Banque PT 1999 : Mathématiques II-B

BanquePT1999 :MathématiquesII-B
1.Premièrepartie
1.1.)
E1tE2=0
@
010
000
000
1
A
d’où
F=0
@
1 2®0
0 1 0
0 0 1
1
AettF=0 @
1 0 0
2®1 0
0 0 1
1
AG
f(~e3)=~e3doncladroitevectorielledebase~e3eststableparf.
f(~e1)=~e1etf(~e2)=2®~e1+~e2,vecteursquiconstituentunefamillegénératrice del’imagedu plan debase
(~e1;~e2),sontdesvecteursdeceplan.Parsuite, leplanvectorieldebase(~e1;~e2)eststableparf.
1.2.)
GF=0
@
1 2®0
2®4®2+1 0
0 0 1
1
A
det(GF¡¸I3)=(1¡¸)¡(1¡¸)¡4®2+1¡¸¢¡4®2¢=(1¡¸)[¸2¡2(2®2+1)¸+1]
Lediscriminantdu polynôme entre crochetsest:
¢0=4¡(2®2+1)2¡1¢=16®2(®2+1)>0
L’ensembledesvaleurspropres(réelles)deg±festdoncf2®2+1+2®p®2+1;2®2+1¡2®p®2+1;1g.
Leproduitdes2valeurspropresquinesontpaségalesà1vaut1commeproduitdeszérosd’un polynômedu
second degré,etsontdoncdemêmesigne.Demêmeleursomme eststrictementpositive.Doncles3valeurs
propres sontstrictementpositiveseton peutdonclesnuméroterdesorteque¹1>¹2.Deplus¹1¹2=1=¹3.
1.3.)
a)
~u1=a~e1+~e2et~u2=b~e1+~e2,donc~u1¢~u2=0sietseulementsiab+1=0.
f(~u1)=af(~e1)+f(~e2)=(a+2®)~e1+~e2
f(~u2)=bf(~e1)+f(~e2)=(b+2®)~e1+~e2
f(~u1)¢f(~u2)=0sietseulementsiab+2®(a+b)+4®2+1=0
Donc~u1¢~u2=0etf(~u1)¢f(~u2)=0sietseulementsi :
½ab+1=0
ab+2®(a+b)+4®2+1=0
ce quiéquivautà:½ab=¡1
(a+b)=¡2®
Donc~u1¢~u2=0etf(~u1)¢f(~u2)=0sietseulementsiaetbsontracinesdel’équationx2+2®x¡1=0,soit:
fa;bg=f¡®+p®2+1;¡®¡p®2+1g
b)
Si~u3=~e3,~u1=a~e1+~e2et~u2=b~e1+~e2,alors~u3estorthogonalà~u1et~u2.Pourque~u1;~u2;~u3soitunebase
orthogonale, il fautetil su¢td’avoir:
~u1¢~u2=0
Demêmef(~ui)1·i·3estunebaseorthogonalesietseulementsi :
f(~u1)¢f(~u2)=0
Parsuitelesdeuxpropriétés sontacquises simultanémentsietseulementsiaetbprennentlesvaleurstrouvées
danslaquestion précédente.

