Espaces vectoriels normés MP

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Espaces vectoriels normés
MP
27 décembre 2012
Faites des dessins
Table des matières
1 Espaces vectoriels normés
1.1 Normes, espaces normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Normes dans les espaces pré-hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Notion de limite dans les ev normés, normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . .
2 Topologie dans un espace normé
2.1 Notion d’ouvert, de fermé, de point adhérent
2.2 Adhérence d’une partie de E, notion de partie
2.3 Limites des fonctions dans les evn . . . . . .
2.4 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Le jeu de lego c des fonctions continues . . .
2.6 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
7
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10
10
12
14
15
17
18
3 Suites de Cauchy dans les evn, espaces complets
3.1 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Espaces complets ou espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
21
22
4 Espaces vectoriels normés en dimension finie
4.1 Suites des composantes dans une base, équivalence des
4.2 Théorème de Bolzano-Weierstrass. . . . . . . . . . . .
4.3 Suites de Cauchy en dimension finie . . . . . . . . . .
4.4 Continuité en dimension finie . . . . . . . . . . . . . .
24
24
25
25
26
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dense
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normes
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5 Connexité par arcs
28
6 Notion de compact
6.1 En dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Compacité en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Compacité, exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
31
31
7 Exercices divers et variés
34
⇤ Document
disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom EspacesNormes.pdf
1
8 Continuité des applications linéaires
8.1 Caractérisation des applications linéaires continues . . . . .
8.2 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Continuité des applications bilinéaires . . . . . . . . . . . .
8.4 Normes subordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Normes subordonnées aux normes usuelles de Kn : . . . . .
8.6 Recettes pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Algèbre normée (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8 Exercices : continuité des applications linéaires, topologie et
. . . . .
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matrices
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9 Questions rapides admettant réponses rapides ; le flash-éclair
10 Résumons nous
10.1 En dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Généralités : limites, normes équivalents, topologie
10.1.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Espaces vectoriels normés en dimension finie . . . . . . . .
10.3 Les compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Applications linéaires dans les evn et continuité . . . . . .
11 Quelques corrigés
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2
1
Espaces vectoriels normés
Nous introduisons ici la notion de norme généralisant par là les normes || ||1 , || ||1 , ||
||2 définies en sup sur les espaces Rn ainsi que les normes euclidiennes définies à partir d’un
produit scalaire. Ces normes nous permettront de définir les limites de suites dans des espaces
divers : suites de vecteurs (solutions approchée de systèmes d’équations), suites de fonctions (calculs
d’intégrales, étude des séries de Fourier, solutions approchées des équations di↵érentielles,...), suites
de matrices (recherche de solutions approchées de systèmes linéaires, recherche de valeurs propres
de matrices...).
1.1
Normes, espaces normés
Définition 1 norme dans un espace vectoriel sur R ou C;
Une norme sur un K ev E est une application N : E 7! R+ telle que :
1. N (x) = 0 ) x = 0
2. N (x + y)  N (x) + N (y)
3. N ( x) = | | N (x).
Un espace normé est un couple (E, N ), formé d’un ev et d’une norme sur E.
Remarque les normes généralisent les notions de valeurs absolues et de module. Elles vérifient
par exemple la propriété fondamentale (inégalités triangulaires) :
| N (x)
| ||x||
N (y) |  N (x
||y|| |  ||x
y)|  N (x) + N (y).
y||  ||x|| + ||y||.
Exemples
1. Dans Rn ou Cn , les normes
||x||1 =
n
X
k=1
|xk |
n
X
||x||2 =
k=1
|xk |
2
!1/2
||x||1 = sup |xk |
k
On commencera par les exercices 5, 7 pour une première approche de ces normes...
2. Dans B(A, K), fonctions bornées de A dans K, la norme
||f ||1 = sup |f (x)|
x2A
(norme infinie ou norme de la convergence uniforme qui interviendra de façon fondamentale
en analyse).
3. Dans C([a, b], K), ensemble des fonctions continues sur [a, b], les normes
3
||f ||1 =
Z
b
a
|f (x)| dx
||f ||2 =
Z
b
2
|f (x)| dx
a
!1/2
||f ||1 = sup |f (x)|
x2[a,b]
4. On peut encore définir sur C 1 ([a, b], K), ensemble des fonctions de classe C 1 sur [a, b], les
normes
N1 (f ) = ||f ||1 + ||f 0 ||1
N2 (f ) = ||f ||2 + ||f 0 ||2
N1 (f ) = ||f ||1 + ||f 0 ||1
5. De façon analogue, on considère les sous-espaces vectoriels
de suites
P
– `1 espace des suites à valeurs complexes telles que P |ui | converge ;
– `2 espace des suites à valeurs complexes telles que
|ui |2 converge ;
1
– ` espace des suites bornées à valeurs complexes
on définit sur ces espaces les trois normes
||u||1 =
1
X
i=0
|ui |
||u||2 =
1
X
i=0
|ui |2
!1/2
||u||1 = sup |ui |
i2N
6. Sur les espaces de matrices voir le tableau du paragraphe (8.5) et la norme de Schur
définie par
q
||A|| = T r(At¯A).
Exercice
1 normes
1. Au kilomètre : démontrer que dans le tableau qui précède nous avons bien défini des normes
(pour ce qui est de la colonne centrale et de la norme de Schur, attendez d’avoir étudié le
paragraphe (1.2) sur les espaces préhilbertiens).
2. Démontrer que
N (f ) = |f (0)| +
Z
b
a
|f 0 (t)| dt
définit une norme sur l’espace des fonctions de classe C 1 sur [a, b].
3. Soit E l’espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur R. Définit on une norme sur E en
posant pour f 2 E,
N (f ) = |f (a)| + ||f 0 ||1 ?
4. Soient a0 , a1 , ..., ap des complexes. La fonction N définie par
N (P ) =
p
X
k=0
définit elle une norme sur Cp [X]?
4
|P (ak )|
1.2
Normes dans les espaces pré-hilbertiens
Les espaces préhilbertiens sont les espaces munis d’un produit scalaire réel ou complexe, normés
par N2 (x) =< x|x >1/2 .
L’inégalité triangulaire est alors une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Ils interviendront, pour ce qui est de notre programme, en géométrie, en algèbre linéaire (diagonalisation des matrices symétriques...), pour l’étude des séries de Fourier... Ils jouent par ailleurs
un rôle fondamental dans l’étude des équations di↵érentielles ; en physique, ils donnent le cadre
modélisant la mécanique quantique, etc...
Définition 2 Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C). On appelle produit scalaire (réel ou
complexe) sur E, une application :
:E⇥E !K
telle que :
– est linéaire à gauche : 8(x, y, z) 2 E 3 , 8 2 K, (x + y, z) = (x, z) + + (y, z);
– est hermitique :8(x, y) 2 E 2 , (y, x) = (x, y);
– est positive : 8x 2 E, (x, x) 0;
– est définie positive : 8x 2 E, (x, x) = 0 ) x = 0.
On dit alors que (E, ) est un espace préhilbertien (réel ou complexe) ; lorsque E est de dimension finie on parle d’espace euclidien pour le cas réel, d’espace hermitien pour le cas complexe.
On aura remarqué que si K = R, on retrouve la définition usuelle du produit scalaire réel : forme
bilinéaire, symétrique et définie positive.
Théorème 1 Si E est un espace préhilbertien
de produit scalaire (x, y) = (x|y), alors :
p
p
– Pour tout (x, y) 2 E 2 , | < x|y > |  < x|x > < y|y >.
– L’égalité a lieu ssi x et ypsont liés.
– L’application x 2 E ! < x|x >p2 R+ est une norme sur E; on dit qu’elle dérive du produit
scalaire (on note souvent ||x||2 = < x|x >).
Questions préalables
– l’application 2 K ! (< x + y|x + y >2 K est elle un polynôme en ?
– l’application 2 R !< x + y|x + y >2? est elle un polynôme en ?
– Exprimer < x|y >, < x| y >, < x|ei✓ y > ...
Démonstration
1. Remarquons que l’inégalité est évidente si y par exemple est nul.
2. Supposons alors y 6= 0 et considérons le polynôme de la variable réelle
F ( ) =< x + y | x + y >=
2
< y | y > +2 Re(< x|y >)+ < x|x > .
C’est un polynôme du second degré (le coefficient de
sur R. Nous avons donc
= 4Re2 (< x|y >)
soit
|Re < x|y > | 
p
5
2
est strictement positif) qui est positif
4 < y|y > < x|x > 0
< x|x >
p
< y|y >.
3. Considérons alors x et y quelconques.
Pour majorer | < x|y > |, notons < x|y >= ei✓ | < x|y > | et x0 = e
précédente devient
p
p
|Re < x0 |y > |  < x0 |x0 > < y|y >
i✓
x. La relation
avec Re(< x0 |y >) = Re(e i✓ < x|y >) = Re(| < x|y > |) = | < x|y > | et < x0 |x0 >=<
x|x > nous obtenons alors la relation de Cauchy-Schwarz :
p
p
| < x|y > |  < x|x > < y|y >.
4. Le cas d’égalité :
( Supposons que x = y ou y = x, il y alors égalité dans la relation précédente ;
p
p
) Supposons que | < x|y > | = < x|x > < y|y >.
Si y 6= 0, pour x0 quelconque,
G( ) =< x0 + y | x0 + y >=
2
< y | y > +2 Re(< x0 |y >)+ < x0 |x0 > .
C’est un polynôme du second degré réel dont le discriminant est
p
p
4|Re < x0 |y > | 4 < x0 |x0 > < y|y >  0.
En choisissant comme précédemment x0 = e
existe réel tel que x0 = y soit x = ei✓ y.
i✓
x, cette inégalité devient une égalité et il
⌅
Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de produits scalaires réels ou complexes et les
normes associées :
l’espace
K
le produit scalaire
n
(x|y) =
n
X
la norme
x k yk
||x||2 =
k=1
C([a, b], C)
suites
telles
P
1
i=0
|ui |
converge
(f |g) =
Z
f (x)ḡ(x) dx
a
< u, v >=
1
X
ui v i
i=0
(A|B) = T r(At¯B)
Mn (K)
k=1
b
que
2
n
X
||f ||2 =
b
a
1
X
||u||2 =
||A|| =
Z
i=0
q
|xk |2
!1/2
|f (x)|2 dx
|ui |
2
!1/2
!1/2
T r(At¯A)
Les questions spécifiques aux espaces préhilbertiens : voir les exercices 47, 41, 50, ...
Exercice
2 normes
6
1. Soient a0 , a1 , ..., ap des complexes. La fonction N définie par
N (P ) =
p
X
P (ak )P (ak )
k=0
!1/2
définit elle une norme sur Cp [X]?
2. Soit E l’ensemble des fonctions continues et de carrés intégrables sur R :
E = {f : R ! C \ f C 0 , |f |2 intégrable }
(a) S’agit il d’un espace vectoriel ?
(b) Définit on une norme en posant ||f ||2 =
Z
R
(c) Donner dans cet espace une majoration de
1.3
|f |2 ?
Z
R
e |x|
dx
(1 + x2 )1/2
Notion de limite dans les ev normés, normes équivalentes
Définition 3 limite d’une suite dans un evn
On dit qu’une suite d’éléments (xn )n d’un espace normé (E, || ||) est convergente de limite l 2 E,
ssi
lim ||xn l|| = 0,
n!1
ou, ce qui est équivalent :
8" > 0, 9n0 , 8n 2 N, n
n0 ) ||xn
l||  ".
Remarque fondamentale :
l’existence de la limite et la limite elle-même dépendent de la norme choisie (en dimension infinie, comme nous le verrons). L’exemple de l’exercice 4 est édifiant.
Théorème 2 unicité de la limite
Une suite d’éléments de l’evn (E, N ) converge vers au plus un élément.
Démonstration
Exercice
3 fondamental, sera généralisé dans l’étude des evn de dimension finie...
1. On note Xn =t (xn,1 , xn,2 , ..., xn,d ) 2 Kd . Montrer que les propositions qui suivent sont
équivalentes :
– (Xn )n converge vers X pour la norme || ||1 ;
– (Xn )n converge vers X pour la norme || ||1 ;
– (Xn )n converge vers X pour la norme || ||2 ;
– lim xn,1 = xi pour 1  i  d.
2. Pour une norme de votre choix dans le tableau du paragraphe (8.5), montrer l’équivalence
– (Mn )n converge vers M pour la norme N ;
– les suites de composantes (mn,i,j )n convergent vers les Mi,j .
3. voir l’exercice 65 pour une suite de polynômes qui ne converge pas alors que les suites des
coordonnées convergent...
7
Exercice 4
Soit C l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1], à valeurs dans C.
1. Dans cet espace, on considère les suites (fn )n , (gn )n des fonctions
fn : x 2 [0, 1] ! xn , gn : x 2 [0, 1] ! n1/2 xn .
(a) Montrer que ||fn 0||1 a pour limite 0 ; que dire de ||gn 0||1 ?
(b) Montrer que ||fn 0||2 a pour limite 0 ; que dire de ||gn 0||2 ?
(c) Que dire de ||fn 0||1 ? de que dire de ||gn 0||1 ?
2. Montrer que si une suite (fn )n d’éléments de C converge vers g 2 C pour la norme || ||1 ,
elle converge aussi pour les normes || ||1 et || ||2 .
Théorème 3 convergence des suites pour des normes di↵érentes
Soit E un ev muni de normes N1 et N2 . Les propriétés suivantes sont équivalentes
1. Toute suite N1 convergente est N2 convergente
2. Il existe un réel ↵ > 0 tel que N2  ↵N1
Démonstration
(2) ) (1) : quasi-immédiat ;
(1) ) (2) : raisonner par l’absurde
Définition 4 normes équivalentes
On dit que deux normes sur un ev E, N1 et N2 sont équivalentes s’il existe des réels strictement
positifs ↵, , tels que
8X 2 E, ↵N2  N1  N2 .
Théorème 4
Soit E un espace vectoriel et N1 , N2 , deux normes équivalentes et (xn )n une suite d’éléments de
E. Alors
– (xn )n converge vers l pour N1 ssi elle converge vers l pour N2 .
– (xn )n est une suite de Cauchy pour N1 ssi c’est une suite de Cauchy pour N2 .
Démonstration
La première assertion est conséquence du théorème 3.
Pour la deuxième assertion, par symétrie des hypothèses, il suffit de montrer qu’une suite de Cauchy
pour pour N1 est une suite de Cauchy pour N2 : pour cela on observe que
1
N1 (xn+p xn )...
↵
Exercice 5 Exemples des normes usuelles de Kn
1. Montrer que les trois normes ||x||1 , ||x||2 , ||x||1 , définies sur Kn , vérifient les inégalités suivantes (préciser les cas d’égalité) :
N2 (xn+p
xn ) 
||x||1  ||x||1  n||x||1
p
||x||1  ||x||2  n||x||1
p
||x||2  ||x||1  n||x||2 .
On en déduit qu’elles sont équivalentes. On montrera en fait que dans un ev de dimension
finie toutes les normes sont équivalentes.
8
2. Montrer (si ce n’est déjà fait) que dans K3 , pour toute suite (Xn )n , les relations suivantes
sont équivalentes :
– (Xn )n converge vers X pour la norme || ||1 ;
– (Xn )n converge vers X pour la norme || ||1 ;
– (Xn )n converge vers X pour la norme || ||2 ;
– lim xn = x, lim yn = y, lim zn = z.
Les notations sont évidentes.
3. Montrer que si l’une quelconque des propositions précédentes est vérifiée, alors pour toute
norme N sur Kn , lim N (X Xn ) = 0.
Exercice
6 le cas de la dimension infinie
1. Montrer que la suite de fonctions x ! xn est convergente dans C 0 ([0, 1], C) muni de la norme
||f ||1 =
Z
1
0
|f (t)| dt
et que ce n’est pas une suite de Cauchy (même définition que dans R) dans ce même espace
normé par || ||1 .
En déduire que les normes ||f ||1 , ||f ||1 , ne sont pas équivalentes. Comparer les.
2. Montrer que les normes ||f ||1 , ||f ||2 , définies dans C([a, b], K), ne sont pas équivalentes. Rechercher les relations entre elles.
9
2
Topologie dans un espace normé
Pensez à faire des dessins !
2.1
Notion d’ouvert, de fermé, de point adhérent
Définition 5 notion de boule, d’ouvert, de fermé...
Soit (E, || ||), un espace normé.
1. On appelle boule fermée de centre ⌦, de rayon r > 0, l’ensemble
B̄(⌦, r) = {x 2 E; ||x
⌦||  r}.
2. De la même façon, la boule ouverte de centre ⌦, de rayon r > 0, est l’ensemble B(!, r) =
{x 2 E; ||x ⌦|| < r}.
3. Si D une partie de E, a 2 E, on dit que a est un point adhérent à D ssi :
8" > 0, B(a, ") \ D 6= ;.
Lorsque E = R, on dit aussi que +1 est adhérent à D ssi
8M > 0, D \ ]M, +1[ 6= ;.
On pourra noter D̄ ou adh(D), l’ensemble des points adhérents à D (adhérence de D).
4. Soit D, une partie de E, et a 2 E; on dit que a est un point intérieur à D ssi :
9r > 0, B(a, r) ⇢ D.
On note de façon analogue Do l’intérieur de D.
5. Une partie D de E est un ouvert de (E, || ||) ssi pour tout a 2 D, il existe
boule B(a, ) soit contenue dans D.
> 0 tel que la
6. Une partie F de E est un fermé de (E, || ||) ssi son complémentaire est un ouvert.
7. Soit a 2 E, un voisinage de a dans E est une partie de E qui contient une boule ouverte de
centre a;
8. la frontière d’un ensemble A est l’ensemble des points adhérents qui ne sont pas des points
intérieurs, elle est parfois notée @A.
Remarque : E et ; sont des parties à la fois ouvertes et fermées de (E, || ||). Il existe également
des parties qui ne sont ni ouvertes ni fermées.
Proposition
5 Dans un espace normé (E, || ||),
1. une boule ouverte est un ouvert,
2. une boule fermée est un fermé,
3. une réunion quelconque, une intersection finie d’ouverts sont des ouverts,
4. une intersection quelconque, une réunion finie de fermés sont des fermés,
5. un ensemble est ouvert ssi il est voisinage de chacun des ses points.
Démonstrations :
1. Dessiner et utiliser l’inégalité triangulaire pour montrer que si x 2 B(a, r), il existe ⇢ tel que
B(x, ⇢) ⇢ B(a, r);
10
2. Analogue, en raisonnant sur le complémentaire d’un boule fermée ;
3. ensembliste ;
4. ensembliste, en justifiant les formules :
{ \i Ai = [i {Ai , { [i Ai = \i {Ai , .
5. Qu’y a-t-il à montrer ?
Théorème 6 caractérisation séquentielle des points adhérents, des fermés
Dans un espace normé (E, || ||),
1. un point a de E est adhérent à A ssi il existe une suite de points de A qui converge vers a.
2. un ensemble A ⇢ E est fermé ssi pour toute suite convergente, (xn )n , formée d’éléments de
A, lim xn 2 A.
Démonstration
1. ): considérer des boules de rayons 1/n...
(:
2. ):
(:
Théorème 7
Soit E un espace vectoriel et N1 , N2 , deux normes équivalentes, U une partie de E.
– U est un ouvert (respectivement un fermé) de E pour la norme N1 ssi c’est un ouvert (respectivement un fermé) de E pour N2 .
– Ū est l’adhérence de U dans (E, N1 ) ssi c’est l’adhérence de U dans (E, N2 );
Démonstration : facile, avec la définition ou les caractérisation séquentielles ; on observera que
les boules, a contrario dépendent des normes !
Exercice
7 les boules usuelles.
1. Dessiner les boules unités de R2 muni des normes || ||1 , || ||2 , || ||1 .
2. En utilisant les encadrements obtenus dans l’exercice 5 déterminer r de telle sorte que
BN (O, r) ⇢ BN 0 (0, 1)
lorsque N et N 0 sont les normes usuelles.
3. Montrer que deux normes sont équivalentes ssi toute boule (de rayon > 0) pour l’une contient
une boule pour l’autre (de rayon > 0).
11
1
0.5
–1
–0.5
1
1
0.5
0.5
0.5
1
–1
–0.5
–0.5
0.5
1
–0.5
0.5
1
–0.5
–0.5
–1
–1
–1
–1
1
0.5
–1
–0.5
0.5
1
–0.5
–1
corrigé en 11
Exercice 8 définition séquentielle des fermés
Montrer que les ensembles suivants sont fermés ou ouverts :
1. Dans Rn muni de l’une des trois normes usuelles, montrer qu’un demi-espace d’équation
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + dn 0 est fermé, que a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + dn > 0 est ouvert.
2. Dans R2 , montrer que l’hyperbole xy = 1 est un fermé, de même que xy  1.
3. Dans M2 (K) muni de la norme N (M ) = sup{|mi,j |}, montrer que l’ensemble des matrices
singulières est fermé, que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert.
4. Dans l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1] muni de la norme de votre choix, {f ; f (1/2) =
0} est-il fermé ?
Exercice 9 faire joujou avec les boules et dessiner
Soit (E, || ||), un espace normé, a 2 E, r > 0. Quel est l’ensemble des points adhérents à la boule
ouverte B(a, r)?
Exercice 10 faire joujou avec les boules et dessiner
Soit (E, || ||), un espace normé et F un sev de E. Montrer que si F contient une boule ouverte,
alors F = E.
Exercice 11 faire joujou avec les boules et dessiner
Soit (E, || ||), un espace normé, a et b deux points de E, r > 0, ⇢ > 0. Montrer que si les boules
fermées B̄(a, r) et B̄(b, ⇢) sont égales alors a = b et r = ⇢.
Indication :
r
commencer par montrer que r = ⇢ en introduisant, pour x 6= a, x1 = a ±
(x a)...
||x a||
2.2
Adhérence d’une partie de E, notion de partie dense
Définition 6
Soit (E, N ) un espace normé, A une partie non vide de E.
1. L’adhérence de A dans E notée Ā ou adh(A) est l’ensemble des points adhérents de A.
12
2. On dit qu’un partie de E est dense dans E ssi Ā = E. 0n observe que A est dense dans E
ssi tout élément de E est limite d’une suite d’éléments de A;
Proposition 8
Soit A une partie non vide de l’evn E.
– Un élément y 2 E est adhérent à A ssi il est limite d’une suite d’éléments de A. (rappel)
– L’adhérence de A dans E, est le plus petit fermé contenant A.
Démonstration
Exercice
12 exemples
1. Justifier que Q est dense dans R, sachant que vous avez admis en L1 qu’entre deux réels il
existe un rationnel ; en va-t-il de même pour les décimaux ?
2. Soit (G, +), un sous-groupe de (R, +). Montrer que deux cas sont possibles :
– soit il existe a 2 R tel que G = aZ;
– soit G est dense dans R.
Voir une application dans l’exercice 14.
3. Démontrer le théorème 9
4. On suppose que A est une partie dense de l’evn (E, N ), que f est une fonction continue sur
A, valeurs dans (F, || ||). Donner des conditions pour que f soit prolongeable en une fonction
