Notation. La différentielle d`une application f en un point a est notée

Université Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
7 - APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLE
Notation. La différentielle d’une application fen un point aest notée dfxou df(x). La dérivée direction-
nelle d’une application fen un point xsuivant le vecteur vest notée ∂vf(x).
On note Mn(R), GL(n,R) l’espace des matrices carrées réelles n×net le groupe des éléemnts inversibles de
Mn(R).
Exercice 1
a) Rappeler la définition de différentiabilité et de dérivée directionnelle suivant un vecteur.
b) Soit f:R2→Rdéfinie par
f(x,y)=x2y
x2+y2si (x,y)̸= (0,0)
0 sinon .
Montrer que fest continue en (0,0) et que pour tout v∈R2la dérivée directionnelle ∂vf(0,0) de fen (0,0)
suivant la direction vexiste. Montrer que l’application v∈R27→ ∂vf(0,0) n’est pas linéaire. En tirer les consé-
quences.
c) On considère f:R2→Rdéfinie par f(0,0) =0 et, si (x,y)̸= (0,0), f(x,y)=x3y
x4+y2. Montrer que pour ∂vf(0,0) =
0, pour tout v∈E, mais que fn’est pas différentiable en (0,0).
Exercice 2
a) Dans un espace vectoriel réel Emuni d’une norme ∥ · ∥, on considère l’application N:x∈E7→ ∥x∥. En
raisonnant par l’absurde, montrer que Nn’est pas différentiable en 0 (on pourra regarder ses dérivées
directionnelles).
On suppose désormais que Eest un espace pré-hilbertien sur Ret que ∥ · ∥ est la norme associée au produit
scalaire 〈·|·〉 sur E.
b) Montrer que g:x7→ ∥x∥2est différentiable sur Eet calculer sa différentielle dg.
c) En déduire que f:x7→ ∥x∥est différentiable en tout point de E\{0}, et calculer sa différentielle df. Décrire
Ker dfxpour tout x̸= 0.
Exercice 3
Étudier la différentiabilité des applications suivantes définies sur Rn[X] :
f:P7→ 1
0(P3(t)−P2(t)) d t et g:P7→ P′−P2
Exercice 4
a) Soit O={(u,v)∈R3×R3|u∧v̸= 0}. Calculer la différentielle de l’application
(u,v)∈O7→ ln∥u∧v∥
où ∥·∥désigne la norme euclidienne.
b) Pour fet gdeux applications dérivable d’un intervalle I⊂Rdans R3, déterminer, pour tout t∈I, les dérivées
des fonctions t7→ f(t)∧g(t) et t7→ 〈 f(t),g(t)〉.
1

c) Utiliser le résultat précédent pour montrer que ∥f∥est constante si et seulement si 〈f(t), f′(t)〉 = 0, pour
tout t∈I.
Exercice 5
Les coordonnées cartésiennes (x,y,z) de l’espace euclidien R3s’expriment en fonction des coordonnées para-
boliques (ξ,η,φ)∈[0,+∞]2×[0,2π] via les formules
x=ξη cosφ,y=ξη sinφ,z=1
2(ξ−η).
(Le nom coordonnées paraboliques vient du fait que les familles de surfaces ξ=Constante et η=Constante sont
des paraboloïdes de révolution d’axe de symétrie z).
Calculer la matrice jacobienne de l’application (ξ,η,φ)7→ (x,y,z) et déterminer le lieu où le déterminant
jacobien est non nul.
Exercice 6
a) Soit f:A∈Mn(R)7→ det A∈Rl’application qui associe à une matrice Ason déterminant. Rappelons que
dfA(H)=det(A)trace(A−1H), ∀A∈GL(n,R)
En déduire, en utilisant l’expression de la matrice inverse A−1en fonction de la matrice complémentaire de
Aet un argument de densité, une formule pour dfApour tout A∈Mn(R).
b) Retrouver cette formule à partir de la formule de Laplace pour le déterminant de A.
Exercice 7
Soit (E,〈·|·〉) un espace préhilbertien réel. Soit u∈Lc(E) un endomorphisme continu que l’on suppose symé-
trique : ∀x,y,〈u(x)|y〉 = 〈x|u(y)〉.
a) Montrer que l’application x∈E7→ 〈u(x)|x〉est différentiable sur Eet calculer sa différentielle. En déduire
que l’application x7→ ∥x∥2est différentiable.
b) Pour x∈E, on pose ϕ(x)=〈u(x)|x〉
〈x|x〉. Montrer que ϕest différentiable. Calculer ensuite dϕ.
c) Soit a∈E\{0}. Montrer que dϕa=0 si et seulement si aest vecteur propre de u.
Exercice 8
Soit Fun fermé non vide de Rnmuni de la norme euclidienne ∥·∥. Soit f:Rn→Rdéfinie par f(x)=dist(x,F)=
inf{∥z−x∥ | z∈F}.
On rappelle que fest 1-lipschitzienne, et que pour chaque x∈Rnil existe un point y∈Ftel que f(x)=
∥x−y∥.
Soient x∈Rn\Fun point où fest différentiable et y∈Fun point tel que f(x)= ∥x−y∥.
a) Montrer que ∥dfx∥L(Rn;R)≤1.
b) On considère la fonction φ:t∈R7→ f((1−t)x+t y). En calculant φ′(0) de deux façons, montrer que dfxx−y
∥x−y∥=
1. En déduire que ∥dfx∥L(Rn;R)=1.
c) En déduire que yest l’unique point de Fsatisfaisant f(x)= ∥x−y∥.
Exercice 9
a) Déterminer le lieu des points (x1,x2)∈R2où l’application f:R2→Rdéfinie par f(x1,x2)= ∥x∥∞=max(|x1|,|x2|)
et différentiable et calculer sa différentielle.
b) Généraliser ceci à f:F→R,f(x)= ∥x∥∞, avec F=Rnou Fl’ensemble des suites convergentes vers zéro.
Exercice 10
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et L(E) l’espace des endomorphismes linéaires de E. On rappelle
que l’exponentielle de A∈L(E), notée exp Aou eA, est définie par
exp(A)=
∞
j=0
Aj
j!
2

a) Soit ϕl’application
ϕ:t∈R7→ exp(t A);
Montrer que ϕ(s)ϕ(t)=ϕ(s+t) pour tout (t,s)∈R2et que ϕ′(t)=Aexp(t A)=exp(t A)A.
b) On suppose désormais que Eest un espace pré-hilbertien sur Ret que ∥ · ∥ est la norme associée au produit
scalaire 〈·|·〉 sur E. Soit A∈L(E) tel que Ax ⊥xpour tout x∈E; montrer que exp Aest une isométrie (c’est-
à-dire que ∥exp Ax∥ = ∥x∥pour tout x∈E). (Indication : Dériver la fonction t∈R7→ ∥et A x∥2.)
c) En déduire que si A∈Mn(R) est une matrice antisymétrique alors M=exp Aest une matrice orthogonale
(c-à-d. M M T=I) de déterminant égal à 1.
Exercice 11 (*)
Soit f:R2→Rl’application x=(x1,x2)7→ ∥x∥1= |x1| + |x2|. Est-elle différentiable ?
Considérons maintenant l’espace l1des suites réelles x=(xj)∞
j=1muni de la norme ∥x∥1=∞
j=1|xj|.
a) Montrer que pour toute forme linéaire continue Lsur l1il existe une suite bornée α=(α1,α2,...) telle que
L(x)=
∞
j=1
αjxj.
b) Montrer que la norme ∥ · ∥1:l1→Rn’est différentiable en aucun point de l1(raisonner par l’absurde en
utilisant (1)).
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