NousavonsalorsledéterminantdesvecteursdelabaseBdanslabase canoniqueBc:
detBc(B)=¯¯¯¯¯¯
ab0
1 1 0
0 0 1
¯¯¯¯¯¯=a¡b
DoncBseradesensdirectsietseulementsia>b,doncsietseulementsi
a=¡®+p®2+1etb=¡®¡p®2+1
1.4.)
Onvéri…equeu1=¡¡®+p®2+1¢¡! e1+¡! e2véri…eg±f(u1)=¡2®2+1+2®p®2+1¢u1
u2=¡¡®¡p®2+1¢¡! e1+¡! e2véri…eg±f(u2)=¡2®2+1¡2®p®2+1¢u2etg±f(u3)=u3
(ui)3
i=1estunebaseorthogonaledevecteurspropresdeg±f
1.5.)
Avec lesconventionsdel’énoncé :
Rµ=0
@
cosµ¡sinµ0
sinµcosµ0
0 0 1
1
A
S=0
@
cosµ2®cosµ+sinµ0
¡sinµ¡2®sinµ+cosµ0
0 0 1
1
A
Sestsymétriquesietseulementsi2®cosµ+sinµ=¡sinµc’est-à-diresietseulementsisinµ=¡®cosµ.Alors
S=0
@
cosµ®cosµ0
®cosµ¡2®2+1¢cosµ0
0 0 1
1
A
Lepolynôme caractéristiqueassocieàsest:
(1¡¸)(¸2¡2(®2+1)cosµ¸+(®2+1)cosµ)=0
Etudionsl’équation¸2¡2(®2+1)cosµ¸+(®2+1)cosµ=0.
¢0=(®2+1)2cos2µ¡(®2+1)cos2µ=®2(®2+1)cos2µ>0doncil existedeuxracinesréelles.
Lasomme etleproduitdesvaleurspropresautresque1ontlesignedecosµ.Pourqu’elles soientpositives, il
fautchoisirµdans]¡¼
2;¼ 2[,soit:
µ=-arctan(®)
2.Deuxièmepartie
2.1.)
¡¡!
Op0=f(¡¡! Om0),¡¡¡¡! Omn+1=g(¡¡! Opn)et¡¡¡¡! Opn+1=f(¡¡¡¡! Omn+1),avec :
F=0
@
1 2 0
0 1 0
0 0 1
1
AetGF=0 @
120
250
001
1
A
Soitavec unenotationmatricielle:
Mn+1=GPn;Pn+1=FMn+1;Mn+1=GFMn
:Lescalculdelapremièrepartiedonnent:p2:¹1=3+2p2;¹2=3¡2p2et¹3=1.
~u1=(p2¡1)~e1+~e2estvecteurpropredeg±fdevaleurpropre¹1.~u2=(¡p2¡1)~e1+~e2estceluidevaleur
propre¹2.~u3=~e3estceluidevaleurpropre¹3=1.
a)
lesdeuxsuites(zn)n2Net(~zn)n2Nsontconstantes,tousleurstermes sontégauxàz0.
2

b)
Pn=FMndoncpourtoutentiern¸0,~yn=yn.
Mn+1=GPndoncpourtoutentiern¸0,xn+1=~xn.
Parsuite(xn)n2Nconvergesietseulementsi(~xn)n2Nconverge et(yn)n2Nconvergesietseulementsi(~yn)n2N
converge.
2.2.)
a)
Pourtoutentiernatureln,Mn+1=GFMndoncsi(Mn)n2NconvergeversMonauraM=GFM.Donc~ Om
estinvariantparg±f.
b)
.EnrésolvantlesystèmeprécédentM=GFM,ontrouvequeMestnécessairementlamatrice0
@
0
0
z0
1
A.
lepointmestlaprojectionorthogonaledem0surOz
2.3.)
M0
n=Q¡1Mn
a)
M0
nreprésentelamatrice de~
OmndanslabaseB.
b)
Comme~ Omn+1=g±f(~ Omn),
M0
n+1=MB(g±f)M0 n
c’est-à-dire:
M0
n+1=0
@
3+2p200
0 3 ¡2p2 0
0 0 1
1
AM0
n
Parsuitex0
n+1=(3+2p2)x0 n,y0 n+1=(3¡2p2)y0 n,etz0 n+1=z0 n,etdonc
8
<
:
x0
n=¡3+2p2¢nx0 0
y0
n=¡3¡2p2¢ny0 0
z0
n=z0 0
c)
Comme3+2p2>1et¯¯3¡2p2¯¯<1,pourque(M0
n)n2Nconverge,ilfautetil su¢tquex0 0=0.Ona alors
(y0
n)n2Ntend vers0et(z0 n)n2N=(z0 0)n2N.
2.4.)
a)
Lasuite(mn)n2Nconvergesietseulementsix0
0=0doncsietseulementsim0appartientau plan¦engendré
par~u2et~u3.
Sonéquationestdonc:
¯¯¯¯¯¯
x¡p2¡1 0
y1 0
z0 1
¯¯¯¯¯¯
=0
c’est-à-dire:x+(p2+1)y=0
3