continue de E dans F. Donner aussi des contre-exemples.
Théorème 9
Soient f et g deux fonctions continues sur un evn (E, N ) à valeurs dans (F, || ||). S’il existe une
partie A, dense dans E sur laquelle f et g coı̈ncident, alors f et g sont égales sur E.
Démonstration
Nous verrons en analyse l’importance de cette notion, quelques exemples ci-dessous :
Exercice
13 Démonstrations par densité
1. Existe-t-il une application continue de R dans lui-même même telle que sur les rationnels,
f (x) = x2 , f (x) = 0 ailleurs ?
2. Soit f une fonction continue sur R telle que f (x + y) = f (x) + f (y). On note a = f (1).
Calculer f sur Q. Que vaut elle sur R?
Exercice 14 les suites ein n2Z , (cos n)n et (sin n)n
On se propose de prouver que ces suites sont denses dans U et [ 1, 1].
1. Montrer que l’ensemble des réels m + 2k⇡ forme, lorsque (m, k) décrit Z2 , un sous-groupe de
(R, +).
2. En déduire la densité de {ein ; n 2 Z}. dans U (on admettra que ⇡ est irrationnel, ce qui est
proposé en exercice dans la chapitre topologie de R).
3. Montrer que l’ensemble des sin n, n 2 N est dense dans [ 1, 1].
Exercice
15 Soit (E, || ||), un evn ;
13
1. Une intersection d’espaces denses est elle dense ?
2. Démontrer qu’un intersection de deux ouverts denses est dense.
3. * Que dire d’un intersection quelconque d’ouverts denses ?
La suite du paragraphe est plus difficile, deuxième lecture
Exercice 16 lemme de Riemann, première approche
On se propose d’établir, pour certaines classes de fonctions numériques définies sur [a, b], la
propriété
Z b
lim
f (t)eint dt = 0,
n!+1
a
1. Montrer cette relation lorsque f est de classe C 1 sur [a,b].
2. On s’intéresse maintenant aux fonctions continues. On introduit pour cela l’espace E =
(C([a, b], K) des fonctions numériques continues sur [a, b], muni de la norme || ||1 .
(a) Montrer que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de E;
indication : penser à la continuité uniforme d’un élément f de E;
(b) Soit f affine par intervalles sur [a, b], montrer que
lim
n!+1
Z
b
f (t)eint dt = 0.
b
(c) En déduire la relation pour toute fonction continue.
corrigé en 11
Exercice
17
⇤
mines, planches diverses
1. Montrer la densité dans [ 1, 1] de la famille (cos ln n)n2N⇤
Indications :
On se donne ↵ = cos ✓ 2 [ 1, 1] et à tout p 2 N, on associe np tel que np  e✓+2p⇡ < np + 1;
Exercice 18
Soient f et g deux endomorphismes de E evn de dimension finie.
1. On suppose f inversible, montrer que f
g et g f ont le même polynôme caractéristique.
2. Généraliser.
2.3
Limites des fonctions dans les evn
Définition
7 limite d’une fonction de E dans F...
1. Soient (E, N ) et (F, || ||), deux espaces normés, f une application de D ⇢ E dans F et a
un point adhérent à D. On dit que f admet le point L 2 F pour limite en a, et on note
limx!a f (x) = L, ssi
8" > 0, 9 > 0, 8x 2 D, N (x
a) 
) ||f (x)
L||  ".
2. Lorsque E = R et a = +1 est adhérent à D, on dit que limx!+1 f (x) = L ssi
8" > 0, 9M > 0, 8x 2 D, x > M l ) ||f (x)
L||  ".
3. Lorsque F = R et a est adhérent à D, on dit que limx!a f (x) = +1 ssi
8A > 0, 9 > 0, 8x 2 D, N (x
14
a) 
) f (x) > A.
Théorème 10 limite et composées
Soient (E, || ||), (F, || ||) (G, || ||) trois espaces normés (on note par commodité les trois normes de
la même façon), et deux applications :f : D ⇢ E ! F, g : D0 ⇢ F ! G, telles que g f soit définie
sur D. Alors, pour tout a point adhérent à D, pour tout b 2 F,
lim f (x) = b ) b 2 D̄0
x!a
lim f (x) = b et lim g(y) = L ) lim g f (x) = L
x!a
2.4
x!a
y!b
Fonctions continues
Définition
8 Soient (E, N ) et (F, || ||) deux espaces normés et f : D ⇢ E ! F, une application.
1. On dit que f est continue en a 2 D ssi limx!a f (x) = f (a).
2. On dit que f est uniformément continue sur D ssi :
8" > 0, 9 > 0, 8(x, y) 2 D2 , N (x
y) 
) ||f (x)
f (y)||  ".
3. On dit que f est lipschitzienne sur D s’il existe K > 0 tel que
8(x, y) 2 D2 , ||f (x)
f (y)||  KN (x
y).
Théorème 11 caractérisation séquentielle
Une fonction f : D ⇢ E 7! F est continue en a 2 D ssi pour toute suite (xn )n d’éléments de D
convergeant vers a on a limn!1 f (xn ) = f (a).
Démonstration
• La partie ) est conséquence du théorème précédent (composition des limites).
• Pour la réciproque raisonnons par l’absurde en supposant f non continue en `.
Il existe alors " > 0 tel que pour tout ↵ > 0 il existe x 2 Df tel que ||x `||  ↵ et ||f (x) f (`)|| > ".
En faisant successivement ↵ = 1, ↵ = 1/2, ...,↵ = 1/n, on construit une suite (xn )n d’éléments de
Df de limite ` 2 Df , tel que pour tout n 2 N⇤ on ait ||f (xn ) f (`)||F > ".
Exercice 19
Les applications suivantes sont elles continues ? uniformément continues, lipschitziennes ?
1. Les applications coordonnées X 2 Kn ! xk 2 K, l’espace de départ étant muni d’une
quelconque des normes usuelles ;
2. Si M est une matrice de Mn (K), l’application linéaire associée :
X 2 Kn ! M X 2 Kn ,
lorsque les espaces de départ et d’arrivée sont munis de l’une quelconque des trois normes
usuelles (ce qui fait 9 cas, pour une seule preuve !).
3. Le déterminant ;
15
4. Montrer que l’ouvert des matrices inversibles GLn (K) est dense dans Mn (K) pour la norme
de votre choix.
Indication : le déterminant det(M + In ) est un polynôme en ;
5. On note C = C([0, 1], K). Étudier la continuité des applications
Z 1
: f 2 C ! f (0) 2 K, I : f 2 C !
f (t) dt 2 K,
0
lorsque C est muni de la norme || ||1 , de la norme || ||1 ...
Exercice
20 à propos de fonctions lipschitziennes
1. Une fonction lipschitzienne est continue ;
2. Une fonction f, de classe C 1 sur un intervalle [a, b] de R, à valeur dans R est lipschitzienne.
En e↵et, f 0 est continue est bornée sur [a, b] et pour tout couple (x, y) 2 [a, b]2 , il existe t
compris entre x et y tel que
f (x)| = |f 0 (t)| |y
|f (y)
x|  sup |f 0 (u)||y
x|
u2[a,b]
f est donc M lipschitzienne avec M = supu2[a,b] |f 0 (u)|.
3. l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur A ⇢ E à valeur dans F est un sev de C 0 (A, F ).
4. le produit d’une fonction lipschitzienne et d’une fonction lipschitzienne bornée est une fonction lipschitzienne.
5. Voir problème Centrale PSI 1 - 2001, partie 2 (après étude des espaces préhilbertiens).
Exercice 21 quelques notions ensemblistes avant la suite
Soit f une application de E dans F, et A, B deux parties de F. Vérifier les formules (triviales ?) :
f
f
1
1
(A [ B) = f 1 (A) [ f 1 (B)
(A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B)
f 1 ({F A) = {E f 1 (A)
Puis pour les suivantes, prouvez les ou donner des contre-exemples :
f (A [ B) = f (A) [ f (B)
f (A \ B) = f (A) \ f (B)
f ({E A) = {F f (A)
Théorème 12 images réciproques des ouverts, des fermés par les applications continues définies
sur E tout entier
Soit f une application continue de l’espace normé (E, N ) à valeurs dans (F, || ||). Pour toute partie
⌦ de F on note f 1 (⌦) = {x 2 E; f (x) 2 ⌦}.
1. Si ⌦ est un ouvert de F, f
2. Si ⌦ est un fermé de F, f
1
1
(⌦) est un ouvert de E.
(⌦) est un fermé de E.
Théorème 13 images réciproques des ouverts, des fermés par les applications continues sur
une partie de E
Soit f une application continue sur une partie D de l’espace normé (E, N ) à valeurs dans
(F, || ||). Pour toute partie ⌦ de F on note f 1 (⌦) = {x 2 E; f (x) 2 ⌦}.
16
1. Si ⌦ est un ouvert de F, f
ouvert de E).
2. Si ⌦ est un fermé de F, f
fermé de E).
1
1
(⌦) est un ouvert relatif de D (ie : l’intersection de D et d’un
(⌦) est un fermé relatif de D (ie : l’intersection de D et d’un
Exercice 22 continuité et images réciproques
Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés plus rapidement que dans l’exercice 8. On
précisera pour quelles normes ;
1. un hyperbole, une branche d’hyperbole, un cercle, un disque (lequel), une ellipse, la partie
délimitée par l’ellipse (laquelle ?), une courbe d’équation f (x, y) = 0 lorsque f est continue ;
2. l’ensemble des matrices inversibles ;
Exercice 23 bassin d’attraction Soit f une fonction de classe C 1 sur R, a un point fixe de f. On
suppose que ce point fixe est attractif, ie : |f 0 (a)| < 1. On note J le plus grand intervalle contenant
a et tel que pour tout x0 2 J, la suite de premier terme x0 telle que xn+1 = f (xn ) pour tout n 2 N,
converge vers a (bassin d’ attraction de a).
1. Montrer que J contient un voisinage ]a ", a + "[ de a.
2. Montrer que J est un intervalle ouvert.
voir commentaire ??
2.5
Le jeu de lego c
des fonctions continues
Comme pour les fonctions numériques, c’est un jeu de lego : on montre que certaines fonctions
sont continues, les autres s’obtiennent par addition, multiplication, projection, duplication, composition...
Pour parler de sommes et produits nous avons besoin de la
Définition 9 espaces produits
Soient (E1 , N1 ), ...(En , Nn ) une famille d’evn sur le corps K. On définit une norme sur l’ev produit
Q
n
i=1 Ei , en posant :
n
Y
X
8x = (x1 , ...xn ) 2
Ei , N (x) =
Ni (xi ).
i=1
On appelle espace produit des (Ei , Ni )i l’evn ainsi défini.
Qn
Exercice 24 Vérifier que sur l’espace produit i=1 Ei , les normes
X
N (x) =
Ni (xi ) et N 0 (x) = sup Ni (xi )
i
sont équivalentes
Théorème 14 Soit (E, || ||), un espace normé, on munit les espaces produits E ⇥ E, K ⇥ E et
F ⇥ G des normes définies par
||(x, y)||E⇥E = ||x||E + ||y||E
||( , x)||K⇥E = | | + ||x||E
||(y, z)||F ⇥G = ||y||F + ||y||G
17
–
–
–
–
–
–
l’application norme x 2 E ! ||x|| 2 R, est continue ;
l’addition (x, y) 2 E ⇥ E ! x + y 2 E, est continue ;
la multiplication externe ( , x) 2 K ⇥ E ! x 2 E, est continue ;
la projection (x, y) 2 E ⇥ F ! x 2 E est continue ;
la remontée x 2 E ! (x, y) 2 E ⇥ F est continue pour tout y 2 F ;
si f et g sont des applications continues de E dans F et G respectivement, alors
x 2 E ! (f (x), g(x)) 2 F ⇥ G
est également continue.
Théorème 15 continuité des coordonnées
Lorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnées dans une base (ei )i quelconque,
x=
n
X
i=1
xi ei 2 E ! xi 2 K,
sont des fonctions continues quelque soit la norme sur E.
Commentaires :
– ce dernier résultat est fondamental, d’un usage constant : voir l’étude des evn de dimension finie
en (4) pour sa preuve ;
– les normes, sommes, produits, produits par un scalaire, par une fonction scalaire continue, quotients par une fonction scalaire continue , produits scalaires, produits vectoriels, composées, de
fonctions continues lorsqu’ils sont définis, sont des fonctions continues.
Exercice
25 Expliquer pourquoi les applications suivantes sont continues :
1. (x, y) 2 K2 ! x ⇥ y 2 K;
2. x 2 E ! f (x) ⇥ x 2 E, lorsque f est continue sur E à valeurs dans K;
3. (x, y) 2 R2 \{(0, 0)} ! ln(x2 + xy + y 2 ) 2 R;
Pour bien comprendre de quoi il s’agit, dessiner l’arbre syntaxique et identifier chaque sousarbre...
4. une application linéaire d’un evn de dimension finie dans un autre ;
5. Un produit scalaire sur E euclidien muni de la norme euclidienne :
(x, y) 2 E 2 ! (x|y) 2 R;
2.6
Continuité uniforme
On a vu que f est uniformément continue sur D ssi :
8" > 0, 9 > 0, 8(x, y) 2 D2 , N (x
y) 
) ||f (x)
f (y)||  ".
On observera que la di↵érence entre les caractérisations de la continuité sur I et de la continuité
uniforme su I tiennent à la position du quantificateur 8x. En e↵et, f est continue sur I ssi :
8x 2 I, 8" > 0, 9↵ > 0, 8y 2 I, |x
y|  ↵ ) |f (x)
f (y)|  ".
Dans ce dernier cas, ↵ dépend de x et de ", dans le cas d’une continuité uniforme il
ne dépend plus que de ".
18
Exercice
26
1. Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue ;
p
2. Montrer directement que x ! x est uniformément continue et qu’elle n’est pas lipschitzienne
sur [0, +1[.
3. Montrer que ! ln x n’est pas uniformément continue sur ]0, 1] mais qu’elle l’est sur [1, +1[.
Théorème 16 théorème de Heine (voir aussi la généralisation aux compacts dans un normé :
théorème ??)
Soit f une fonction définie sur une partie compacte I de R. Si f est continue sur I, elle est aussi
uniformément continue.
Démonstration procéder de la façon suivante :
On suppose que f est CONTINUE sur le COMPACT I, et on raisonne par l’absurde.
1. Exprimer que f n’est pas uniformément continue ;
2. Montrer que si f n’est pas uniformément continue, il existe a > 0 et une suite double (xn , yn )
telle que
|xn yn | < 1/n et |f (xn ) f (yn )| a.
3. Conclure avec le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Interventions de la notion de continuité uniforme : nous en ferons surtout usage dans l’étude
des suites de fonctions (théorèmes de Weierstrass par exemple...)
19
3
Suites de Cauchy dans les evn, espaces complets
3.1
Suites de Cauchy
Définition 10 suites de Cauchy
Soit (Xn )n une suite d’éléments d’un evn, (E, N ). On dit que c’est une suite de Cauchy pour la
norme N lorsqu’elle vérifie :
8" > 0, 9N 2 N, 8p
Proposition
N, 8q
0, N (xp
xp+q )  ".
17 propriétés générales des suites de Cauchy
1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
2. Toute suite de Cauchy est bornée
3. Si une suite de Cauchy (Xn ) admet une sous-suite convergente de N
elle-même convergente et de limite L.
Exercice
limite L, (Xn ) est
27 Comment prouver qu’une suite est une suite de Cauchy ?
1. Soit (xn )n une suite de (E, || ||) un espace normé. On suppose qu’il existe une fonction
: N ! R, de limite 0 en +1, telle que
8(n, p) 2 N 2 , ||xn+p
xn ||  (n).
Montrer que (xn )n est une suite de Cauchy.
2. Exemples : sont elles des suites de Cauchy ?
– lorsque z 2 C, la suite des complexes définie par
sn =
n
X
zk
k=0
k!
;
– la suite (f )n , lorsque fn est la fonction x ! xn élément de C([0, 1], R) muni de l’une des
normes || ||1 , || ||1 , ou || ||2 ?
20
3.2
Espaces complets ou espaces de Banach
Définition 11 On appelle espace complet ou espace de Banach, un evn dans lequel les
suites de Cauchy sont convergentes. On dit encore que c’est un espace de Hilbert s’il s’agit d’un
préhilbertien réel ou complexe complet.
Nous verrons que tous les evn de dimension finie sont des espaces complets. Les
exercices qui suivent donnent des exemples et contre-exemples en dimension infinie :
Exercice 28 un espace non complet...
On considère l’espace C([
p 1, 1], R) muni de la norme || ||1 . On définit une suite de fonctions (fn )n
en posant : fn (x) = 2n+1 x
1. Montrer que c’est une suite de Cauchy.
2. Représenter quelques unes de ces fonctions.
3. On suppose qu’il existe une fonction f telle que (fn )n ! f pour la norme || ||1 . On considère
a 2]0, 1[ et on veut montrer que f (a) = 1 et f ( a) = 1.
(a) On suppose que f (a) > 1. Dessiner, puis montrer qu’il existe un intervalle ]a ↵, a+↵[⇢
1 + f (a)
] 1, 1[ sur lequel f (x) >
. Minorer ||f fn ||1 . En déduire une contradiction.
2
(b) On suppose maintenant que f (a) < 1.
Dessiner, puis montrer qu’il existe un intervalle ]a ↵, a + ↵[⇢] 1, 1[ sur lequel
1 + f (a)
f (x) <
.
2
Dessiner encore, puis justifier qu’à partir d’un rang que vous préciserez au mieux,
||fn
f ||1 > fn (a
↵)
1 + f (a)
.
2
En déduire une contradiction.
(c) Dessiner la fonction f et répondre à la question :
C([ 1, 1], R) muni de la norme || ||1 est il complet ?
Exemples fondamentaux d’espaces de Banach :
Exercice 29 espace de fonctions bornées
On considère ici l’ensemble B des fonctions bornées f : A ! K (K = R ou C). On le munit de la
norme ||f ||1 = supx2A |f (x)|.
1. Pourquoi || ||1 est elle une norme sur B?
2. Ecrire que (fn )n est un suite de Cauchy dans (B, || ||1 ).
3. Montrer que si (fn )n est un suite de Cauchy dans (B, || ||1 ), pour tout élément x 2 A,
(fn (x))n est une suite de Cauchy de réels.
4. Justifier qu’il existe une fonction f telle que pour tout a 2 A lim fn (x) = f (x). Pourquoi est
elle bornée sur A?
5. Montrer enfin que (B, || ||1 ) est complet.
Ce résultat est à associer au cours sur les suites de fonctions et la convergence uniforme
que nous retrouverons bientôt.
Exercice 30 convergence des suites de fonctions
On considère les ev B = B([0, 1], R) formé des fonctions bornées sur [0,1], C = C([0, 1], R) formé
des fonctions continues et C1 = C 1 ([0, 1], R) formé des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs
réelles.
On les munit de la norme ||f ||1 = sup |f (x)|.
21
1. Montrer que si (fn ) converge vers f dans un de ces trois espaces, alors
8x 2 [0, 1], lim fn (x) = f (x).
2. Un evn non complet
s✓
◆2
1
1
+ pour x 2 [0, 1]. Montrer que cette suite converge
2
n
dans (B, || ||1 ) mais pas dans (C 1 , || ||1 ).
(b) En déduire que dans l’evn (C 1 , || ||1 ) il existe des suites de Cauchy qui ne convergent
pas.
3. On admet ici que (B, || ||1 ) est complet (ce qui est détaillé dans l’exercice 29).
(a) On pose un (x) =
x
(a) ** Montrer que C est fermé dans (B, || ||1 ).
Indication : on montrera que si ||f n f ||1 ! 0, alors f est aussi continue, en utilisant
la relation suivante :
f (x)
f (x0 ) = f (x)
fn (x) + fn (x)
fn (x0 ) + fn (x0 )
f (x0 )
(b) En déduire que (C, || ||1 )est complet.
Ce dernier résultat fait partie du cours sur les suites de fonctions et la convergence uniforme.
Exercice 31 espaces de suites complets
1. Espace `1 (N) :
(a) Donner des exemples d’éléments de `1 ;
(b) Donner un exemple de suite de Cauchy d’éléments de `1 ;
(c) Montrer que `1 est complet.
2. Espace `2 (N) : même questions...
3. ** Espace `1 (N) :
(a) Donner des exemples d’éléments de `1 ;
(b) Donner un exemple de suite de Cauchy d’éléments de `1 ;
(c) Montrer que `1 est complet.
3.3
Théorème du point fixe
Théorème 18 point fixe dans les espaces normés
Soit (E, || ||), un espace normé dans lequel les suites de Cauchy sont convergentes. Si f est une
application de E dans lui-même, lipschitzienne pour une constante k < 1, (on dit que f est
contractante), alors
1. f admet un point fixe et un seul (notons le a);
2. pour tout choix de x0 2 E, la suite récurrente xn+1 = f (xn ) converge vers a;
kn
3. de plus, ||xn a|| 
||x0 a||.
1 k
Démonstration : en tout point identique à la démonstration proposée pour les suites numériques.
Ce théorème n’est pas explicitement au programme. Sachez refaire la démonstration qui intervient dans tous les problèmes de point fixe et les études de suites récurrentes - voir le chapitre
précédent (topologie de R). Il est à la base de résultats fondamentaux en analyse et géométrie :
voir par exemple la démonstration du théorème des fonctions implicites proposée en mini-problème
à la fin du chapitre Topologie de R.
22
Exercice 32 Un algorithme de point fixe
On considère deux droites D1 et D2 non parallèles. On souhaite prouver l’existence et l’unicité
des points M et N appartenant respectivement à D1 et D2 tels que MN réalise le minimum de
{XY /(X, Y ) 2 D1 ⇥ D2 } et calculer une approximation de leurs coordonnées et de la distance MN.
Description d’un algorithme :
- On se donne A0 2 D1 .
- Pour An 2 D1 , on considère Bn le projeté orthogonal de An sur D2 et An+1 le projeté orthogonal
de Bn sur D1 .
~ sur une droite
1. On rappelle que la projection vectorielle orthogonale de l’espace euclidien E
~ de vecteur directeur ~u vérifie :
vectorielle D
~ u>
~ ! < w|~
⇡:w
~ 2E
~u.
< ~u|~u >
!
~ sur D
Donner une expression de ⇡1 ⇡2 où ⇡i est la projection vectorielle orthogonale de E
i.
2. Montrer qu’il existe une application
de D1 dans elle même telle que pour tout n 2 N,
An+1 = (An ). Démontrer que est strictement contractante.
3. Justifier que les suites (An )n et (Bn )n convergent et que leurs limites respectives M et N
vérifient
- (M N ) est perpendiculaire à D1 et D2
- M N = inf{XY /X 2 D1 , Y 2 D2 }.
4. Un programme MAPLE qui réalise la figure ci-dessus :
(a) Justifier que la fonction P(A,U,M) calcule le projeté affine orthogonal de M sur la droite
passant par A, de vecteur directeur U :
ps:=(U,V)->sum(U[i]*V[i],i=1..3);
P:=(A,U,M)->evalm(A+ps(evalm(M-A),U)*U/ps(U,U));
(b) Écrire une fonction Phi :=proc(A,U,B,V,M,n) qui prend en arguments des triplets
A, U, B, V, M et un entier n et retourne les listes [A0 , A1 , ..., An ] et [B0 , B1 , ..., Bn 1]
lorsque A0 est le projeté orthogonal de M sur D1 .
voir corrigé en 11
Exemples de sujets dans lesquels intervient le théorème de point fixe de Banach :
– CPP 2000-MP ;
– CPP 2001-MP (équation intégrale de Fredholm) ;
– CCP 2009-MP (systèmes dans R2 )
23
4
Espaces vectoriels normés en dimension finie
Dans cette section E est un espace vectoriel de dimension finie sur K = R ou C. La plupart des
résultats obtenus sont faux dans le cas générique ou n’ont pas de sens en dimension infinie.
4.1
Suites des composantes dans une base, équivalence des normes
On suppose ici que E est de dimension N et qu’il admet pour base la famille (ei )1iN . On note
(Xn )n une suite d’éléments de E avec
Xn =
N
X
x(i)
n ei .
i=1
Proposition 19 des suites de composantes aux suites de vecteurs
(i)
Si les N suites de composantes (xn )n sont convergentes, de limites respectives li , alors pour toute
