrice de grelativement à la base canonique −→ i , −→ j , −→ kde K
3
et à la base −→ I , −→ J , −→ Kde Im f
A
.
12. Soit F=
→
x
1
, ...,
→
x
p
une famille de pvecteurs de E,et f:
K
p
→E
λ
1
.
.
.
λ
p
→
p
k=1
λ
k
→
x
k
(a) Vérifier que fest linéaire.
(b) Montrer que Fest libre ssi fest injective, et que Fest génératrice ssi fest surjective.
(c) Soit Nl’ensemble des (λ
1
, ..., λ
p
)∈K
p
tels que
p
k=1
λ
k
→
x
k
=
→
0.Pourquoi est-ce un sev de E?
(d) Si rg(F) = p, que dire de N?
(e) Déterminer dim Nen fonction de pet rg (F).
(f) Si rg(F) = p−1,montrer que les éléments de Nsont proportionnels entre eux.
(g) Déterminer une base de Nquand
→
x
1
=
1
−1
2
1
;
→
x
2
=
2
1
−3
1
;
→
x
3
=
1
2
1
0
;
→
x
4
=
1
−1
−1
1
;
→
x
5
=
3
3
1
1
13. : Utilisation des applications linéaires dans les équations différentielles linéaires.
Soient a, b ∈Ravec b= 0 et P
0
∈R
n
[X].En étudiant l’application linéaire 
R
n
[X]→R
n
[X]
P→ P
′′
+aP
′
+bP ,montrer que
l’équation différentielle linéaire y
′′
+ay
′
+by =P
0
possède une unique solution polynomiale de degré inférieur ou égal
àn.
14. : Donner la matrice relativement aux bases canoniques des applications linéaires suivantes :
(a) Symétrie sde K
4
de base Vect 
→
e
1
+
→
e
2
,
→
e
3
+
→
e
4
et de direction Vect 
→
e
1
−
→
e
2
,
→
e
3
−
→
e
4
(
→
e
1
,
→
e
2
,
→
e
3
,
→
e
4
est la base canonique de K
4
.
(b) Application D:K
n
[X]→K
n−1
[X], P → P
′
(c) Application f:K
n
[X]→K
n+1
[X], P (X)→ X.P (X)
(d) Application f:K
n
[X]→K
n
[X], P (X)→ P(X+ 1)
(e) Application f:K
n
[X]→K
2n
[X], P (X)→ PX
2
(f) Application T:M
2
(K)→M
2
(K), M →
t
M; * généraliser à M
n
(K).
(g) Application f:M
2
(K)→M
2
(K), M → AM (Amatrice carrée fixée) et application g:M
2
(K)→M
2
(K), M →
MA; * généraliser à M
n
(K).
(h) Application f:K
2
[X]×K
2
[X]→K
2
[X],(P, Q)→ P−Q.
15. : Soit B=−→ i , −→ june base d’un espace vectoriel de dimension 2.Les matrices suivantes sont les matrices d’endomorphismes
f
k
de E,relativement à B.
On demande dans chacun des cas :
- de faire une figure avec −→ i , −→ jorthonormée, f
k
−→
i, f
k
−→
j
- de donner les expressions analytiques définissant f
k
- de construire l’image d’un vecteur −→ uquelconque
- de reconnaître f
k
géométriquement.
3

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(a) M
1
=λ0
0λ
(b) M
2
=0 1
1 0 
(c) M
3
=0−1
1 0 
(d) M
4
=cos θ−sin θ
sin θcos θ
(e) M
5
=1−1
1 1 
(f) M
6
=1 0
0 0 
(g) M
7
=1 1
1 1 
16. (extrait de ENSI oral) :
Pour quelles valeurs de nl’application f:P→ (2X+ 1) P−X
2
−1P
′
définit-elle un endomorphisme de K
n
[X]?
En donner la matrice canonique dans ce cas.
17. Soit E=K
K
∗
et P={f∈E/ f est paire},I={f∈E/ f est impaire}; montrer que E=P⊕Iet que Pet Isont
isomorphes.
18. * : Suites exactes et nouvelle démonstration de la relation de Grassmann.
Soit la suite d’applications linéaires : E
1
f
1
→E
2
f
2
→ ···
f
n−1
→E
n−1
f
n
→E
n
On dit que cette suite est exacte si Im f
i
= Ker f
i+1
pour i= 1, ..., n −2.