b)
Sim0appartientà¦sansapparteniràladroitevectorielledebase(~e3),alorsx0+(p2+1)y0=0sansque
(x0;y0)=(0;0).
Alorspourtoutentiernatureln,x0
n=0doncxn+(p2+1)yn=0etzn=z0.Donclespointsmn
appartiennentàladroite(¢)dontleséquations sont:
(¢)½x+(p2+1)y=0
z=z0
Quantauxpointspn, ilsappartiennentàladroite(¢0)=f(¢).
c)
Siz0=0touslespoints sontdansleplanxOyetm0estsur¢.OronavuauII1bquemnetpnontlamême
ordonnée .pnestl’intersection de¢0etdeladroitehorizontalepassantparmn.Demêmemn+1estl’intersection
de¢etdeladroiteverticalepassantparpn
3.Troisièmepartie
3.1.)
Onreconnaîtdansgl’adjointdef.pourlesdeuxpremièresquestionson peutdoncutiliser
8(x;y)2¡R3¢2g(x)¢y=x¢f(y)
a)
¸étantunevaleurpropredeÁet~xétantun vecteurpropredeÁdevaleurpropre¸,
~x¢Á(~x)=~x¢(¸~x)=¸(~x¢~x)>0
Comme~x¢~x>0(car~xétantun vecteurpropre estdi¤érentde~ 0,onabien¸>0).
b)
Áétantun endomorphismesymétrique, il possèdeunebasepropreorthonormale(~v1;~v2;~v3)associée aux valeurs
propresréelles(¸1;¸2;¸3)supposéesicistrictementpositives.
4

~xétantun vecteurnon nuldeR3,ilexistetroisréelsx1,x2etx3nontousnulstelsque~x=x1~v1+x2~v2+x3~v3.
Alors
Á(~x)=Á(x1~v1+x2~v2+x3~v3)=¸1x1~v1+¸2x2~v2+¸3x3~v3
et
~x¢Á(~x)=¸1x2
1+¸2x2 2+¸3x2 3>0
DoncÁestdé…nipositif.
c)
MBc(g±f)=GF=tFF.
Alorst(GF)=tFtG=GF=MBc(g±f)
Doncg±festun endomorphismesymétrique.
Soit~xun élémentquelconquedeR3
etdonc
~x¢(g±f(~x)) =~x¢g(f(~x)) =f(x)¢f(x)
Comme~x6=~ 0etdet(f)>0,f(~x)6=~ 0etdonc:
f(~x)¢f(~x)>0
Finalement,
~x¢(g±f)(~x)>0
etdoncg±festun endomorphismesymétriquedé…nipositif.
3.2.)
a)
On désignerespectivementpar¸1,¸2et¸3lesvaleurspropresde~u1,~u2et~u3.Lesréels¸1,¸2et¸3sont
strictementpositifs.
Pourtoutcouple(i;j)telque1·i·3,1·j·3eti6=j,
f(¡! ui)¢f(¡! uj)=¡! ui¢(g±f(¡! uj)) =¸j¡! ui¢¡! uj=0
Donc(f(~ui))1·i·3estunebaseorthogonale.
b)
Pourtoutcouple(i;j)telque1·i·3,1·j·3eti6=j,
¡!
ui¢(g±f(¡! uj)) =f(¡! ui)¢f(¡! uj)=0
car(f(¡! ui)) estunebaseorthogonale.Parsuite(g±f)(~uj)estorthogonalaux~uipouri6=jdonc colinéaire
à~uj:Donc~ujestun vecteurpropredeg±fet(~ui)1·i·3estunebasedevecteurspropresdeg±f.
3.3.)
Commeonaunebasedevecteurspropresdef±gonvafairedeschangementsdebase.SoitPlamatrice de
passageorthogonaletellequeUi=PEiavec D=diag(¹i).OnadoncGF=tFF =PDtP
a)
OnadonctFF =PDtPetUitUi=PEitEitP.Laquestionestdonc équivalenteàD=P3
i=1¹iEitEi:
Le calculestalorsimmédiat.
b)
Avec lemême changementdebase:S=P3
i=1¸iPEitEitP=P(P¸iEitEi)tP=Pdiag(¸i)tP:
DoncS2=Pdiag(¸2
i)tP=Pdiag(¹i)tP=tF F
S2=tFF
DepluspartantdeS=Pdiag(¸i)tPil estévidentque:tS=t(Pdiag(¸i)tP)=t(tP)diag(¸i)tP=S
Doncsestun endomorphismesymétrique.
Soit~xun élémentquelconquedeR3:~x=P3
i=1xi~ui.Onavu dansle calculprécédentque(ui)estunebase
devecteursproprespoursetques(ui)=¸iui.Doncs(x)=P3
i=1¸ixi~ui.Donc~x¢s(x)=P3 i=1¸ix2
i>0
Doncsestun endomorphismesymétriquedé…nipositif.
5