norme N sur l’ev E, la suite (Xn ) est N convergente de limite :
X
L=
li e i .
Démonstration Application facile de l’inégalité triangulaire.
Proposition 20 réciproque de la proposition précédente ; des suites de vecteurs aux suites des
composantes
Si la suite (Xn )n d’éléments de E, evn de dimension finie, converge vers L pour la norme N , alors
(i)
les suites des composantes (xn ), convergent dans K vers les coordonnées correspondantes Li de
L.
Démonstration
Résultat plus difficile. L’exercice qui suit propose une démonstration dans un espace réel de dimension 2, comme une belle application du théorème de Bolzano-Weierstrass dans R ou C; on l’adapte
à une démonstration par récurrence en considérant l’espace produit (E 0 , N ) = (E ⇥ K, N ) la norme
produit étant définie par N (X) = X(X 0 , x) = sum(N (X), |x|).
Exercice 33
Soit (Xn )n une suite dans un K evn, (E, N ), de dimension 2, de base (e1 , e2 ).
Posons Xn = xn e1 + yn e2 .
1. Justifier que N (Xn )
| |xn |N (e1 )
2. On suppose que lim N (Xn ) = 0.
|yn |N (e2 ) |.
(a) Montrer que si (xn )n ne converge pas vers 0, il existe une suite extraite (xnp )p telle que
9m > 0, 8p 2 N, |xnp |
(b) En déduire que la suite zp =
m.
y np
est bornée.
x np
(c) A l’aide d’une suite extraite de |zp |, ainsi que de vos neurones, concluez.
24
3. Montrer que si lim N (Xn
X) = 0, alors les suites de coordonnées vérifient :
lim xn = x, lim yn = y.
voir correction en 10.1.2.
Une fois ce dernier résultat établi, on démontre facilement le théorème fondamental suivant :
Théorème 21 équivalence des normes en dimension finie
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Démonstration Si une suite (Xn ) est N1 convergente, les suites de ses composantes convergent,
elle est alors convergente pour une norme N2 quelconque. On sait qu’il existe dans ce cas un réel
↵ > 0 tel que N2  ↵N1 . Par symétrie les normes sont équivalentes.
Remarque : En dimension finie, les suites convergentes, les fonctions continues, les ouverts, les
parties bornées, les fermés, les parties denses, la continuité, les limites... ne dépendent pas de la
norme. On n’a donc pas à préciser pour quelle norme une suite converge et la locution ”espace
vectoriel normé de dimension finie sur K” a un sens. Par contre les boules sont attachées à la norme
qui les définit.
Attention, ce résultat est toujours faux en dimension infinie.
4.2
Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Théorème 22 de Bolzano Weierstrass
Dans un espace de dimension finie, de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
Démonstration On le démontre par récurrence sur la dimension de l’espace en raisonnant comme
en dimension 2 (preuve de BW dans C chapitre ”Topologie de R et C”).
Exercice 34
On considère une suite de matrices symétriques réelles convergente : (Sn )n 2 Mk (R)N .
1. La limite est elle symétrique ?
2. On sait que pour chaque entier n, Sn est orthogonalement semblable à une matrice diagonale
Dn = diag( n1 , n2 , ..., nk ), c’est à dire une matrice Pn 2 On (R) telle que Pn 1 Sn Pn = Dn .
Justifier qu’il existe une sous-suite de (Pn )n qui converge dans Mn (R).
3. Que peut on dire des suites de valeurs propres ?
4.3
Suites de Cauchy en dimension finie
Une conséquence de la propriété de Bolzano-Weierstrass est qu’en dimension finie les suites de
Cauchy sont convergentes. Ceci nous fournit un critère de convergence dont il faut savoir se servir
à l’occasion .
25
Théorème 23 les evn de dimension finie sont complets
Dans un evn de dimension finie une suite converge ssi c’est une suite de Cauchy. On dit que
les evn de dimension finie sont complets.
Démonstration conséquence directe de la propriété de B-W et des propriétés générales des suites
de Cauchy. La démonstration est la même que dans le chapitre topologie de R.
Exercice
35 Soit (E, || ||), un espace normé,
1. Montrer que tout sous- espace vectoriel de dimension finie de E est fermé.
2. On se propose de démontrer que si F est un sev fermé de E et G un sev de dimension finie
de E, alors F + G est fermé dans E :
(a) Justifier l’existence d’un sev G0 de E tel que F + G = F
G0 ?
(b) On considère une suite (xn )n d’éléments de F + G qui converge vers un élément ` 2 E.
i. Montrer que l’on peut écrire xn = an + bn avec an 2 F et bn 2 G0 .
ii. Montrer que si (bn )n est bornée, ` 2 F
G0 .
iii. Que faire lorsque (bn )n n’est pas bornée ?
(c) Conclure.
corrigé en 10.1.2
4.4
Continuité en dimension finie
Cette section est fondamentale. On rappelle le théorème :
Théorème 24 continuité des coordonnées
Lorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnées dans une base (ei )i quelconque,
x=
n
X
i=1
xi ei 2 E ! xi 2 K,
sont des fonctions continues.
Théorème 25 Soit f une application de E normé (de dimension qque) dans F normé et de
dimension finie, a un point de E.. Les propositions suivantes sont équivalentes :
– f est continue en a
– il existe une base (ej )j de F dans laquelle les fonctions composantes de f sont continues en a;
– dans toute base de F, les fonctions composantes de f sont continues en a.
Rappelons que les fonctions composantes de f dans (ej )j , sont les fonction fj définies par
f (x) =
n
X
fj (x)ej .
j=1
Exemples d’applications continues dans les e.v.n. :
Comme les applications coordonnées (x1 , x2 , ..., xn ) 2 K3 ! xi 2 K ou A 2 Mn (K) ! ai,j 2 K,
sont continues, il s’ensuit que :
26
1. Toute aplication linéaire de (E, || ||E ) de dimension finie, dans F normé, de dimension quelconque, est continue
P
↵n
1 ↵2
2. Les fonctions polynômes de plusieurs variables P (x1 , x2 , ..., xn ) = ↵ a↵ x↵
1 x2 ...xn , sont
des fonctions continues.
3. Des parties de R2 de la forme {xy = 1}, {xy
sont ouvertes...
1}, sont fermées alors que {xy < 1}, {xy < 1},
4. La fonction déterminant définie sur M2 (K), à valeurs scalaires,
a1,1
a1,1
a1,1
= a1,1 a2,2
a1,1
a2,1 a1,2
est une fonction continue : écrire l’arbre syntaxique, vérifier que toutes les opérations conservent
la continuité.
5. La fonction déterminant
définie
P
Q sur Mn (K), est également continue (récurrence ou formule
explicite det(A) =
"( ) i ai, (i) );
6. Pour n 2, l’ensemble des matrices inversibles GLn (K) = {M ; det(M ) 6= 0} est un ouvert
de l’espace normé de dimension finie Mn (K).
Théorème 26 continuité des applications linéaires en dim finie
Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le même corps. Si E est de dimension finie, les
applications linéaires de E dans F sont des fonctions continues.
27
5
Connexité par arcs
Définition 12 connexité par arcs
Une partie X d’un evn (E, N ) est connexe par arcs ssi pour tout couple (a, b) 2 X, il existe
une courbe paramétrée continue, : t 2 [0, 1] ! (t) 2 X telle que (0) = a et (1) = b.
Théorème
27 généralités
1. Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles ;
2. Un convexe de E est connexe par arcs ;
3. Soit f : D ⇢ E ! F une application continue, l’image par f d’un connexe par arcs de D est
un connexe par arcs dans F ;
4. Soit f : D ⇢ E ! R une application continue, l’image par f d’un connexe par arcs de D est
un intervalle dans R et f satisfait à la propriété de la valeur intermédiaire ;
Démonstration on fait usage du TVI
Exercice
36
1. Montrer que le plan privé d’une droite n’est pas connexe par arcs.
2. Une hyperbole, une ellipse, une parabole sont elles connexes par arcs ?
3. Montrer qu’une intersection de connexes par arcs est connexe par arcs ; que dire d’une
réunion ?
4. R⇤ est il connexe par arcs dans R?
5. R⇤ ou C⇤ sont ils connexes par arcs dans C?
6. Les matrices inversibles constituent elles une partie connexe par arcs dans Mn (K)? On
distinguera avec soin les cas réels et complexes.
7. Un ensemble étoilé par rapport à un de ses points A, est il connexe par arcs ?
2
1
–2
–1
1
–1
–2
28
2
Exercice
37 Les hyperboloı̈des suivants sont ils connexes par arcs ?
Equation réduite
2
2
2
2
x
y
+ 2
a2
b
nom
2
z
=0
c2
x2
y2
+
a2
b2
cône(sommet à l0 orig.)
z2
=1
c2
z2
=
c2
1
représ. paramétrique
8
< x = am cos ✓
y = bm sin ✓
:
z = cm
8
< x = a cos cos ✓
y = b cos sin ✓
:
z = c sin
2
x
y
z
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
x2
y2
+
a2
b2
f igure
ellipso¨◆de
hyperbolo¨◆de à une nappe
hyperbolo¨◆de à deux nappes
29
8
< x = a ch cos ✓
y = b ch sin ✓
:
z = c sh
8
< x = a sh cos ✓
y = b sh sin ✓
:
z = ±c ch
6
Notion de compact
6.1
En dimension quelconque
Définition 13 partie compacte
On dit qu’une partie X de E, ev normé est compacte si et seulement si toute suite d’éléments
de X admet une sous-suite convergente dont la limite est dans X (ou bien toute suite d’éléments
de X admet une valeur d’adhérence dans X).
Théorème
28
1. Une partie compacte est fermée et bornée (la réciproque est fausse en général, vraie en
dimension finie) ;
2. Dans un compact, toute suite de Cauchy converge ;
Démonstration
1. deux implications : les contraposées sont faciles à établir ;
2. c’est la propriété de BW qui permet de conclure, comme dans R, que les suites de Cauchy
d’un compact convergent.
Théorème
29
Si (xn )n est une suite convergente d’un evn (E, N ), la partie X = {xn ; n} [ lim xn est compacte ;
Démonstration
Théorème 30 image d’un compact par une application continue
Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f une application continue de D ⇢ E dans F.
L’image par f de toute partie X compacte de E, est une partie compacte de F.
Démonstration analogue à celle du théorème correspondant sur R.
Théorème 31 continuité uniforme
Une fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Démonstration analogue à celle du théorème de Heine sur R.
Exercice 38 compacts en dim quelconque
Donner des exemples de compacts en dimension quelconque (penser aux résultats qui précèdent).
Exercice
39 brèves à connaı̂tre (rappels du cours topologie de R ou C)
30
1. Montrer que si f est une fonction (à valeurs réelles ou complexes) de classe C 1 sur R, alors
f est lipschitzienne sur tout intervalle [a, b] ⇢ R. Est-elle aussi lipschitziennne sur R?
2. Montrer que pour toute fonction sur C telle que
8M > 0, 9r > 0, 8z 2 C |z|
r ) |f (z)|
M
|f | atteint son minimum.
3. (a) Montrer que toute fonction sur C telle que
9M > 0, 9r > 0, 8z 2 C |z|
r ) |f (z)|  M.
est bornée et atteint son maximum.
(b) Montrer que pour tout polynôme P, la fonction x ! P (x)e
elle ses bornes ?
x2
est bornée sur R. Atteint
4. (a) Rappeler la définition d’un fonction continue par morceaux sur [a, b].
(b) Justifier que si f est continue par morceaux sur [a, b], il existe des réels m et M tels que
8x 2 [a, b], m  f (x)  M.
Exercice 40
Soit (E, || ||), un evn et K un compact de E. Montrer qu’il existe un élément x0 2 K (respectivement x1 2 K) tel que ||x0 || = inf x2K ||x||, (respectivement ||x1 || = supx2K ||x||).
Exercice 41 boule unité en dimension infinie, un exemple...
On considère l’espace des fonctions continues sur [0, 2⇡], à valeurs dans C, muni du produit scalaire
complexe :
Z 2⇡
1
(f |g) =
f (t)g(t) dt.
2⇡ 0
1. Vérifier que la famille des fonctions fn := x ! cos nx est orthogonale ; est elle orthonormale ?
2. Calculer ||fn
fm ||2 ;.
3. Les boules fermées sont elles des compacts dans cet espace ?
6.2
Compacité en dimension finie
Théorème 32 signification de la compacité en dim finie
Une partie X de E, ev normé de dimension finie, est compacte ssi elle est fermée et bornée.
Démonstration : c’est une conséquence du théorème de Bolzano-Weierstrass.
6.3
Compacité, exercices
Exercice 42 classique, A SAVOIR
Soit (E, || ||) un evn de dimension finie. Soit f une fonction continue sur E telle que
8M > 0, 9↵ > 0, 8x 2 E, ||x||
↵ ) f (x)
M,
alors f admet un minimum global sur E.
Indication : saisir f (0) par exemple, puis M > f (0)...
Voir aussi l’exercice 44 où l’on reprend la même idée, l’exercice 66 ( l’algorithme du gradient)...
31
Exercice 43 ** boule renfermant un borné
Soit E normé de dimension n et A une partie non vide et bornée de E.
1. Montrer qu’il existe un plus petit réel r tel que A soit contenu dans une boule de rayon r.
2. On suppose désormais que E est un espace euclidien. Montrer qu’il n’existe qu’une seule
boule de rayon r contenant A.
3. On suppose que n = 2, on note
b|||(a, b) 2 A2 }.
= sup{||a
Montrer que
p
3r  .
Exercice 44 distance d’un point à un fermé
Soit E, normé de dimension finie, et a 2 E.
1. Montrer que si K est un compact de E, il existe un point x0 2 K tel que
||a
x0 || = inf ||a
x||.
x2K
2. Montrer que si F est fermé non vide de E, il existe un point x0 2 K tel que
||a
x0 || = inf ||a
x||.
x2F
3. Montrer que si F est un sev de E, il existe un point x0 2 K tel que
||a
x0 || = inf ||a
x||.
x2F
Prouver qu’il y a unicité lorsque l’espace est euclidien. Qu’en est il sinon ? Faire des dessins.
Exercice 45 distance d’un compact à un fermé
Soit E, normé de dimension finie, et A un compact de E.
1. Montrer que si B est compact, il existe a 2 A et b 2 B tels que
||a
b|| =
inf
(x,y)2A⇥B
||x
y||.
2. Montrer que cette propriété reste vraie pour B fermé
3. Donner un contre exemple lorsque B n’est pas fermé.
Exercice 46
On considère un convexe compact C dans un evn E, et f une fonction 1-lipschitzienne
✓ de E
◆ dans
1
1
lui-même telle que f (C) ⇢ C. Montrer en étudiant des fonctions fn : x 2 E ! a + 1
f (x),
n
n
que f admet un point fixe dans C.
Exercice 47 Projection sur un convexe fermé de Rn , d’après le sujet CCP 2001 :
Soit E = Rn muni de son produit scalaire canonique.
1. Démontrer que si (x, y) 2 E 2 , on a : |(x|y)|  ||x|| ⇥ ||y|| (inégalité de Schwarz).
2. Montrer que |(x|y)| = ||x|| ⇥ ||y|| si et seulement si x et y sont colinéaires.
3. Montrer que si (a, b, c) vérifie : b 6= c, ||a
||a
b|| = ||a
b+c
|| < ||a
2
c||, alors
b||.
Donner impérativement une interprétation géométrique et faire un dessin.
32
4. Soit F un fermé non vide de Rn , soit x 2 Rn ; montrer qu’il existe u 2 F tel que ||x u|| 
||x y|| pour tout y 2 F (on supposera d’abord que F est borné avant d’étudier le cas
général).
5. Soit A un convexe fermé non vide de Rn , montrer, en utilisant les questions précédentes, que
pour tout x 2 Rn , il existe un unique u 2 A tel que ||x u||  ||x y|| pour tout y 2 A.
Ceci établit le théorème de la Projection sur les convexes fermés de Rn :
soit A un convexe fermé non vide de Rn , il existe une unique application, notée P, de Rn
dans A qui vérifie :
||x P (x)|| = min ||x y||,
y2A
pour tout x 2 R . P (x) s’appelle la projection de x sur A.
n
6. Montrer que s’il existe ↵ 2 A tel que : (x
↵|y
↵)  0 pour tout y 2 A, on a : ↵ = P (x).
7. Supposons qu’il existe y 2 A tel que : (x P (x)|y P (x) > 0. Soit alors S : [0, 1] ! R définie
par :
S(t) = ||(x P (x) t(y P (x))||2 .
Montrer qu’il existe t 2]0, 1[ tel que : S(t)  ||(x
P (x)||2 .
8. Déduire des questions précédentes que u = P (X) si et seulement si : u 2 A et (x u|y u)  0
pour tout y 2 A.
9. Soit (x, y) 2 (Rn )2 , montrer que : (x y|P (x) P (y)) ||P (x) P (y)||2 . En déduire que P
vérifie les propriétés suivantes : P est continue, P (Rn ) = A et P (x) = x si x 2 A.
10. Montrer que si x 2
/ A, alors P (x) 2
/ Å(raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe une
boule de centre P (x), de rayon strictement positif, incluse dans A).
Exercice 48 maximum sur un compact (fermé borné)
Soit f définie sur Rn par
n
X
f (~x) =
x2i ,
i=1
et K = {~x / 8i, xi
0 et x1 + ... + xn = 1}.
1. Montrer que f admet un maximum et un minimum sur K.
2. On suppose n = 2. Déterminer géométriquement puis par le calcul, les extrema de f sur K;
3. Reprendre l’étude pour n = 3.
4. Généraliser.
33
7
Exercices divers et variés
Exercice 49 à propos de normes
Soit E l’ev des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans R.
1. Montrer que l’on définit une norme sur E en posant
Z 1
N (f ) = |f (0)| +
|f 0 (t)| dt.
0
2. Montrer que pour toute fonction de classe C 1 sur [0, 1] et pour tout x 2 [0, 1], |f (x)|  N (f ).
En déduire que ||f ||1  N (f ).
Quelle(s) conséquence(s) peut on en tirer parmi les énoncés suivants :
- toute suite de E qui converge pour N converge pour || ||1 ,
- toute suite de E qui converge pour pour || ||1 converge pour N ?
Justifier votre réponse.
3. (a) Soit n 2 N⇤ , on pose gn (x) = cos(n⇡x). Montrer l’égalité des deux intégrales qui suivent
avant de les calculer :
Z 1
Z n⇡
du
|gn (t)| dt =
| cos(u)|
n⇡
0
0
sin n⇡t
(b) On pose fn (t) =
. Étudier la convergence de la suite (fn )n pour chacune des
n
deux normes || ||1 et N.
(c) Ces deux normes sont elles équivalentes ?
voir corrigé en 10.1.2
Exercice 50 à propos de normes et de préhilbertiens
Soit n 2 N⇤ . On considère l’espace vectoriel E = Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels
et on définit : E 2 ! R enP
posant (A, B) = T race(tAB).
n
Précisons que T race(M ) = i=1 mi,i .
1. Vérifier que est un produit scalaire sur E. Montrer que
(A, B) =
n X
n
X
ai,j bi,j .
i=1 j=1
2. p
Montrer que les matrices orthogonales à coefficients réels appartiennent à une boule de rayon
n et qu’elles forment un compact.
3. On considère le sev de matrices telles que tA = A et le sev des matrices telles que tA = A.
Que peut on dire de ces deux sous-espaces ?
Exercice 51
On admet que l’ensemble ci-dessous est la boule unité fermée pour une norme N sur R2 .
1. Expliciter r < r0 tels que B̄2 (0, r) ⇢ B̄N (0, r) ⇢ B̄2 (0, r0 ), B̄2 (0, r) désignant une boule pour
la norme || k|2 ... Pas d’autre justification que le dessin.
2
1.5
1
0.5
–3
–2
–1
0
–0.5
–1
34
1
2. En déduire des constantes positives ↵ et
telles que
↵|| ||2  N  || ||2 .
3. Représenter la boule de centre a et de rayon 1/4 pour la norme N. Justifier.
4. Que penser du même énoncé avec le dessin suivant :
2
1
–2
–1
1
2
–1
–2
Indication : montrer qu’une boule est nécessairement convexe !
Exercice 52
Soit (E, || ||), un espace normé, U une partie de E, et a 2 E. On note a+U l’ensemble des éléments
de la forme a + x, x 2 U.
1. Montrer que si U est ouvert, a + U l’est aussi.
2. Qu’en est il si U est fermé ?
3. Qu’en est il si U est compacte ?
Exercice 53 ENSEA-2003
Soient (E, || ||) un K-evn.
1. Montrer que B, la boule unité fermée de E,
– est convexe, fermée,
– symétrique par rapport à 0,
– que E = [ >0 ( B),
– {0} = \ >0 ( B).
2. * Réciproquement, montrer que si une partie X de E vérifie ces propriétés, il existe une
norme N sur E pour laquelle X est la boule unité fermée. N est-elle équivalente à || ||?
Exercice 54 les fermés ouverts de E
Soit E un evn de dimension quelconque...
1. Justifier que E est ouvert et fermé. Que dire de ;?
2. On suppose que A est une partie de E à la fois ouverte et fermée. Montrer que A = E ou
A = ;.
indication : raisonner par l’absurde en supposant A et {E A non vides, en traçant le segment reliant
un point de A à un point de {E A.
Exercice
55
2
0 0
On considère la matrice A = 41 0
0 1
1. Calculer les puissances de A;
3
1
05
0
2. Déterminer la limite de la suite (Cn )n où Cn =
35
1
(I3 + A + A2 + ... + An ).
n+1
Exercice 56
On munit R[X] de la norme || || définie par
n
X
ai X i =
i=0
n
X
i=0
|ai |.
1. Comparer ||P ⇥ Q|| et ||P || ⇥ ||Q||.
2. L’espace (R[X], || ||) est il un espace de Banach ?
Exercice 57
Soit E l’espace des fonctions de classe C 2 de [0, 1] dans R telle que f (0) = f 0 (0) = 0.
1. Vérifier que l’on définit une norme sur E en posant
N (f ) = ||f + 2f 0 + f ”||1 .
2. Comparer les normes N et || ||1 .
Exercice 58 de brefs énoncés (corrigés en 10.1.2)
1. Soit A la partie R2 [X] formée des polynômes de degré 2 scindés à racines simples. S’agit il
d’un fermé de R2 [X]?
2. Soit B la partie R2 [X] formée des polynômes (de degrés  2) scindés à racines simples. S’agit
il d’un ouvert ou d’un fermé de R2 [X]?
Pour étudier les questions analogues pour des degrés supérieurs il nous faut d’autres outils
(résultants dans le problème CCP 2009- maths 2).
3. Soit E un K evn. Montrer qu’une forme linéaire sur E est continue ssi Keru est un fermé
de E.
Exercice 59 ⇤
Soit E l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R. On considère une norme N sur E. On note
A = {f 2 E; f (0) = 0}.
1. Montrer que A est soit fermé soit dense dans E.
2. Donner un exemple de norme tel que A soit fermé et un exemple de norme pour laquelle A
est dense et non fermé.
Exercice2 60 valeurs d’adhérence pour3 une suite de matrices
0
1
0
0
0
7
6
6 1/2 0
1/2 0
0 7
6
7
6
7
6
1/2 0
1/2
0 7
Soit P = 6 0
7.
6
7
6 0
0 1/2 0
1/2 7
4
5
0
0
0
1
0
1. Montrer que P est semblable à une matrice diagonale.
2. Montrer que la suite des puissances (P n )n admet plusieurs valeurs d’adhérence.
Exercice
61 suites
1. Soit (zn )n une suite de complexes telle que zn+1 =
(z) =
1
↵2
(zn +
). En étudiant
2
zn
définie par
1
↵2
(z +
)
2
z
sur une boule fermée B(±↵, r), montrer que pour certains choix de z0 elle converge. Est-ce
toujours le cas ? Cette suite est elle toujours bien définie ?
36
2. la même récurrence dans M2 (C).