(a) Soit f∈ L(E,F).Prouver que
i. fest injective si et seulement si 
→
0→E
f
→Fest exacte.
(remarque : il n’y a qu’une possibilité pour la première application)
ii. fest surjective si et seulement si E
f
→F→
→
0est exacte (remarque similaire).
(b) On suppose que 
→
0→E
1
f
1
→E
2
f
2
→ ···
f
n−1
→E
n−1
f
n−1
→E
n
→
→
0est exacte, et les espaces E
k
de dimension
finie. Montrer :
n
k=1
(−1)
k
dim E
k
= 0
(c) Fet Gsont deux sous-espaces de E.Soit
ϕ:
F∩G→F×G
→
x→ 
→
x,
→
xet ψ:
F×G→F+G
(x, y)→ x−y
montrer que la suite 
→
0→F∩G
ϕ
→F×G
ψ
→F+G→
→
0est exacte.
(d) En déduire la relation de Grassmann.
19. : Soient Eet Fdeux K−espaces vectoriels et f∈ L(E,F);E
′
est un sous-espace vectoriel de Eet F
′
un sous-espace
vectoriel de F.On demande de prouver les relations suivantes :
(a) dim f(E
′
) = dim E
′
−dim (E
′
∩Ker f)(en particulier dim f(E
′
)dim E
′
.)
(b) dim f
−1
(F
′
) = dim (Ker f) + dim (F
′
∩Im f).
(c) codim
E
f
−1
(F
′
)= codim
F
(F
′
)−codim
F
(F
′
+ Im f).
20. : Soit f∈ L(E)bijective et Fun sous-espace-vectoriel de Estable par f, c’est à dire que f(F)⊂F.
(a) Montrer que si Fest de dimension finie, alors f(F) = F.
4

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(b) * Montrer que ceci est faux en dimension infinie : considérer fde (K[X])
2
dans lui-même qui à (P, Q)associe
XP, P (0) + Q−Q(0)
X,et F=K[X]×{0}.
21. : Rang d’une somme.
Soient f, g ∈ L(E,F)(en dimension finie). Montrer que :
|rg f−rg g|rg (f+g)rg f+ rg g
donner un exemple pour chaque cas d’égalité.
22. : Rang d’une composée.
Soient f∈ L(E,F)et g∈ L(F,G)(en dimension finie) ;
(a) i. Montrer
A. dim (Im (g◦f)) dim (Im f)
B. dim (Im (g◦f)) dim (Im g)
C. dim (ker (g◦f)) dim (ker f) + dim (ker g)(utiliser le théorème du rang pour la restriction hde fà
ker (g◦f))
ii. En déduire les inégalités dites ”de Sylvester” :
rg f+ rg g−dim Frg (g◦f)min (rg f, rg g)
Étudier les cas d’égalité.
iii. * Montrer plus précisément en utilisant la restriction kde gàIm fque
rg(g◦f) = rg(f)−dim ker g∩Im f
=rg(f) + rg(g)−dim F+ (dim ker g−dim ker g∩Im f)
=rg(g)−codim
F
(ker g+ Im f)
23. : Composée bijective d’endomorphismes.
(a) Montrer que pour des endomorphismes en dimension finie, si g◦fest bijectif, alors fet gle sont.
deux méthodes : soit utiliser la relation : rg (g◦f)min (rg f, rg g),montrée à l’exercice précédent, soit montrer
que fest injective et conclure.
(b) Soit f:
K[X]→K[X]
P→ XP ,trouver g∈ L(K[X]) tel que g◦f= id
K[X]
,et montrer que ni f, ni gne sont bijectifs
(le (a) est donc faux en dimension infinie).
24. * : Noyau et image d’une composée.
Soient f∈ L(E,F)et g∈ L(F,G).
(a) Montrer que si F
′
est un sous-espace vectoriel de F,
ff
−1
(F
′
)=F
′
∩Im f
g
−1
(g(F
′
)) = F
′
+ Ker g
(b) En déduire que
Ker g∩Im f=f(Ker (g◦f)) et Ker g+ Im f=g
−1
(Im (g◦f))
Ker (g◦f) = f
−1
(Ker g∩Im f)et Im (g◦f) = g(Ker g+ Im f)
(c) En déduire que
Ker (g◦f) = Ker f⇔Ker g∩Im f={−→ 0}
Im (g◦f) = Im g⇔F= Ker g+ Im f
5