Notation. La différentielle d`une application f en un point a est notée

Université Lille I
2013-2014
L3 Maths
M-52
7 - APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLE
Notation. La différentielle d’une application f en un point a est notée d f x ou d f (x). La dérivée directionnelle d’une application f en un point x suivant le vecteur v est notée ∂v f (x).
On note Mn (R), GL(n, R) l’espace des matrices carrées réelles n × n et le groupe des éléemnts inversibles de
Mn (R).
Exercice 1
a) Rappeler la définition de différentiabilité et de dérivée directionnelle suivant un vecteur.
b) Soit f : R2 → R définie par
{
f (x, y) =
x2 y
x 2 +y 2
si (x, y) ̸= (0, 0)
0
sinon
.
Montrer que f est continue en (0, 0) et que pour tout v ∈ R2 la dérivée directionnelle ∂v f (0, 0) de f en (0, 0)
suivant la direction v existe. Montrer que l’application v ∈ R2 7→ ∂v f (0, 0) n’est pas linéaire. En tirer les conséquences.
c) On considère f : R2 → R définie par f (0, 0) = 0 et, si (x, y) ̸= (0, 0), f (x, y) =
0, pour tout v ∈ E , mais que f n’est pas différentiable en (0, 0).
x3 y
. Montrer que pour ∂v
x 4 +y 2
f (0, 0) =
Exercice 2
a) Dans un espace vectoriel réel E muni d’une norme ∥ · ∥, on considère l’application N : x ∈ E 7→ ∥x∥. En
raisonnant par l’absurde, montrer que N n’est pas différentiable en 0 (on pourra regarder ses dérivées
directionnelles).
On suppose désormais que E est un espace pré-hilbertien sur R et que ∥ · ∥ est la norme associée au produit
scalaire ⟨·|·⟩ sur E .
b) Montrer que g : x 7→ ∥x∥2 est différentiable sur E et calculer sa différentielle dg .
c) En déduire
(
) que f : x 7→ ∥x∥ est différentiable en tout point de E \{0}, et calculer sa différentielle d f . Décrire
Ker d f x pour tout x ̸= 0.
Exercice 3
Étudier la différentiabilité des applications suivantes définies sur Rn [X ] :
∫
f : P 7→
0
1
(P 3 (t ) − P 2 (t )) d t
et
g : P 7→ P ′ − P 2
Exercice 4
a) Soit O = {(u, v) ∈ R3 × R3 | u ∧ v ̸= 0}. Calculer la différentielle de l’application
(u, v) ∈ O 7→ ln ∥u ∧ v∥
où ∥ · ∥ désigne la norme euclidienne.
b) Pour f et g deux applications dérivable d’un intervalle I ⊂ R dans R3 , déterminer, pour tout t ∈ I , les dérivées
des fonctions t 7→ f (t ) ∧ g (t ) et t 7→ ⟨ f (t ), g (t )⟩.
1
c) Utiliser le résultat précédent pour montrer que ∥ f ∥ est constante si et seulement si ⟨ f (t ), f ′ (t )⟩ = 0, pour
tout t ∈ I .
Exercice 5
Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de l’espace euclidien R3 s’expriment en fonction des coordonnées paraboliques (ξ, η, φ) ∈ [0, +∞]2 × [0, 2π] via les formules
√
√
1
x = ξη cos φ,
y = ξη sin φ,
z = (ξ − η).
2
(Le nom coordonnées paraboliques vient du fait que les familles de surfaces ξ = Constante et η = Constante sont
des paraboloïdes de révolution d’axe de symétrie z).
Calculer la matrice jacobienne de l’application (ξ, η, φ) 7→ (x, y, z) et déterminer le lieu où le déterminant
jacobien est non nul.
Exercice 6
a) Soit f : A ∈ Mn (R) 7→ det A ∈ R l’application qui associe à une matrice A son déterminant. Rappelons que
d f A (H ) = det(A) trace(A −1 H ),
∀A ∈ GL(n, R)
En déduire, en utilisant l’expression de la matrice inverse A −1 en fonction de la matrice complémentaire de
A et un argument de densité, une formule pour d f A pour tout A ∈ Mn (R).
b) Retrouver cette formule à partir de la formule de Laplace pour le déterminant de A.