a 0
(a) Soit A =
une matrice diagonale inversible, de valeurs propres inversibles. On
0 b
définit une suite de matrices carrées (Mn ) en choisissant M0 et en posant :
8
<Mn+1 = O si Mn n0 est pas inversible
1
:Mn+1 = (Mn + A Mn 1 ), sinon
2
Montrer que pour certains choix de M0 elle converge vers une matrice de carré A.
(b) Montrer que pour toute matrice diagonalisable de spectre contenu dans R⇤+ , il existe
une suite de matrices (Rn )n définie par la même relation de récurrence, qui converge
vers R telle que R2 = A.

a c
(c) Lorsque A =
, l’ exercice 62 aborde une étude détaillée.
0 a
37
Exercice 62 Suite de matrices, méthode de Newton
Cet exercice fait suite aux questions abordées dans l’exercice 2 où nous avons étudié cet algorithme
avec des scalaires puis avec des matrices diagonales. Nous utilisons ici les résultats du cours sur
les espaces normés et des notions sur les fonctions de plusieurs variables vues en première année.
On considère les deux matrices à coefficients réels
"
#
"
#
a c
x 0 y0
A=
, M0 =
0 a
0 x0
et on définit la suite de matrices (Mn )n en posant
(
1
Mn+1 = (Mn + A Mn 1 ),
2
Mn+1 = 0,
si Mn est inversible ;
sinon.
On suppose a > 0.
1. Ecrire une fonction MAPLE qui prend en arguments, une matrice A, une matrice M0 , et un
entier n et retourne le nième terme de la suite (Mn )n . 1 Qu’observe-t-on ?