Exercice 7
Soit (E , ⟨·|·⟩) un espace préhilbertien réel. Soit u ∈ L c (E ) un endomorphisme continu que l’on suppose symétrique : ∀x, y, ⟨u(x)|y⟩ = ⟨x|u(y)⟩.
a) Montrer que l’application x ∈ E 7→ ⟨u(x)|x⟩ est différentiable sur E et calculer sa différentielle. En déduire
que l’application x 7→ ∥x∥2 est différentiable.
b) Pour x ∈ E , on pose ϕ(x) =
⟨u(x)|x⟩
⟨x|x⟩ . Montrer que ϕ est différentiable. Calculer ensuite dϕ.
c) Soit a ∈ E \ {0}. Montrer que dϕa = 0 si et seulement si a est vecteur propre de u.
Exercice 8
Soit F un fermé non vide de Rn muni de la norme euclidienne ∥·∥. Soit f : Rn → R définie par f (x) = dist(x, F ) =
inf{∥z − x∥ | z ∈ F }.
On rappelle que f est 1-lipschitzienne, et que pour chaque x ∈ Rn il existe un point y ∈ F tel que f (x) =
∥x − y∥.
Soient x ∈ Rn \ F un point où f est différentiable et y ∈ F un point tel que f (x) = ∥x − y∥.
a) Montrer que ∥d f x ∥L (Rn ;R) ≤ 1.
b) On considère la fonction φ : t ∈ R 7→ f ((1−t )x+t y). En calculant φ′ (0) de deux façons, montrer que d f x
1. En déduire que ∥d f x ∥L (Rn ;R) = 1.
(
x−y
∥x−y∥
)
=
c) En déduire que y est l’unique point de F satisfaisant f (x) = ∥x − y∥.
Exercice 9
a) Déterminer le lieu des points (x 1 , x 2 ) ∈ R2 où l’application f : R2 → R définie par f (x 1 , x 2 ) = ∥x∥∞ = max (|x 1 |, |x 2 |)
et différentiable et calculer sa différentielle.
b) Généraliser ceci à f : F → R, f (x) = ∥x∥∞ , avec F = Rn ou F l’ensemble des suites convergentes vers zéro.
Exercice 10
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et L (E ) l’espace des endomorphismes linéaires de E . On rappelle
que l’exponentielle de A ∈ L (E ), notée exp A ou e A , est définie par
exp(A) =
2
∞ Aj
∑
j =0 j !
a) Soit ϕ l’application
ϕ : t ∈ R 7→ exp(t A);
Montrer que ϕ(s)ϕ(t ) = ϕ(s + t ) pour tout (t , s) ∈ R2 et que ϕ′ (t ) = A exp(t A) = exp(t A)A.
b) On suppose désormais que E est un espace pré-hilbertien sur R et que ∥ · ∥ est la norme associée au produit
scalaire ⟨·|·⟩ sur E . Soit A ∈ L (E ) tel que Ax ⊥ x pour tout x ∈ E ; montrer que exp A est une isométrie (c’està-dire que ∥ exp Ax∥ = ∥x∥ pour tout x ∈ E ). (Indication : Dériver la fonction t ∈ R 7→ ∥e t A x∥2 .)
c) En déduire que si A ∈ Mn (R) est une matrice antisymétrique alors M = exp A est une matrice orthogonale
(c-à-d. M M T = I ) de déterminant égal à 1.
Exercice 11 (*)
Soit f : R2 → R l’application x = (x 1 , x 2 ) 7→ ∥x∥1 = |x 1 | + |x 2 |. Est-elle différentiable ?
∑
Considérons maintenant l’espace l 1 des suites réelles x = (x j )∞
muni de la norme ∥x∥1 = ∞
j =1 |x j |.
j =1
a) Montrer que pour toute forme linéaire continue L sur l 1 il existe une suite bornée α = (α1 , α2 , . . . ) telle que
L(x) =
∞
∑
j =1
αj x j .
b) Montrer que la norme ∥ · ∥1 : l 1 → R n’est différentiable en aucun point de l 1 (raisonner par l’absurde en
utilisant (1)).
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