x
yn
2. On note Mn = n
. Donner une relation de récurrence vérifiée par les suites de coef0 xn
ficients (xn , yn ).
p
p
3. Montrer qu’il existe ↵ > 0 tel que si a ↵ < x0 < a + ↵, alors (xn )n converge.
4. Une fonction de deux variables
(a) Ecrire la relation de récurrence ci-dessus sous la forme (xn+1 , yn+1 ) = F (xn , yn ),
préciser l’ensemble de définition de F que l’on notera U.
(b) Justifier que U est un ouvert (pourquoi cette question a-t-elle un sens ?) Justifier que F
est de classe C 1 sur cet ouvert.
(c) Montrer que V = {X/x > 0} est ouvert convexe et que F (V ) ⇢ V. On suppose pour la
suite que x0 > 0; la suite (xn , yn )n est elle bien définie ?
(d) On suppose que la suite de matrices (Mn )n est convergente. Que peut on dire de sa
limite ? Montrer que F admet un point fixe au moins.
p
c
(e) Calculer la matrice jacobienne de F. Que vaut elle en A = ( a, p )?
2 a
5. Rappeler l’inégalité des accroissements finis pour les fonctions vectorielles de plusieurs variables. Justifier que, pour (x0 , y0 ) bien choisi, la suite (Mn )n est convergente.
6. Vitesse de convergence⇤⇤ .
Soit || ||, une norme de R2 .
(a) Soit (t) = F (A + t(u, v)). Ecrire la formule de Taylor reste intégrale pour à l’ordre
1. En déduire une majoration de ||F (X) F (A)|| en fonction de ||X A||2 .
(b) Majorer ||Xn
Exercice
A|| où Xn est (xn , yn ).
63 mines**
1. Montrer que R et R2 ne sont pas di↵éomorphes ( cours sur les fonctions de plusieurs variables).
2. Montrer que R et R2 ne sont pas homéomorphes (un homéomorphisme entre deux parties A
et B d’evn E et F, est une bijection : A ! B telle que , 1 sont toutes deux continues).
Exercice 64
Soit E = C([ 1/2, 1/2], K) muni de la norme || ||1 .
1. fichier RacineMatriceBabylone.mws
38
1. Montrer que la suite des fonctions polynômiales
pn (x) =
n
X
xn
k=0
a une limite dans cet espace normé.
2. En déduire qu’il existe un sous-espace de E qui n’est pas fermé.
Exercice 65 une suite de polynômes
On considère les polynômes de K[X], définis par Fn (X) = 1 + X + X n .
1. Expliciter la suite des composantes selon le vecteur X 7 . Déterminer la limite de chaque suite
de composantes dans la base canonique.
R1
2. Etudier la suite des polynômes (Fn ) dans K[X] muni de la norme N (F ) = 0 |F (t)| dt.
R2
3. Etudier cette même suite dans K[X] muni de la norme N 0 (F ) = 0 |F (t)| dt.
4. Que devient la proposition 19 en dimension infinie ?
Exercice 66 algorithme du gradient (Centrale d’après l’officiel de la Taupe)
On considère une fonction J : Rn ! R de classe C 1 telle que
lim
||x||!+1
J(x) = +1,
et dont le gradient, noté rJ(x), vérifie :
||rJ(x)
rJ(y)||  M ||x
y||.
1. Montrer que J admet un minimum global.
2. (a) Soient x et y deux éléments de Rn . Montrer, en étudiant
que
Z 1
J(y) = J(x)+ < rJ(x)|y x > +
< rJ(x + u(y
0
: t 2 [0, 1] ! J(x + t(y
x))
rJ(x)|y
x)),
x > du.
(b) On considère une suite (xk )k , d’éléments de Rn , telle que
(
x0
2 Rn ,
xk+1 = xk ⇢k rJ(xk ).
2
, la suite des valeurs (J(xk ))k décroı̂t.
M
(c) Montrer que si J admet un seul point singulier, !, (xk )k converge vers !.
Montrer que si, pour tout k, 0 < ↵  ⇢k 
<
3. Mise en œuvre sous MAPLE : voir fichier...
voir corrigé en 10.1.2
Exercice 67 Avec MAPLE pour les premières questions ; méthode de Jacobi (systèmes linéaires)
On se propose d’étudier un système linéaire AX = b avec A 2 Mn (R), b 2 Rn , d’inconnue X 2 Rn .
Lorsque la diagonale de A ne contient pas de terme nul, on définit par récurrence une suite de
vecteurs de Rn , (Xm )m où X0 2 Rn et Xm+1 a pour iième coordonnée
0
1
n
X
1 @
(m+1)
(m)
xi
=
bi
ai,j xj A .
ai,i
j=1,j6=i
39
1. Justifier que si (Xm )m converge, sa limite est une solution de AX = b.
2. (a) Programmer une fonction J(A,b,X) qui prend en arguments une matrice carrée A
deux vecteurs b et X (de tailles adaptées) et retourne le vecteur X 0 défini par l’itération
ci-dessus.
On pourra observer que X 0 = (X) où (X) = D 1 (b EX), D étant la matrice
diagonale diag(a1,1 , ..., an,n )...
(b) Calculer les 20 premiers termes d’une
2
1
6
6 2
6
A=6
6 3
4
4
telle suite lorsque
3
2 3 4
2 3
1
7
7
3 4 5 7
6 27
7
7, b = 6
4 15
4 5 6 7
5
2
5 6
7
et avec des premiers termes X0 de votre choix , puis recommencer avec une matrice A
telle que, pour chaque i 2 {1, ...n},
|ai,i | >
n
X
k=1
|ai,k |.
k6=i
(c) Démontrer que la suite récurrente (Xm )m converge quelque soit le terme X0 choisi, pour
certaines matrices A.
voir corrigé en 10.1.2
40
8
Continuité des applications linéaires
8.1
Caractérisation des applications linéaires continues
Théorème 33 Soient (E, || ||E ) et (F, || ||F ), deux espaces normés et f une application linéaire
de E dans F. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. f est continue,
2. f est continue en 0,
3. il existe M > 0, tel que pour tout x 2 E, ||f (x)||F  M ||x||E ,
4.
sup
x6=0
||f (x)||F
< +1
||x||E
5. f est bornée sur la sphère unité de (E, || ||E )) :
sup ||f (x)||F < +1,
N (x)=1
6. il existe M > 0, tel que pour tout x, y 2 E, ||f (x)
(ie : f est M lipschitzienne).
f (y)||F  M ||x
y||E ,
Exercice 68 des exemples
• Soit C l’espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans C. Etudier la continuité des
applications suivantes selon que C est muni la la norme || ||1 , ou de la norme || ||1 .
: f 2 C ! f (0) 2 C;
Z 1
:f 2C!
f (t) dt 2 C;
0
2
(f, g) 2 C ! f (0) + g(0) 2 C;
• Soit C l’espace des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans C, muni de la norme || ||1 .
Etudier la continuité de l’application :
1
: f 2 C ! f 0 (0) 2 C,
selon que C 1 est muni la la norme || ||1 , ou de la norme f ! ||f ||1 + ||f 0 ||1 .
Exercice 69 un exemple de la vraie vie
On considère le problème de Cauchy
8
< y”(t)
y(0)
: 0
y (0)
y(t)
= u(t)
=0
=0
1. Pour faire vite : un calcul avec MAPLE donne
> restart;
> ed:=diff(y(x),x,x)-y(x)=u(x);
> dsolve({ed,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(x));
41
d2
y (x)
dx2
1
y (x) =
2
✓ Z
y (x) = u (x)
x
e
z1
u ( z1 ) d z1 +
0
Z
Pour faire joli : écrire la solution sous la forme
Z x
T (u)(x) =
(x
x
e
z1
u ( z1 ) d z1 e
0
2x
◆
e
x
t)u(t) dt.
0
2. Montrer que T est un opérateur linéaire continu de (C([0, a], C), || ||1 ) dans lui-même.
3. Pour faire pro : retrouver ce résultat par la méthode de variations des constantes (une fois
trouvées les solutions de l’équation homogène, rechercher la solution de l’équation avec second
membre sous la forme K(t)z0 (t) où z0 est ...)
Exercice 70
Soit E un K evn. Montrer qu’une forme linéaire sur E est continue ssi Keru est un fermé de E.
Exercice 71
Soit A une partie non vide de R. On définit sur R[X] une application N en posant
N (P ) = sup |P (x)|.
x2A
1. Donner une CNS pour que N soit une norme.
2. La condition étant réalisée donner une CNS pour que la forme linéaire P ! P (0) soit
continue.
8.2
Cas de la dimension finie
Théorème 34 continuité des applications linéaires en dimension finie
• Si E et F sont des ev normés, E de dimension finie sur le corps K, toute application linéaire de
E dans F est continue.
• La fonction x ! ||f (x)||F est donc continue et elle atteint ses bornes sur S qui est compacte
(fermé bornée dans un evn de dimension finie), et il existe x0 2 S tel que
||f (x0 )||F = sup ||f (x)||F .
N (x)=1
8.3
Continuité des applications bilinéaires
Théorème 35
• Soient (E, NE ), (F, NF ) et (G, NG ) trois evn sur le corps K. On munit (E ⇥ F ) de la topologie
produit. Une application bilinéaire f : E ⇥ F ! G est continue ssi il existe une constante k > 0
telle que pour tous (x, y) 2 E ⇥ F,
NG (f (x, y))  kNE (x)NF (y).
• Lorsque E et F sont de dimensions finies, les applications bilinéaires de (E ⇥ F dans G sont
continues.
42
Démonstration
Exercice
72 exemples, préciser l’énoncé, étudier la continuité ;
1. Que se passe-t-il en dim finie ?
2. multiplication externe sur un normé ;
3. Multiplication des matrices ;
4. Composition des endomorphismes continus ;
5. produit scalaire sur E préhilbertien ;
6. Dans C, l’espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans C, muni de || ||1 ,
f 2 C ! f (0)
8.4
✓Z
1
f (t) dt
0
◆
2 C;
Normes subordonnées
Définition 14 normes sur L(E, F ) où E et F sont normés
Soient (E, N ) et (F, || ||) deux espaces normés sur le corps K. On définit une norme sur les sev de
L(E, F ) formé des applications linéaires continues en posant
|||f ||| = sup
x6=0
||f (x)||F
< +1
N (x)
(8.1)
Définition 15 normes de matrices
Sur l’espace des matrices carrées on peut définir trois notions
1. la notion générale de norme sur l’espace vectoriel, qui ne nous intéresse pas particulièrement
2. la notion de norme d’algèbre ou norme matricielle : ce sont les normes qui vérifient aussi
la propriété
||AB||  ||A|| ||B||.
3. la notion de norme subordonnée ou de norme associée à une norme de Kn : à toute norme
|| || ou N sur Kn , on associe
⇢
||AX||
e = sup N (AX)
|||A||| = sup
; ||X|| > 0 ou N
||X||
X6=0 N (X)
On définit ainsi une norme matricielle que l’on appelle norme subordonnée à ||
norme de Kn .
|| ou N ,
Remarque : la notion de borne subordonnée à un sens pour toute matrice, en e↵et, en dimension
finie la boule fermée B̄(O, 1) est compacte, son image par une application linéaire est donc bornée
et .
e une norme sur Mn (K), subordonnée à la norme N de KN .
Théorème 36 Soit N
– Pour tout vecteur X 2 KN , et toute matrice M, N (M X)  Ñ (M )N (X).
– Pour tout couple de matrices A, B N (AB)  Ñ (A)Ñ (B).
43
8.5
Normes subordonnées aux normes usuelles de Kn :
norme sur Kn
||x||1 =
norme matricielle subordonnée sur Mn (K)
n
X
k=1
|xk |
|||A|||1 = sup
j
||x||1 = sup |xk |
||x||2 =
k=1
|xk |2
!1/2
k=1
|||A|||1 = sup
k
n
X
n
X
k
|Ak,j |
n
X
j=1
|Ak,j |
|||A|||2 = (⇢(A⇤ A))
1/2
avec ⇢(A⇤ A) = supSp(A⇤ A) | |.
Remarques
1. Nous calculerons la troisième norme subordonnée ci-dessus après étude des espaces hermitiens.
2. si || || est une norme sur Kn , et si F 2 GLn (K), alors N : X ! ||F X|| est aussi une norme
e la norme subordonnée à N , on a :
sur Kn . Si ||| ||| est la norme subordonnée à || || et N
e (A) = |||F
N
1
A F |||
Théorème 37 théorème de Householder, relation avec les valeurs propres
e , la norme sur MN (K), subordonnée à une norme N de CN . Pour toute valeur propre
1. Soit N
de u, on a | |  Ñ (u). D’où
e (A)
⇢(A) = sup({| |; val. propre de A})  N
(8.2)
2. A l’inverse, pour tout " > 0, il existe une norme N sur Kn , telle que pour la norme subordonnée :
e (A)  ⇢(A) + ".
N
Démonstration Ce résultat, fort utile en analyse numérique, n’est pas au programme. Il est
toutefois indispensable que vous sachiez retrouver et redémontrer la propriété 8.2.
Quant à la relation inverse, on en donne une première approche dans l’exercice 81.
8.6
Recettes pratiques
Comment faire ?
– Pour établir la continuité des applications linéaires en dimension quelconque, on cherche une
constante positive M telle que pour tout X 2 E,
||f (X)||E  M ||X||F .
44
– Lorsqu’il est établi que f est continue, pour déterminer la norme subordonnée de f (voir
définition (8.1)), on cherche parmi les constantes M qui vérifient la relation précédente un M0
tel que
M0 = sup ||f (X)||F .
||X||E =1
On y parvient
– En montrant qu’il existe X 2 E 6= 0, tel que ||f (X)||F = M0 ||X||E .
Un tel X existe en dimension finie puisque la sphère unité est compacte et X ! ||f (X)||F est
continue.
En dimension infinie, c’est parfois possible ; voir les exercices 73 et le premier exemple de 76...
– A défaut de trouver un tel X, on cherche alors une suite (Xn )n d’éléments de E telle que
lim
||f (Xn )||F
= M0 .
||Xn ||E
C’est plus difficile, voir les exercices 75,76...
– Pour prouver que f n’est pas continue, on écrit la négation de la propriété caractérisant
la continuité des applications linéaires :
9K > 0, 8X 2 E, ||f (X)||F  K||X||E ,
qui est
8K > 0, 9X 2 E, ||f (X)||F > K||X||E .
Il suffit alors de mettre évidence une suite d’éléments (xn )n de E telle que
lim
n!1
||f (xn )||F
= +1.
||xn ||E
Faisons nous la main :
1. Soit C 0 l’espace des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans C, muni de la norme
|| ||1 . Etudier la continuité des applications :
1
: f 2 C 0 ! f 0 (0) 2 C;
D : f 2 C 0 ! f 0 2 C 0;
2. Soit C 0 l’espace des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans C, muni de la norme
N1 (f ) = ||f ||1 + ||f 0 ||1 . Etudier la continuité des applications :
1
: f 2 C 0 ! f 0 (0) 2 C;
D : f 2 C 0 ! f 0 2 C 0;
3. Soit Kn [X] muni de la norme que vous voulez (pourquoi une telle libéralité ?). Montrer que
la dérivation est continue. Calculer sa norme subordonnée lorsque
– Kn [X] est muni de la norme
N (P ) = sup |ai |;
0in
(notations évidentes !)
– Kn [X] est muni de la norme
N (P ) = sup |P (x)|;
x2[0,1]
– Kn [X] est muni de la norme
N (P ) = sup |P (x)|;
x2[0,1]
4. La dérivation est elle continue sur K[X] muni de la norme ||P ||1 = sup |ai |?
45
8.7
Algèbre normée (HP)
Définition 16 algèbre normée
Rappelons qu’une algèbre unitaire sur K est la donnée d’un ensemble A sur lequel sont définies
une addition +, une multiplication interne ⇥, une loi externe · : K ⇥ A ! A, telles que :
– (A, +, ⇥) soit un anneau unitaire ;
– (A, +, ·) soit un K ev ;
– pour x, y 2 A, 2 K, · (x ⇥ y) = ( · x) ⇥ y = x ⇥ ( · y).
Une algèbre normée est une algèbre unitaire (A, +, ⇥, ·) munie d’une norme vérifiant ||x ⇥ y|| 
||x|| ||y||
Exemples :
– Algèbre normée (Lc (E), Ñ ), des endomorphismes continus de (E, N ) munie de la norme subordonnée ;
– Algèbre normée des fonctions bornées de X dans C, munie de la norme uniforme.
8.8
Exercices : continuité des applications linéaires, topologie et matrices
Exercice 73 CCP-PSI
On considère l’espace C des suites complexes convergentes, on le munit de la norme ||u|| = sup |un |.
Soit L l’application qui à une suite u 2 C associe sa limite.
1. Montrer que L est linéaire et continue ;
2. Calculer sa norme subordonnée ;
Exercice 74
On considère l’espace E des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans C et l’application
Z 1
T :f 2E!
t f (t) dt
0
1. Étudier la continuité de T pour chacune des trois normes || ||1 , || ||1 et || ||2 sur E.
2. on se propose de déterminer la norme subordonnée associée à chacune de ces normes dans
E.
(a) Cas de la norme || ||1 ?
(b) Cas de la norme || ||1 : considérer la suite de fonctions (fn )n où fn (t) = tn ...
(c) Cas de la norme || ||2 : qu’a-t-elle de remarquable ?
Montrer que la norme subordonnée vérifie |||T |||2 
colinéaire à, à...,à.. ?
Et pourquoi colinéaire ?
r
1
puis chercher une fonction
3
Exercice 75 Centrale 2003 - à faire après le cours sur les séries, peut-être les SE
. On note E l’espace des suites complexes de limite 0, on le munit de la norme ||u|| = sup |un |.
1. Montrer que les formes linéaires
n
: u 2!
n
X
ui
i=0
2i
et
: u 2!
1
X
ui
i=0
2i
sont correctement définies, continues, et calculer leurs normes subordonnées.
1
2. On considère la suite u telle que un =
. Calculer (u) (reconnaı̂tre du classique) ;
n+1
46
3. Quelle est la distance de u à H = Ker( ) ? Construire une suite v 2 H telle que ||u
1, 5d(u, H).
v|| 
Exercice 76
Dans les questions qui suivent, E désigne l’espace des fonctions à valeurs complexes, continues
sur [0, 1], muni de la norme de la convergence uniforme
||f ||1 = sup |f (x)|.
x2[0,1]
1. Comment définit on, sur l’ensemble des applications linéaires continues de E dans C, la norme
subordonnée associée à || ||1 ?
R1
2. Montrer que l’application linéaire : f 2 E ! 0 tf (t) dt, est continue et préciser, si possible,
sa norme subordonnée.
R1
3. On considère maintenant l’application : f 2 E ! 0 cos(⇡t)f (t) dt.
(a) Montrer que
est continue.
(b) Soit ↵n 2 E, affine par intervalle, telle
8
< ↵n (t) = 1,
↵n est affine
:
↵n (t) = 1,
que
si t 2 [0, 1/2 1/n]
sur [1/2 1/n, 1/2 + 1/n]
si t 2 [1/2 + 1/n, 1].
Représenter ↵n et t ! cos(2⇡t) sur le même graphique pour n = 4, 8 (prendre pour
unité : 8 cm). Majorer
Z
0
| cos(⇡t)| dt
(c) Que vaut la norme (subordonnée) de
Exercice
Z
1
1
↵n (t) cos(⇡t) dt .
0
?
77 fondamentaux
1. Montrer que l’application qui à deux matrices carrées associe leur produit est continue.
2. Justifier que la transposition est continue.
3. Justifier que la trace est une fonction continue.
4. Montrer que l’application
Rot : (✓, u) 2 R ⇥ R3 |{0} ! Rot(u, ✓) 2 L(R3 ),
est continue. On pourra utiliser l’expression d’une rotation :
f (x) = projD (x) + cos(✓)(x
projD x) + sin(✓)
✓ ! ◆
u
^x .
!
|| u ||
5. Montrer que le groupe orthogonal On (R) est compact.
6. Montrer que le groupe des rotations On+ (R), n = 2, 3... est compact.
Exercice 78 topologie et matrices, exemples épars
Soit n 2 N⇤ . On note E = Mn (K) l’espace vectoriel normé des matrices carrées à coefficients dans
K = R ou C.
47
1. Justifier que les applications suivantes sont continues :
Tr : M 2 E ! Tr(M ) 2 K;
T : M 2 E !t M 2 E;
det : M 2 E ! det(M ) 2 K;
M 2 GLn (K) ! M
1
2 GLn (K).
Dans ces deux derniers cas, on fera la démonstration pour n = 2 avant de la généraliser.
(Tr est la trace, det le déterminant, tM la transposée de M ).
2. Pour chacune des parties suivantes de E montrer selon le cas qu’elle est ouverte ou qu’elle
est fermée :
– l’ensemble GLn (K) des matrices inversibles ;
– le sous-espace des matrices symétriques ;
– le sous-espace des matrices triangulaires supérieures.
"
#
1
a
1 .
3. Soit a 2 K, a 6= 0. On considère la suite (An )n des matrices An =
0 1+
n
(a) Montrer que An est diagonalisable pour tout n 2 N⇤ . Qu’en est il de lim An ?
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables est il fermé dans E?
4. On considère sur E la norme N (M ) = max1i,jn |mi,j |.
(a) Soit " > 0 expliciter une matrice non diagonalisable dans la boule ouverte BN (I2 , ").
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables est il ouvert dans E?
5. On suppose dans cette question que K = R et que n = 2. Soit A =
✓
0
1
◆
1
.
0
(a) Montrer que A n’est pas diagonalisable dans M2 (R). Calculer sa trace et son déterminant.
(b) On suppose qu’il existe une suite (An )n de matrices diagonalisables dans M2 (R) qui
converge vers A. Montrer une impossibilité en raisonnant sur les valeurs propres n et
µn de An .
(c) L’ensemble des matrices diagonalisables est il dense dans E lorsque K = R?
6. Montrer que si E = M2 (C), les matrices diagonalisables forment un sous-ensemble dense de
E.
voir corrigé en 10.1.2.
Exercice
79 matrices trigonalisables
1. Soit P (X) 2 R[X], un polynôme que l’on suppose unitaire et de degré d > 0.
(a) Montrer que si P (X) est scindé sur R, alors
8z 2 C, |P (z)|
|Imz|d .
(b) Montrer la réciproque.
2. Soit (An )n une suite convergente de matrices trigonalisables de MN (R). Que peut on dire
de sa limite ?
3. Soit (An )n une suite convergente de matrices diagonalisables de MN (R). Que peut on dire
de sa limite ?
48
4. Soit (An )n une suite convergente de matrices semblables à une même matrice A de MN (R).
Que peut on dire de sa limite, lorsque A est diagonalisable à valeurs propres distinctes,
confondues, dans le cas général ?
indication : normaliser les colonnes d’une matrice de passage, penser à Bolzano-Weierstrass
Exercice 80 c’est du cours !
Soit ||| |||, une norme matricielle sur E = Mn (K). Montrer que pour toute matrice A 2 E, pour
toute valeur propre de A, | |  |||A|||.
Exercice 81 On se propose d’illustrer sur un exemple la deuxième partie du théorème 37 du à
Householder (années 60).
1. Montrer que si || || est une norme sur Kn , et si F 2 GLn (K), alors N : X ! ||F X|| est
e
aussi une norme sur Kn . En déduire que, si ||| ||| est la norme subordonnée à || || et N
la norme subordonnée à N , on a :
e (A) = |||F A F 1 |||
N
2
3
2
3
a u v
1 0 0
1
2. Soit T = 40 b w5 et = 40 ↵ 0 5 . Calculer
T ainsi que sa norme |||...|||1 .
0 0 c
0 0 ↵2
3. Soit " > 0. Montrer qu’il existe une norme sur Kn dont la norme subordonnée, vérifie :
Ñ (T )  sup{|a|, |b|, |c|} + ".
4. Applications : Soit A semblable à T. Montrer que si toutes les valeurs propres de A (ou de
T ) ont des modules strictement inférieurs à 1, les suites suivantes sont convergentes. Préciser,
si possible, leurs limites :
– La suite de matrices :
n
X
Mn =
An
k=0
– Avec ↵ = 1/2, la suite de matrices :
Rn =
n
X
n
(↵
n) A
k=0
– La suite de vecteurs (Zn )n tq Zn+1 = AZn + W.
Penser qu’il y a un théorème fondamental dans votre cours.
Exercice 82 On se propose, dans cet exercice de montrer le lien entre les valeurs propres et le
comportement de suites récurrentes de la forme
Zn+1 = AZn + W, A 2 MN (C), W 2 CN .


a 1
a ↵
0
1. Montrer que les matrices A =
et A =
sont semblables pour tout ↵ 6= 0.
0 a
0 a
2. On considère deux complexes a, b, distincts tels que |a| < 1, |b| < 1, la matrice complexe
2
3
a 1 0 0
6
7
6 0 a 0 0 7
6
7
=6
7,
6 0 0 b 1 7
4
5
0
et on note
0
0
b
l’endomorphisme qui lui est associé dans la base canonique.
49
(a) Rechercher les valeurs propres et les sous-espaces propres de . Montrer que les sousespaces F = ker((
a)2 ) et G = ker((
b)2 ) sont stables par et supplémentaires
4
dans C .
(b) Etudier la convergence de la suite de matrices (
k
)k dans l’espace normé MN (C).
(c) Etudier la convergence dans C de la suite définie par
4
Zk + W, Z0 2 C4 .
Zk+1 =
Montrer que cette suite converge et que sa limite est solution d’une équation que l’on
précisera.
de C4 de matrice
2
3/4 1/2
0
6
6 1
0
0
6
A=6
6 0
1/2 5/4
4
3. On considère l’endomorphisme
1
5/4
0
dans la base canonique.
Etudier la convergence dans C4 de la suite définie par
1/2
3
7
3/4 7
7
7
1/2 7
5
2
Zk+1 = AZk + W, Z0 2 C4 .
On pourra commencer par exprimer
dans une base bien choisie.
50
9
Questions rapides admettant réponses rapides ; le flashéclair
1. La fonction x ! x + sin x est elle croissante, lipschitzienne sur R?
2. Connaissez vous des fonctions 1-lipschitziennes sans point fixe ?
3. Une fonction continue, f : [a, b] ! [a, b], admet elle toujours un point fixe ?
4. Vrai ou faux ? Le cas échéant donner des contre-exemples.
• Une fonction de classe C 1 sur R est nécessairement lipschitzienne.
• Une fonction de classe C 1 sur [0, 1] est nécessairement lipschitzienne.
• une fonction uniformément continue est lipschitzienne.
• une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
5. Vrai ou faux ? Le cas échéant donner des contre-exemples.
• une intersection d’ouverts est un ouvert ;
• une intersection finie d’ouverts est un ouvert ;
• une réunion d’ouverts est un ouvert ;
6. Soit E un ev de dimension finie et N1 , N2 , deux normes sur E. Les objets suivants sont ils
les mêmes dans (E, N1 ) et dans (E, N2 )?
les
les
les
les
les
les
les
x
boules ouvertes
suites convergentes
ouverts
fonctions continues
fonctions lipschitziennes
fonctions contractantes
ensembles bornés
les
les
les
les
les
hyperplans fermés
suites de Cauchy
fermés
fonctions uniformément continues
fonctions k-lipschitziennes
les compacts
x
7. Même questions que ci-dessus, lorsque E est de dimension infinie.
8. Sont ils ouverts, fermés ?
l’espace normé :
R
R2
Rn
C 0 ([0, 1], || ||1 )
C 0 ([0, 1], || ||1 )
C 0 ([0, 1], || ||1 )
Mn (K)
l’ensemble en question :
R, R⇤ , Q, ;, {0}...
l’hyperbole xy = 1
un hyperplan
R[X]
Rn [X]
R1
les fonctions tq 0 f (t) dt = 0
GLn (K)
9. Construire un suite (zn ) d’éléments de R2 qui n’admet aucune valeur d’adhérence (ou de
sous-suite convergente) et dont les composantes admettent toutes deux des sous-suites convergentes.
10. Peut on construire un exemple de suite bornée dans un evn qui n’admet aucune suite extraite
convergente ?
11. Quels sont les énoncé vrais ? Donner un contre-exemple s’ils sont faux.
(a) si lim(un+1
un ) = 0, alors la suite (un )n converge ;
(b) si pour tout p, limn (un+p un ) = 0, alors (un )n est une suite de Cauchy et elle converge ;
51
(c) s’il existe une suite (vn )n de limite 0, telle que pour tout (n, p), |un+p
(un )n est une suite de Cauchy et elle converge ;
un |  vn , alors
12. Dans un evn de dimension finie, une suite telle que, pour tout p 2 N,
lim ||xn+p
n!+1
xn || = 0,
converge-t-elle ?
13. Une suite de Cauchy dans un evn est elle toujours convergente ?
14. les énoncés suivant sont ils toujours vrais en dimension infinie :
(a) toute suite convergente est une suite de Cauchy ;
(b) toute suite de Cauchy est bornée ?
(c) si (xn )n est une suite de Cauchy pour la norme || ||, alors c’est une suite de Cauchy pour
toute autre norme.
15. Vrai ou faux ? Le cas échéant...
• si f est continue, l’image d’un ouvert est un ouvert
• si f est continue, l’image d’un fermé est un fermé
• si f est continue, l’image d’un compact est un ouvert
16. Donner, avec le casting : (E, N ) et (F, || ||) sont des evn, f : (E, N ) ! (F, || ||), est une
fonction continue, A une partie de E, des exemples pour les scénarios suivants :
– A est fermé, f (A) n’est pas fermé ;
– A est borné, f (A) n’est pas borné ;
– E est de dimension finie, A est fermé borné, f (A) n’est pas compact ;
– A est fermé borné, f (A) n’est pas compact ;
17. Soit (E, N ) un evn. Une application linéaire quelconque est elle bornée sur la boule unité ?
18. Soit (E, N ) un evn. Une application linéaire continue est elle bornée sur la boule unité ?
19. Soit (E, N ) un evn de dimension finie. Une application linéaire quelconque est elle bornée
sur la boule unité ?
Soit (E, N ) un evn de dimension finie. La boule unité est elle fermée et bornée ? est elle
compacte ?
20. L’application linéaire f 2 C 1 ([0.1], R), || ||1 ! f 0 (0) 2 R est elle continue ?
52
10
Résumons nous
10.1
En dimension quelconque
10.1.1
Généralités : limites, normes équivalents, topologie
Définitions :
• Une norme sur un K ev E est une application N : E 7! R+ telle que :
1. N (x) = 0 ) x = 0
2. N (x + y)  N (x) + N (y)
3. N ( x) = | | N (x).
• Un espace normé est un couple (E, N ), formé d’un ev et d’une norme sur E.
• On dit qu’une suite d’éléments (xn )n d’un espace normé (E, || ||) est convergente de limite l 2 E,
ssi limn!1 ||xn l|| = 0, ou, ce qui est équivalent :
8" > 0, 9n0 , 8n 2 N, n
n0 ) ||xn
l||  ".
• On dit que deux normes sur un ev E, N1 et N2 sont équivalentes s’il existe des réels strictement
positifs ↵, , tels que 8X 2 E, ↵N2  N1  N2 .
Propriétés :
• On retiendra l’inégalité triangulaire sous la forme équivalente :
| ||x||
||y|| |  ||x
y||  ||x|| + ||y||.
• Une suite d’éléments de l’evn (E, N ) converge vers au plus une limite.
Théorème -n˚dans le résumé: 1 convergence des suites pour des normes di↵érentes
Soit E un ev muni de normes N1 et N2 .
• Les propriétés suivantes sont équivalentes
1. Toute suite N1 convergente est N2 convergente
2. Il existe un réel ↵ > 0 tel que N2  ↵N1 .
• Si N1 , N2 , sont des normes équivalentes pour toute suite (xn )n , d’éléments de E :
– (xn )n converge vers l pour N1 ssi elle converge vers l pour N2 .
– (xn )n est une suite de Cauchy pour N1 ssi c’est une suite de Cauchy pour N2 .
Définitions Soit (E, || ||), un espace normé.
1. On appelle boule fermée de centre ⌦, de rayon r > 0, l’ensemble
B̄(⌦, r) = {x 2 E; ||x
⌦||  r}.
2. De la même façon, la boule ouverte de centre ⌦, de rayon r > 0, est l’ensemble B(!, r) =
{x 2 E; ||x ⌦|| < r}.
3. Si D une partie de E, a 2 E, on dit que a est un point adhérent à D ssi :
8" > 0, B(a, ") \ D 6= ;.
Lorsque E = R, on dit aussi que +1 est adhérent à D ssi
8M > 0, D \ ]M, +1[ 6= ;.
4. On note D̄ ou adh(D), l’ensemble des points adhérents à D (adhérence de D).
53
5. D est dense dans E ssi D̄ = E.
6. Soit D, une partie de E, et a 2 E; on dit que a est un point intérieur à D ssi :
9r > 0, B(a, r) ⇢ D.
On note de façon analogue Do l’intérieur de D.
7. Une partie D de E est un ouvert de (E, || ||) ssi pour tout a 2 D, il existe
boule B(a, ) soit contenue dans D.
> 0 tel que la
8. Une partie F de E est un fermé de (E, || ||) ssi son complémentaire est un ouvert.
9. Soit a 2 E, un voisinage de a dans E est une partie de E qui contient une boule ouverte de
centre a;
10. la frontière d’un ensemble A est l’ensemble des points adhérents qui ne sont pas des points
intérieurs, elle est parfois notée @A.
Propriétés Dans un espace normé (E, || ||),
1. une boule ouverte est un ouvert,
2. une boule fermée est un fermé,
3. une réunion quelconque, un intersection finie d’ouverts sont des ouverts,
4. une intersection quelconque, une réunion finie de fermés sont des fermés,
5. un ensemble est ouvert ssi il est voisinage de chacun des ses points.
6. un point a de E est adhérent à A ssi il existe une suite de points de A qui converge vers a.
7. un ensemble A ⇢ E est fermé ssi pour toute suite convergente, (xn )n , formée d’éléments de
A, lim xn 2 A.
10.1.2
Fonctions continues
Définitions
Soient (E, N ) et (F, || ||), deux espaces normés et f : D ⇢ E ! F, une application.
1. On dit que f est continue en a 2 D ssi limx!a f (x) = f (a).
2. On dit que f est uniformément continue sur D ssi :
8" > 0, 9 > 0, 8(x, y) 2 D2 , N (x
y) 
) ||f (x)
f (y)||  ".
3. On dit que f est lipschitzienne sur D s’il existe K > 0 tel que
8(x, y) 2 D2 , ||f (x)
f (y)||  KN (x
y).
Théorème -n˚dans le résumé: 2 caractérisation séquentielle de la continuité
• Une fonction f : D ⇢ E 7! F est continue en a 2 D ssi pour toute suite (xn )n d’éléments de D
convergeant vers a on a limn!1 f (xn ) = f (a).
Théorème -n˚dans le résumé: 3
Soit f une application continue de l’espace normé (E, N ) à valeurs dans (F, || ||). Pour toute partie
⌦ de F on note f 1 (⌦) = {x 2 E; f (x) 2 ⌦}.
1. Si ⌦ est un ouvert de F, f
2. Si ⌦ est un fermé de F, f
1
1
(⌦) est un ouvert de E.
(⌦) est un fermé de E.
54
Théorème -n˚dans le résumé: 4
Soit f une application continue sur une partie D de l’espace normé (E, N ) à valeurs dans (F, || ||).
Pour toute partie ⌦ de F on note f 1 (⌦) = {x 2 E; f (x) 2 ⌦}.
1. Si ⌦ est un ouvert de F, f 1 (⌦) est un ouvert relatif de D (ie : l’intersection de D et d’un
ouvert de E).
2. Si ⌦ est un fermé de F, f 1 (⌦) est un fermé relatif de D (ie : l’intersection de D et d’un
fermé de E).
10.1.3
Suites de Cauchy
Définition
Soit (Xn )n une suite d’éléments d’un evn, (E, N ). On dit que c’est une suite de Cauchy pour
la norme N lorsqu’elle vérifie :
8" > 0, 9N 2 N, 8p
N, 8q
0, N (xp
xp+q )  ".
Propriétés générales des suites de Cauchy
• Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
• Toute suite de Cauchy est bornée.
• Si une suite de Cauchy (Xn ) admet une sous-suite convergente de N limite L, (Xn ) est ellemême convergente et de limite L.
• (xn )n est une suite de Cauchy ssi il existe une suite (vn )n , de limite 0 en +1, telle que
8(n, p) 2 N 2 , ||xn+p
xn ||  vn .
Définition :
On appelle espace complet ou espace de Banach, un evn dans lequel les suites de Cauchy
sont convergentes. On dit encore que c’est un espace de Hilbert s’il s’agit d’un préhilbertien réel
ou complexe complet.
Exemples : sont complets les evn de dimension finie (voir ci-dessous, C([a, b], || ||1 ), `1 (N), `2 (N), `1 (N), ..
Un contre-exemple est donné dans l’exercice 28.
10.2
Espaces vectoriels normés en dimension finie
On suppose ici que E est de dimension N et qu’il admet pour base la famille (ei )1iN . On note
(Xn )n une suite d’éléments de E avec
Xn =
N
X
x(i)
n ei .
i=1
Théorème -n˚dans le résumé: 5
Soit (xn )n , une suite de E ev de dimension finie.
(i)
• Si les N suites des composantes dans une vase B, (xn )n , sont convergentes, de limites respectives
li , alors pour toute norme N sur l’ev E, la suite (Xn ) est N convergente de limite :
X
L=
li e i .
• Réciproquement, si la suite (Xn )n d’éléments de E, evn de dimension finie, converge vers L pour
(i)
une norme N , alors, dans une base quelconque, les suites des composantes (xn ), convergent dans
K vers les coordonnées correspondantes Li de L.
55
Théorème -n˚dans le résumé: 6 équivalence des normes en dimension finie
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Remarque : En dimension finie, les suites convergentes, les fonctions continues, les ouverts, les
parties bornées, les fermés, les parties denses, la continuité, les limites... ne dépendent pas de la
norme. On n’a donc pas à préciser pour quelle norme une suite converge et la locution ”espace
vectoriel normé de dimension finie sur K” a un sens. Par contre les boules sont attachées à la norme
qui les définit.
Attention, ce résultat est toujours faux en dimension infinie.
Théorème -n˚dans le résumé: 7 de Bolzano Weierstrass
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, de toute suite bornée on peut extraire une
sous-suite convergente.
Théorème -n˚dans le résumé: 8 suites de Cauchy
Dans un evn de dimension finie une suite converge ssi c’est une suite de Cauchy. On dit que les
evn de dimension finie sont complets.
Théorème -n˚dans le résumé: 9 caractérisation des fonctions continues
• Lorsque E est de dimension finie, les fonctions coordonnées dans une base (ei )i quelconque,
Xi := x =
n
X
i=1
xi ei 2 E ! xi 2 K,
sont des fonctions continues.
• Soit f une application de E normé (de dimension qque) dans F normé et de dimension finie, a
un point de E. Les propositions suivantes sont équivalentes :
– f est continue en a
– il existe une base (ej )j de F dans laquelle les fonctions composantes de f sont continues en a;
– dans toute base de F, les fonctions composantes de f sont continues en a.
Rappelons que les fonctions composantes de f dans (ej )j , sont les fonction fj définies par
f (x) =
n
X
fj (x)ej .
j=1
Théorème -n˚dans le résumé: 10 applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le même corps. Si E est de dimension finie, les
applications linéaires de E dans F sont des fonctions continues.
56
10.3
Les compacts
Définition Une partie K de l’evn (E, || ||) est compacte ssi toute suite d’éléments de K admet une
valeur d’adhérence dans K.
Propriétés
• un compact est fermé et borné (réciproque fausse en dim infinie)
• Dans un compact les suites de Cauchy convergent.
• L’image d’un compact par une fonction continue est un compact.
• Une une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
• Une fonction continue sur un compact est uniformément continue (théorème de Heine).
Théorème -n˚dans le résumé: 11
Dans un evn de dimension finie un ensemble non vide est compact ssi il est fermé et borné.
10.4
Applications linéaires dans les evn et continuité
et si vous le faisiez tous seuls ?
57
11
Quelques corrigés
Corrigé de l’exercice 7
1.
2. Rappelons que nous avons dans Kn :
||x||1  ||x||1  n||x||1
p
||x||1  ||x||2  n||x||1
p
||x||2  ||x||1  n||x||2 .
p
A titre d’exemple, considérons l’inégalité (2-2) :||x||2  n||x||1 et montrons sa relation
avec l’inclusion
B|| ||1 (a, r) ⇢ B|| ||2 (a, 1).
x 2 B|| ||1 (a, r) ) ||x
a||2 
p
n||x
a||1 <
p
nr
1
on choisit donc r = p pour avoir l’inclusion voulue.
n
3. Deux implications à établir,
) S’il existe ↵ > 0, > 0 tels que N2  N1  ↵N2 , alors
(
8a 2 E, 8r > 0, 9r0 > 0, BN2 (a, r0 ) ⇢ BN1 (a, r)(1)
8a 2 E, 8r > 0, 9r0 > 0, BN1 (a, r0 ) ⇢ BN2 (a, r)(2)
On reprend l’idée de la question précédente : de N1  ↵N2 , on déduit que si x 2 BN2 (a, r0 )
r
on a N1 (x a)  ↵N2 (x a)  ↵r0 donc x 2 BN1 (a, r) dès que r0  . Cela prouve (1) et
↵
on établit(2) de même manière.
( Supposons que (1) soit vérifiée. Nous allons montrer que toute suite N2 convergente est
N1 convergente (ce qui établira l’existence de ↵ tel que N1  ↵N2 , avec le théorème 3 de
comparaison des normes).
On suppose donc que BN2 (a, r0 ) ⇢ BN1 (a, r) pour un certain couple (r, r0 ) et on considère
une suite (xn )n telle que lim N2 (xn a)✓= 0. Pour ◆tout " > 0 il existe un rang à partir
1
duquel N2 (xn a)  "r0 . On a donc N2
(xn a)  r0 d’où ; par inclusion des boules,
"
✓
◆
1
N1
(xn a)  r et N1 (xn a)  "r0 .
"
Nous avons bien établi que toute suite N2 convergente est N1 convergente.
⇤
Corrigé de l’exercice 16
1. Supposons que f soit de classe C 1 sur [a, b], il vient alors, pour n
Z
b
a

eint
f (t)eint dt = f (t)
in
58
b
a
Z
b
a
f 0 (t)
1,
eint
dt
in
Z
b
f (t)e
int
a
D’où
Z
b
2||f ||1
+ |b
n
f (t)eint dt 
a
Z
|f (b)| + |f (a)|
dt 
+
n
lim
n!+1
Z
b
a
a|
|f 0 (t)|
dt
n
||f 0 ||1
n
b
f (t)eint dt = 0,
a
2. On s’intéresse maintenant aux fonctions continues avec une technique de densité. On introduit
pour cela l’espace E = (C([a, b], K) des fonctions numériques continues sur [a, b], muni de la
norme || ||1 .
(a) Dire que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de E, signifie que
pour toute fonction f 2 E, pour tout " > 0, il existe affine par intervalle sur [a, b]
telle que ||f
||1  "
Comme f est continue sur le compact [a, b] elle y est aussi uniformément continue
(théorème de Heine : cours de première année ou cours Topologie de R et C ou théorème
31 dans ce chapitre ). Donnons nous donc " > 0. Il existe un réel ↵ > 0 tel que pour
tout couple (x, x0 ) 2 [a, b]2
x0 |  ↵ ) |f (x)
|x
f (x0 )|  ".
On définit donc une subdivision t0 = a < t1 < ... < tp = b telle que max |ti+1 ti |  ↵
et on lui associe une fonction affine sur chaque [ti , ti+1 ], telle que (ti ) = (ti ) pour
tout i.
Soit alors x 2 [a, b], il existe un indice i et un réel s 2 [0, 1] tels que x = sti +(1 s)ti+1 2
[ti , ti+1 ] et ainsi
|f (x)
(x)| = |s(f (x)
(ti )) + (1
s)(f (x)
(ti+1 )|  ".
(b) Soit f affine par intervalles sur [a, b], attachée à une subdivision t0 = a < t1 < ... <
tp = b
Z b
p 1 Z ti+1
X
int
f (t)e dt =
f (t)eint dt.
a
lim
n!+1
Z
b
f (t)eint dt =
a
(en e↵et, la restriction de
(c) Première réponse :
On considère " > 0, il existe
alors pour tout entier n,
Z
b
f (t) e
a
d’où
int
dt
Z
"
n!+1
Z
ti+1
f (t)eint dt = 0
ti
affine par intervalle telle que ||f
int
dt 
Z
f (t) e
int
||1  ". Nous avons
b
a
b
a
lim
à chaque [ti , ti+1 ] est de classe C 1 ).
a
Z
p 1
X
i=0
b
" (t) e
ti
i=0
dt 
59
|f (t)
Z
dt  |b
a| ||f
dt + |b
a|".
" (t)|
b
" (t) e
a
int
" ||1
 |b
a|",
Ceci étant, nous pouvons choisir N" de telle sorte que pour n
Z
N"
b
" (t) e
int
a
dt  "
Ainsi, il existe un rang à partir N" duquel
Z
b
a
f (t) eint dt  (1 + |b
a|)".
Corrigé de l’exercice 32
Description d’un algorithme :
- On se donne A0 2 D1 .
- Pour An 2 D1 , on considère Bn le projeté orthogonal de An sur D2 et An+1 le projeté orthogonal
de Bn sur D1 .
~ sur D
~ = V ect(~u) vérifie : ⇡ : w
~ !
1. Puisque la projection vectorielle orthogonale de E
~ 2E
< w|~
~ u>
~u, nous avons
< ~u|~u >
✓
◆
< ~x|u~2 >
< ~x|u~2 >
< ~x|u~2 > < u~2 |u~1 >
⇡1 ⇡2 (x) = ⇡1
u~2 =
⇡1 (u~2 ) =
u~1
< u~2 |u~2 >
< u~2 |u~2 >
< u~2 |u~2 > < u~1 |u~1 >
2. Notons pi la projection affine orthogonale sur Di . On sait que pour tout couple de points
!
!
de l’espace on a : pi (M )pi (N ) = ⇡i (M N ).
La fonction = (p1 p2 )|D1 (restriction de p1 p2 à D1 ) est définie sur D1 à valeurs dans D1
et strictement contractante. En e↵et, est associée à la restriction de l’application linéaire
⇡1 ⇡2 et l’on a :
!
!
!
< M N |u~2 > < u~2 |u~1 >
(M ) (N ) = ⇡1 ⇡2 (M N ) =
u~1 ,
< u~2 |u~2 > < u~1 |u~1 >
Il vient donc avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
!
!
!
||M N || ⇥ ||u~2 || | < u~2 |u~1 > |
| < u~2 |u~1 > |
(M ) (N ) 
⇥ ||u~1 || =
⇥ ||M N ||
< u~2 |u~2 >
< u~1 |u~1 >
||u~1 || ⇥ ||u~2 ||
| < u~2 |u~1 > |
< 1 (inégalité stricte de Cauchy||u~1 || ⇥ ||u~2 ||
Schwarz, les deux droites n’étant pas parallèles).
est strictement contractante puisque
3. Nous venons de voir que An+1 = (An ) où est strictement contractante de D1 dans D1 .
admet donc un point fixe et un seul qui est aussi la limite de la suite (An )n .
Comme (An )n converge, (Bn )n = (p2 (An ))n converge également, puisque la projection affine
orthogonale, qui est 1-lipschitzienne par exemple, est continue. En notant M = lim An 2 D1
il vient, N = lim Bn = lim p2 (An ) = p2 (M ). De la même façon, An+1 = p1 (Bn ) et M =
lim An+1 = lim p1 (Bn ) = p1 (N ). Cela montre que
- (M N ) est perpendiculaire à D1 et D2
- M N = inf{XY /X 2 D1 , Y 2 D2 }.
60
4. Un programme MAPLE qui réalise la figure ci-dessus :
(a) Le projeté affine orthogonal de M sur la droite passant par A, de vecteur directeur U,
est défini par
!
!
!
< AM |!
u >!
P (A)P (M ) = ⇡(AM ) =
u,
!
!
< u|u >
Ce qui s’exprime encore
P (M ) = A +
!
< AM |!
u >!
u.
<!
u |!
u >
Ce qui suit en est la traduction mot à mot.
ps:=(U,V)->sum(U[i]*V[i],i=1..3);
P:=(A,U,M)->evalm(A+ps(evalm(M-A),U)*U/ps(U,U));
(b) Écrire une fonction Phi :=proc(A,U,B,V,M,n) qui prend en arguments des triplets
A, U, B, V, M et un entier n et retourne les listes [A0 , A1 , ..., An ] et [B0 , B1 , ..., Bn 1]
lorsque A0 est le projeté orthogonal de M sur D1 .
61
un algorithme de point fixe
> restart;
with(linalg):
with(plots):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
Warning, the name changecoords has been redefined
Définition du produit scalaire canonique de R^2 (on peut aussi utiliser dotprod
)
et de la projection affine sur la droite de repère A,U.
> ps:=(U,V)->sum(U[i]*V[i],i=1..3);
P:=(A,U,M)->evalm(A+ps(evalm(M-A),U)*U/ps(U,U));
P([1,0,1],[0,-1,1],[x,y,z]);
P([1,0,1],[0,-1,1],[u,v,w]);
P([1,0,1],[0,-1,1],%);
3
ps := ( U, V ) →
∑U V
i
i
i=1

ps( evalm( M − A ), U ) U 

P := ( A, U, M ) → evalm A +

ps( U, U )

 y 1 z 1 y z
 1, + − , − + 
 2 2 2 2 2 2
 v 1 w 1 v w
 1, + − , − + 
 2 2 2 2 2 2
 v 1 w 1 v w
 1, + − , − + 
 2 2 2 2 2 2
On définit ici les deux points A et B et les deux vecteurs unitaires (la fonction
normalize retourne U/||U||) qui caractérisent les droites D1 de repère (A,u) et
D2 de repère (B,v).
> A:=vector([1,1,1]);
u:=normalize(vector([1,0,1]));
B:=vector([3,0,-1]);
v:=normalize(vector([3,-2,4]));
A := [ 1, 1, 1 ]
62
 2
2
u := 
, 0,
 2
2



B := [ 3, 0, -1 ]
 3 29
2 29 4 29
v := 
,−
,
 29
29
29



> Appartient:=proc(A,U,M)
local AM:
AM:=evalm(evalm(M)-evalm(A));
evalm(U);
if iszero( crossprod(AM,U)) then true else false; fi;
end:
crossprod(A,A-u);
Appartient(A,u,A);
Appartient(A,u,B);
La fonction/procédure Appartient qui suit retrourne true si M appartient à la
droite de repère (A,U), false sinon. Elle ne sert qu'à la vérifiacation des
l'algorithme. Elle est d'ailleurs désactivée dans la fonctioPhi. Je la laisse ici
pour information: bien qu'elle ne contribue pas directement à la solution du
problème, elle montre comment l'on peut (et doit) construire des outils de
vérification tout en avançant dans la construction d'un (mini-)programme.

 − 2 , 0, 2
 2
2



true
false
> Appartient:=proc(A,U,M)
local AM:
AM:=evalm(evalm(M)-evalm(A));
evalm(U);
if iszero( crossprod(AM,U)) then true else false; fi;
end:
crossprod(A,A-u);
Appartient(A,u,A);
Appartient(A,u,B);

 − 2 , 0, 2
 2
2
63



true
false
================
L'algorithme:
==================
La fonction/procédure Phi prend en arguments des points A, B et M, des
vecteurs U et un entier n.
Elle retourne une séquence de deux listes (LA,LB) formées de points (Ak), (Bk)
où
LA[1] est le projeté orthogonal de M sur D1 de repère (A,U)
LB[1] est le projeté orthogonal de LA[1] sur D2 de repère (B,V)
pour k variant de 1 à n-1,
LA[k+1] est le projeté orthogonal de LB[k] sur D1 .
LB[k+1] est le projeté orthogonal de LA[k+1] sur D2 de repère (B,V)
================
> Phi:=proc(A,U,B,V,M,n)
local LA, LB, Ak, Bk, k;
Ak:=P(A,U,M):
Bk:=P(B,V,Ak);
LA:=[evalm(Ak)];
LB:=[evalm(Bk)];
for k from 1 to n-1 do
Ak:=P(A,U,Bk);
#if Appartient(A,U,Ak) then NULL else print("erreur");
fi;
Bk:=P(B,V,Ak);
#if Appartient(B,V,Bk) then NULL else print("erreur");
fi;
LA:=[op(LA),evalm(Ak)];
LB:=[op(LB),evalm(Bk)];
od;
LA,LB;
end:
Dans ce qui suit LL contient la séquence formée des 2 listes des points Ak et Bk
retournée par la fonction/procédure Phi; LL[1][n] est donc An et LL[2][n] est
Bn.
64
> n:=30;
LL:=Phi(A,u,B,v,vector([5,-6,7]),n):
SAB:={seq(Dr(LL[1][k], evalm(LL[2][k]-LL[1][k])
,t),k=1..n)}:
SBA:={seq(Dr(LL[2][k],
evalm(LL[1][k+1]-LL[2][k]),t),k=1..n-1)}:
n := 30
> A30:=LL[1][n-1];
A31:=LL[1][n]:
B30:=LL[2][n-1]:
Appartient(A,u,A30);
Appartient(B,v,B30);
 24825455427243697731236292223248263424758703639621
A30 := 
, 1,
 23767517358231570773047645414309870043308402671616
24825455427243697731236292223248263424758703639621 

23767517358231570773047645414309870043308402671616 
true
true
Les figures:
Une représentation paramétrique est en mathématiques une application
t->M(t), nous en faisons une fonction/procédure MAPLE de la même façon.
l'expression D1(t) est un argement de la fonction spacecurve qui permet le tracé
de courbes paramétrées dans l'espace.
> Dr:=(A,U,t)->[seq(A[i]+t*U[i],i=1..3)];
D1:=t->Dr(A,u,t);
D2:=x->Dr(B,v,x);
Dr := ( A, U, t ) → [ seq( Ai + t Ui, i = 1 .. 3 ) ]
D1 := t → Dr( A, u, t )
D2 := x → Dr( B, v, x )
> spacecurve(D1(t),t=-7..7,color=black,thickness=3,linestyle=0,
style=LINE):
spacecurve(D2(x),x=-7..7,color=black,thickness=3,linestyle=0,
style=LINE):
65
D1D2:= %,%% :
> SABSBA:=spacecurve(SAB, t=0..1,color=red,thickness=2),
spacecurve(SBA,
t=0..1,color=blue,thickness=2, orientation=[-143,88]):
display({D1D2,SABSBA});G:=%:
>
66
Corrigé de l’exercice 33
On note comme dans l’énoncé, Xn = xn e1 + yn e2 . On suppose que (Xn )n converge dans E muni
de la norme N .
| |yn | N (e2 )
1. Par inégalité triangulaire, N (Xn ) = N (xn e1 + yn e2 )
|xn | N (e1 ) | ~
2. (a) Raisonnons par l’absurde, comme on nous y invite, et supposons que (xn )n !
6 0.
La négation de
8" > 0, 9N" , 8n 2 N, n N" ) |xn |  ",
s’exprime
9m > 0, 8N, 9nN 2 N, n
on obtient la suite extraite en choisissant n1
N et |xn | > m,
N = 1, n2
N = n1 + 1, etc...
(b) D’après ~,
|zp | :=
|ynp |
N (Xnp ) N (e1 )
1 N (Xnp ) + |xnp |N (e1 )


+
.
|xnp |
|xnp |
N (e2 )
mN (e2 ) N (e2 )
Comme la suite (N (Xnp ))p converge vers 0, elle est bornée. (zp )p aussi.
(c) D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, (zp )p admet une sous-suite convergente :
zp q =
y np q
x np q
! ↵.
La contradiction est là, sous nos yeux :
X np q
x np q
3. On remplace (Xn )n par (Xn
= e1 +
L)n .
67
y np q
x np q
e2 ...
Corrigé de l’exercice 35
Soit (E, || ||), un espace normé,
1. Soit F un sev de dimension finie de (E, N ). On considère une suite d’éléments de F qui
converge dans E. Cette suite est une suite de Cauchy de (E, N ) (car N (xp xq ) = N |E(xp
xq )) et aussi de (F, N |F ) (restriction de la norme N à F ).
Mais alors comme dim F est finie, cette suite converge dans le normé (F, N |F ); sa limite dans
F pour N est la même que sa limite dans E. F est donc fermé de l’espace (E, N ).
2. Considérons maintenant F un sev fermé de E et G un sev de dimension finie de E.
(a) Comme G est de dimension finie, G \ F admet un supplémentaire dans G. Notons donc
G0 un tel supplémentaire.
• On a F + G = F + G0 . En e↵et, si x = f + g avec f 2 F, g 2 G, comme g est de la
forme g = g1 + g2 où g1 2 F \ G, g2 2 G0 , nous pouvons réécrire
x = f + g = (f + g1 ) + g2 .
On a bien F + G = F G0 .
• La somme est directe car F \ G0 = (F \ G) \ G0 = ;.
(b) Soit (xn )n une suite d’éléments de F + G qui converge vers ` 2 E.
i. Comme xn 2 F + G = F + G0 , on peut écrire xn = an + bn avec an 2 F et bn 2 G0 .
ii. Si (bn )n est bornée, c’est une suite bornée dans un evn de dimension finie, elle admet
une sous-suite convergente (bnp )p ; on a alors
lim (anp + bnp ) = `
p!+1
comme (bnp )p converge, (anp )p aussi. Comme F est fermé lim anp 2 F et l’on a
` = lim anp + bnp = a + b 2 F + G0 .
iii. Lorsque (bn )n n’est pas bornée on considère une sous-suite (bnp )p telle que lim ||bnp || =
+1 et on divise
✓
◆
a np
b np
lim
+
= 0.
p!+1 ||bnp ||
||bnp ||
On est ramené au cas précédent (a0p + b0p )p a pour limite ` = 0 2 F + G avec (b0p )p
bornée. Mais cette fois on obtient une contradiction car on devrait avoir lim b0p = 0
(composante de ` = 0 ce qui n’est pas possible, la suite étant formée de vecteurs
unitaires ?
(c) Conclusion : toute suite de F + G qui converge a sa limite dans F + G qui est donc fermé
(et de plus, les suites de composantes selon F G0 convergent vers les composantes de
`.)
68
Corrigé de l’exercice 49
E est l’ev des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans R.
1. On définit N en posant :
Z 1
N (f ) = |f (0)| +
|f 0 (t)| dt.
0
– N prend ses valeurs dans R+ ;
– N ( f ) = | |N (f );
R1
– N (f + g) = |f (0) + g(0)| + 0 |f 0 (t) + g 0 (t)| dt  N (f ) + N (g)
( deux inégalités triangulaires et positivité de l’intégrale) ;
R1
– Enfin, si N (f ) = 0, on a : |f (0)| = 0 et 0 |f 0 (t)| dt = 0 (somme de deux positifs).
Comme |f 0 | est à la fois positive et continue, si son intégrale est nulle, elle est nulle sur
[0, 1]. Ainsi, f est constante sur [0, 1] donc nulle car f (0) = 0.
2. Soit f de classe C 1 sur [0, 1] et x 2 [0, 1].
Z 1
Z 1
|f (x)| = f (0) +
f 0 (t) dt  |f (0)| +
|f 0 (t)| dt = N (f ).
0
0
On a donc pour tout x 2 [0, 1], |f (x)|  N (f ) donc
||f ||1 = sup |f (x)|  N (f ).
x2[0,1]
– Considérons une suite (hn )n de E telle que lim N (h hn ) = 0. Comme 0  ||h hn ||1 
N (h hn ), on a aussi lim ||h hn ||1 = 0.
On peut donc énoncer que toute suite de E qui converge pour N converge pour || ||1 et
vers la même limite.
– Il n’est par contre pas possible de déduire de cette seule inégalité que toute suite de E
qui converge pour pour || ||1 converge pour N.
(a) Le changement de variable
u = n⇡ t, dt =
1
du, t = 0$ u = 0, t = 1$u = n⇡,
n⇡
Z
Z
donne
1
0
|gn (t)| dt =
1
0
| cos(n⇡ t)| dt =
Z
n⇡
| cos(u)|
0
du
n⇡
Comme la fonction g est ⇡ périodique et paire :
Z n⇡
n 1Z
du
1 X (k+1)⇡
| cos(u)|
=
| cos(u)| du
n⇡
n⇡
0
k⇡
k=0
=
1
⇡
Z
(b) On pose fn (t) =
⇡
0
| cos(u)| du =
sin n⇡t
.
n
1
⇡
Z
⇡/2
⇡/2
| cos(u)| du
2
⇡
Z
⇡/2
cos(u) du =
0
2
.
⇡
1
et (fn )n tend vers 0 dans (E, || ||1 .
n
R1
• N (fn ) = |fn (0)| + 0 |⇡ cos(n⇡t)| dt = 2. Cette suite ne converge pas vers 0 dans
(E, N ).
(c) Ces deux normes ne sont donc pas équivalentes.
• ||fn ||1 =
69
Corrigé de l’exercice 58
1. R2 [X] est un evn de dimension 3. La notion d’ouvert ou de fermé ne dépend pas de la norme
choisie puisque toutes les normes sont équivalentes. La partie A formée des polynômes de
degré 2 scindés à racines simples s’écrit :
A = {aX 2 + bX + c/a 6= 0} \ {aX 2 + bX + c/b2
4ac > 0}
(a 6= 0 car le degré est exactement 2, > 0 car le polynôme est scindé à racines simples sur
R). C’est donc l’intersection de deux ouverts de R2 [X].
En e↵et, les applications
(
f : P (X) = aX 2 + bX + c ! a
g : P (X) = aX 2 + bX + c ! b2 4ac
sont continues et {aX 2 + bX + c/a 6= 0} = f 1 (R⇤ ), {aX 2 + bX + c/b2 4ac > 0} =
g 1 (]0, +1[) sont ouverts comme images réciproques d’ouverts de R par des applications
continues.
2. La partie B formée des polynômes (de degrés  2) scindés à racines simples s’écrit
A = {aX 2 + bX + c/b2
4ac > 0}
En e↵et, elle contient les polynômes de degré deux de discriminants positifs ainsi que les
polynômes de degré 1 (de la forme bX + c avec b 6= 0). C’est donc un ouvert de R2 [X].
3. Soit E un K evn et : E ! K, une forme linéaire sur E.
) Si est continue, Ker = 1 {0} est un fermé (image réciproque d’un fermé de K);
( Supposons que Ker( ) soit fermé.
• Nous allons montrer que la forme linéaire est continue en 0. Pour cela on considère une
suite (xn )n d’éléments de E qui converge vers 0 et on montre que lim (xn ) = (0) = 0 2 K.
On sait que le noyau d’une forme linéaire admet pour supplémentaire une droite vectorielle,
soit Ker + vect(d) = E. Chaque xn s’écrit, avec des notations évidentes : xn = kn + ↵n d.
Deux cas se présentent :
(a) (↵n )n est une suite bornée de K = R ou C et alors il existe une suite extraite (↵np )p qui
converge. Comme knp + ↵np d a pour limite 0, il vient lim knp = lim ↵np d = ↵d 2
Ker \ vect(d) = {0}. On a donc
lim (xn ) = lim (xnp ) = lim ↵np (d) = 0.
n
p
p
(b) si (↵n )n n’est pas bornée, il existe une suite extraite telle que lim |↵np | = +1. On divise
alors et il vient :
kn
lim p + d = 0.
↵ np
C’est ici qu’intervient l’hypothèse sur le noyau : comme il est fermé
lim
k np
=
↵ np
d 2 Ker \ vect(d) = {0}.
C’est là une contradiction et seul le premier cas est possible.
• Il ne reste plus qu’à montrer que si
en tout x 2 E. Pour cela on écrit que
est continue en 0 et linéaire, elle est aussi continue
(xn )
(x0) = (xn x) et le reste suit...
70
Corrigé de l’exercice 66
1. Soit A > 0 tel que A > J(0). Comme lim||x||!+1 J(x) = +1, il existe R > 0 tel que
||x|| > R ) J(x) A.
Comme, par ailleurs J est continue, elle admet un minimum J(!) sur la boule fermée B̄(0, R)
qui est compacte. Ce minimum sur la boule est aussi un minimum global car J(!)  J(0) 
J(x) si x 2
/ B̄(0, R).
R1
2. (a) Nous avons (1) = (0) + 0 0 (u) du. Cela s’écrit encore
J(y) = J(x) +
= J(x)+ < rJ(x)|y
Z
1
0
x>+
< rJ(x + u(y
Z
x))|y
x > du
1
0
< rJ(x + u(y
rJ(x)|y
x))
x > du.
(b) Nous écrirons
+
Z
J(xk+1 ) = J(xk )+ < rJ(xk )|xk+1
1
0
< rJ(xk + u(xk+1
Cela donne, en remplaçant xk+1 ,
✓
Z
J(xk+1 ) J(xk ) = ⇢k ||rJ(xk )||2 +
xk ))
xk >
rJ(xk)|xk+1
xk > du.
1
0
< rJ(xk + u(xk+1
xk ))
◆
rJ(xk )|rJ(xk ) > du .
Majorons l’intégrale :
Z
1
0
< rJ(xk + u(xk+1
xk ))
rJ(xk )|rJ(xk ) > du  M ⇢k ||rJ(xk )||
2
Z
1
u du.
0
On en déduit que l’expression entre () est minorée par
✓
◆
M
2
||rJ(xk )|| 1
⇢k ,
2
2
donc positive dés que ⇢k 
. La suite (J(xk ))k est décroissante sous ces conditions
M
et elle converge puisqu’elle est minorée.
(c) Si r > 0 est tel que J(x) > J(x0 ), la suite (xk )k est bornée et admet une sous suite
convergente, la suite (J(xk )) converge elle aussi. On a toujours
✓
◆
J(xkp ) J(xkp +1 )
M
2
⇢k > 0
||rJ(xkp )|| 1
⇢k p
2 p
Comme le membre de gauche a pour limite 0, on en déduit que rJ(lim xkp ) = 0. Par
unicité du point singulier, c’est la limite de (xkp )p . La suite (xk )k admet une seule valeur
d’adhérence, elle converge.
71
Corrigé de l’exercice 67
1. Si la suite des vecteurs converge, les suites de coordonnées convergent. On note `i la limite
(m)
de (xi )m .
De
0
1
X
1 @
(m+1)
(m) A
xi
=
bi,i
ai,j xj
ai,i
j6=i
on passe à
`i =
On multiplie par ai,i il vient :
0
1 @
bi,i
ai,i
ai,i `i +
X
X
j6=i
1
ai,j `j A
ai,j `j = bi,i .
j6=i
2. On observe en e↵et que
(m+1)
xi
ième
0
1 @
=
bi,i
ai,i
X
est la i
ligne de l’équation matricielle Xm+1 = D
la programmation (mais pas son efficacité !) :
avec Maple (Ex1AlgLin254Jacobi.mws)
J:=proc(A,b,X)
local n, d,e, k;
n:=rowdim(A);
d:=diag(seq(A[k,k],k=1..n));
e:=evalm(A-d);
evalm(d^(-1)&*(b-e&*X));
end:
(m) A
ai,j xj
j6=i
1
1
(b (A D)Xm ), ce qui peut simplifier
avec Mathematica (ExAlgLinJacobi.nb)
J[A_, b_, X_] := Module[{n, D, E},
n = First[Dimensions[A]];
D = DiagonalMatrix[
Table[A[[i, i]], {i, 1, n}]];
E = A - D;
A:=matrix(4,4,[[-1,2,3,4],[2,3,4,5],
[3,4,5,6],[4,5,6,-7]]);
b:=vector([1,2,1,2]);
X:=vector([1,1,2,1]);
(Inverse[D].(b - E.X))
]
A = {{12, 1, 1, 1}, {1, 12, 1, 1},
{1, 1, 12, 1}, {1, 1, 1, 12}}
b := {1, 1, 1, 1}
X = {0, 0, 0, 3.}
for k from 1 to 12 do
X:= map(evalf,J(A,b,X));
od;
For[i = 0, i < 12, i++,
X = J[A, b, X];
Print[X]]
Remarque de bons sens : Un jour d’oral, on peut aller plus vite avec une programmation
ad hoc. Par exemple : n :=rowdim(A) remplacé par n :=4 pour aller vite et ne pas
chercher si on ne se souvient plus du nom des fonctions, ou placer n en argument. Idem pour
le map(evalf,...) : il suffit d’envoyer des flottants en arguments)
72
3. Une idée élémentaire pour les suites récurrentes sert ici. On va écrire lorsque J(X ⇤ ) = X ⇤ :
X ⇤ = J(Xn )
Xn+1
L’équation AX = b s’écrit aussi DX = b
X=D
1
(b
J(X ⇤ ).
(A
D)X ou encore
(A
D)X) = J(X).
• Si A est inversible et si X ⇤ est la solution, il vient donc
Xm+1
X⇤ = D
1
Xm
(b
EXm )
D
X ⇤ = J m (X0
1
(b
EX ⇤ ) = D
X ⇤ ) où J = D
1
1
E(Xm
E.
X ⇤ ).
(11.1)
• Si de plus A est à diagonale strictement dominante la matrice J vérifie
8
Ji,i
>
>
>
>
>
>
>
< Ji,j
=0
=
>
>
>
>
>
P
>
>
:
j |Ji,j |

ai,j
ai,i
P
j6=i
si i 6= j
|ai,j |
|ai,i |
<1
Pour un vecteur Y quelconque
|[JY ]i | =
Posons ↵ = supi
⇣P
n
X
j=1
Ji,j yj 
n
X
j=1
|Ji,j ||yj |
⌘
|J
|
, on montre alors (récurrence) que
i,j
j
||J n (X
X ⇤ )||1  Ctse ⇥ ↵n ! 0.
• Si l’on sait ou démontre ou conjecture qu’une matrice à diagonale dominante est inversible
(ce qui n’est pas du cours) la deuxième hypothèse seule suffit. Il n’y a pas de raison de le
savoir a priori.
73
Corrigé de l’exercice 78
Soit n 2 N⇤ . On note E = Mn (K) l’espace vectoriel normé des matrices carrées à coefficients dans
K = R ou C.
1. • Les applications Tr : M 2 E ! Tr(M ) 2 K et T : M 2 E !t M 2 E sont linéaires. Elles
sont donc continues puisque l’espace de départ dans les deux cas est de dimension finie.
• La fonction det : M 2 E ! det(M ) 2 K vérifie, lorsque n = 2, la relation

a b
det
= ad bc,
c d
c’est une fonction continue puisque polynomiale en les fonctions coordonnées qui sont continues. On généralise en dimension quelconque avec la formule
X
det(A) =
"( )a1, (1) ...an, (n)
2Sn
qui est elle aussi polynomiale en les coordonnées.
• La fonction M 2 GLn (K) ! M 1 2 GLn (K) est donnée, lorsque n = 2, par la relation

a
c
1
b
d
=
1
ad
bc

d
c
b
.
a
C’est une fonction continue puisque ses 4 composantes sont continues. Ce sont, en e↵et,
des fonctions rationnelles en les fonctions coordonnées qui sont continues. On généralise
en dimension n quelconque avec la formule
M
1
=
1
t
Com(M )
det(M )
qui montre que les n2 composantes sont des fonctions rationnelles des coordonnées.
2. – l’ensemble GLn (K) des matrices inversibles est ouvert : c’est l’image réciproque de l’ouvert
K⇤ = K/{0} par la fonction det qui est continue.
– le sous-espace des matrices symétriques est fermé : c’est l’image réciproque de {0} (matrice
nulle) par M ! M t M qui est linéaire de E dans lui-même.
Remarque : On peut aussi savoir qu’un sev de dimension finie est toujours fermé dans
un evn.
– le sous-espace des matrices triangulaires supérieures est fermé : c’est en e↵et l’intersection
n(n 1)
des
fermés de E d’équations ai,j = 0 avec 1  j  i  n.
2
"
#
1
a
1 .
3. Soit a 2 K, a 6= 0 et An =
0 1+
n
1
(a) An est diagonalisable pour tout n 2 N⇤ puisque ses valeur propres 1 et 1 +
sont
n

1 a
distinctes. On a par ailleurs lim An =
.
0 1
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables n’est pas fermé dans E : nous venons en e↵et
de mettre en évidence
une suite d’éléments de cet ensemble qui converge en dehors de

1 a
cet ensemble (
n’est pas diagonalisable puisque son spectre ne contient que 1 et
0 1
qu’elle n’est pas semblable à I2 si a 6= 0.)
4. On considère sur E la norme N (M ) = max1i,jn |mi,j |.
74
(a) Soit " > 0.
N

1
0
"
0
1
1
0
" #!
"
= < ".
2
2
1
(b) L’ensemble des matrices diagonalisables n’est pas ouvert dans E : aucune boule de centre
I2 n’est contenue dans l’ensemble (et par définition O est ouvert ssi pour tout point de
O, il existe une boule ouverte de centre ce point contenue dans O). Cela est vérifié pour
la norme N mais reste vrai pour toute norme équivalente, donc pour toute norme sur
E qui est de dimension finie.
✓
◆
0 1
5. On suppose dans cette question que K = R et que n = 2. Soit A =
.
1 0
(a) A n’est pas diagonalisable dans M2 (R) ni même trigonalisable cas SpR (A) = ;.
tr(A)=0 et det(A)=1.
(b) On suppose que lim An = A. Notons n et µn les valeurs propres de An (supposées réelles
puisque la matrice An est diagonalisable dans M2 (R)).
Comme la trace et le déterminant sont des fonctions continues on a :
- lim tr(A) = lim( n + µn ) = tr(A) = 0;
- lim det(A) = lim( n µn ) = det(A) = 1;
Le produit n µn de limite 1 est > 1/2 à partir d’un certain rang. n et µn sont donc
p de
même signe, l’un d’eux au moins admet donc une valeur absolue supérieure à 2 par
exemple. La somme ne peut avoir pour limite 0. Contradiction établie.
(c) L’ensemble des matrices diagonalisables n’est pas dense dans E lorsque K = R puisque,
par exemple, A n’est limite d’aucune suite de matrices diagonalisables.
6. Montrer que si E = M2 (C), les matrices diagonalisables forment un sous-ensemble dense de
E.
75
Index
adhérence, 9, 11
algèbre
normée, 46
algorithme
du gradient, 39
application contractante, 22
fermé, 9
fonction
continue (exemples de), 16
lipschtzienne, 14
frontière, 9
gradient
algorithme, 39
Banach
espace de Banach, 20
exemples fondamentaux, 21
boule, 9
fermée, 9
ouverte, 9
Hilbert
espace de, 20
homéomorphisme, 38
inégalités triangulaires, 3
index
intérieur, 9
intérieur, 9
intersection
de fermés, 9
finie d’ouverts, 9
caractérisation séquentielle
de la continuité, 14
des fermés, 10
compact
définition séquentielle, 30
propriétés, 30
comparaison des normes, 7, 53
complet
espace, 20
connexe par arc, 28
constante
de Lipschitz, 14
continuité
caractérisation en dim finie, 26
caractérisation séquentielle, 14
des fonctions, 14
des fonctions coordonnées en dim finie, 26
uniforme, 14, 18, 30
continuité des appl. linéaires
recettes pratiques, 44
continuité des coordonnées, 17
convexe
projection, 32
limite
d’une fonction, 13
d’une suite, 6
méthode
de Newton
racine carrée d’une matrice, 38
Newton
méthode de, 38
norme, 3
d’algèbre, 43
matricielle, 43
subordonnée, 43
normes équivalentes, 8, 25
normes usuelles
dans les espaces K n , 3
dans les espaces de suites, 4
dans les espaces fonctionnels, 3
définition séquentielle
des compacts, 30
dense
partie, 11
di↵éomorphisme, 38
ouvert, 9
point
adhérent, 9
polynôme
scindé sur R, 48
produit
d’evn, 16
espace
complet, 20
de Banach, 20
de Hilbert, 20
espace normé, 3
réunion
76
d’ouverts, 9
finie de fermés, 9
Riemann
lemme de, 13
suite
de matrices, 48
de Cauchy, 19
théorème
équivalence des normes en dim finie, 25
Bolzano Weierstrass, 31
CN de convergence des composantes, 24
continuité applc. bil., 42
continuité des appl. linéaires, 41
continuité des appl. linéaires en dim finie,
27
convergence des suites de Cauchy en dim
finie, 25
CS de convergence des composantes, 24
de Bolzano Weierstrass, 25
de Heine, 18, 30
du point fixe, 22
fcts égales sur A dense, 12
image d’un compact, 30
images réciproques des ouverts et fermés
par une fonction continue, 15
limite d’une fonction composée, 14
topologie
sur Mn (R)), 48
77