Topologie I-II

Topologie I-II
T
EXé by Pantruche, d’après les notes du cours du Pr. Kathryn Hess Bellwald
2 juin 2011

Table des matières
1 Espaces topologiques et applications continues 4
1.1 Définitions et exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Quelques topologies spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Topologieproduit ................................ 8
1.2.2 Topologies de sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Topologied’ordre................................. 10
1.2.4 Relation entre topologie produit, topologie de sous-espace et topologie d’ordre 11
1.3 Autour de la notion de "fermé" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Fermés....................................... 12
1.3.2 Adhérence et intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Pointslimite ................................... 14
1.3.4 EspacesdeHausdorff............................... 15
1.3.5 Suitesconvergentes................................ 16
1.4 Applicationscontinues.................................. 16
1.4.1 Homéomorphismes................................ 18
1.4.2 Produits et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Espacesmétriques .................................... 23
1.5.1 Le cas particulier de R,Rnet RJ........................ 25
1.5.2 Espaces métriques, convergence et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Latopologiequotient................................... 30
1.6.1 Applications quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2 Propriété-clé des applications quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.3 Comment construire des applications-quotient ? . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.4 Outil pour la construction d’espaces quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.5 Le lien entre relations d’équivalence et la topologie . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Espaces connexes et compacts 36
2.1 Espacesconnexes..................................... 37
2.1.1 La droite réelle (et des espaces semblables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Espaces connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3 Composantes connexes et connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.4 Connexitélocale ................................. 44
2.2 Espacescompacts..................................... 45
2.2.1 Compacité et topologie d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Compacité et espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 Compacitélocale................................. 53
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TABLE DES MATIÈRES 0
2.3 LethéorèmedeTychonoff................................ 55
3 Notions de séparabilité 58
3.1 Espacesréguliers ..................................... 58
3.2 Espacesnormaux..................................... 60
3.2.1 Encore des espaces normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Lelemmed’Urysohn................................... 63
3.3.1 Conséquences importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Espaces métriques complets et espaces fonctionnels 68
4.1 Espaces métriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 Compacité et espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Espacesfonctionnels ................................... 71
4.2.1 La topologie point-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 La topologie compact-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3 La topologie de convergence compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.4 La topologie uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Homotopie et le groupe fondamental 80
5.1 Lanotiond’homotopie.................................. 80
5.1.1 Cas particuliers importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Legroupefondamental.................................. 82
5.3 Le calcul de π1(S1,1) ................................... 86
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Chapitre 1
Espaces topologiques et
applications continues
But : Axiomatisation de la notion de continuité, afin d’avoir une définition raisonnable de conti-
nuité d’applications f:X→Y, où Xet Yne sont pas forcément de type Rn.
1.1 Définitions et exemples fondamentaux
But : Etudier la structure dont un ensemble doit être muni pour qu’il puisse être le domaine ou
le codomaine d’une application continue. Ceci est motivé par l’exemple des boules ouvertes dans
Rn.
Notation. Soit Xun ensemble. Alors P(X) = {U|U⊆X}est l’ensemble des parties de X.
Définition 1.1. Soit Xun ensemble. Une topologie sur Xest un sous-ensemble T ⊆ P(X)qui
vérifie :
(T1) ∅, X ∈ T .
(T2) Pour tout R ⊆ T ,SU∈R U∈ T . Autrement dit, toute réunion d’éléments de Test aussi
un élément de T.
(T3) Pour tous U1, . . . , Un∈ T ,Tn
i=1 Ui∈ T . Autrement dit, toute intersection finie d’éléments
de Test aussi dans T.
Terminologie :
–U∈ T :Uest un ouvert de T(ou, par abus de langage, un ouvert de X).
– Le couple (X, T)est un espace topologique.
Remarque. Un ensemble Xpeut admettre de nombreuses topologies.
Exemples 1.2. 0) La topologie grossière (aussi appelée triviale) sur X:Tgr ={∅, X}. On a
(T1) trivialement vérifié, de même que (T2) (car ∅∪X=X) et (T3) (car ∅∩X=∅).
∞) La topologie discrète sur X:Tdisc =P(X). Les axiomes sont trivialement vérifiés. Observer
que {x}∈Tdisc pour tous x∈X.
1) X={x, y}: Trouver toutes les topologies possibles sur X. On a P(X) = {∅,{x},{y}, X}.
On a d’une part Tdisc et Tgr , mais encore T1={∅,{x}, X}et T2={∅,{y}, X}. La vérifica-
tion des axiomes est aisée.
2) Soit Xun ensemble quelconque. Poser Tdén={U⊆X|X\Udénombrable}, qui est appelée
la topologie dénombrable sur X. Vérifications :
4

CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES ET APPLICATIONS CONTINUES 1
(T1) X\X=∅qui est dénombrable, donc X∈ Tdén. De plus, X\∅=X∈ Tdén. Ainsi,
(T1) est vérifié.
(T2) Soit R ⊆ Tdén. Poser V=SU⊆R U. Alors X\V=X\(SU⊆R U) = TU⊆R(X\U).
Or, X\Uest soit dénombrable, soit X. Donc
\
U⊆R
(X\U) = 
XsiR={∅}
dénombrable s0il existe U∈ R,
U6=∅
(T3) Soit U1, . . . , Un∈ Tdén. Alors : X\(Ti=n
i=1 Ui) = Si=n i=1 (X\Ui). Or, X\Uiest soit
dénombrable, soit X, donc
n
[
i=1
(X\Ui) = 
Xs0il existe itel que Ui=∅
dénombrable sinon,car une réunion finie
d0ensembles dénombrables est également
dénombrable.
Comparaison de topologies :
Définition 1.3. Soient Tet T0deux topologies sur X. Si T ⊆ T 0, alors Test plus grossière que
T0, et T0est plus fine que T. Si T*T0et T0*T, alors ces topologies sont incomparables.
Exemple 1.4. On a toujours Tgr ⊆ T , pour toute topologie Tsur X. Réciproquement, T ⊆ Tdisc
pour toute topologie Tsur X. Par exemple, X={x, y}. On a
Tgr ⊆({∅, X, {x}}
{∅, X, {y}} )⊆ Tdisc,
mais {∅, X, {x}} et {∅, X, {y}} sont incomparables.
Voici une façon plus simple de considérer une topologie :
Définition 1.5. Un sous-ensemble B ⊆ P(X)est une base de topologie si :
(B1) Pour tout x∈X, ∃B∈ B tel que x∈B. Autrement dit, SB∈B B=X.
(B2) Pour tout x∈Xet pour tous B1, B2∈ B tels que si x∈B1∩B2, il existe B3tel que
x∈B3⊂B1∩B2.
Si Best une base de topologie sur X, la topologie engendrée par Best
TB={U⊆X|∀x∈U, ∃B∈ B tel que x∈B⊆U}.
Remarque. B ⊆ TB!
Lemme 1.6. TBest vraiment une topologie sur X.
Démonstration. (T1) ∅∈ TB, car ∅ne contient aucun point de X, et la condition est donc
trivialement vérifiée.
X∈ TB, car (B1) veut dire que pour tout x∈X, il existe B∈ B avec x∈B⊆X.
(T2) Soit R⊆TB. Poser V=SU∈R U. Soit x∈V. Alors il existe U∈ R tel que x∈U. Or
U∈ TB. Donc, par définition de TB, il existe B∈ B tel que x∈B⊆U⊆V, ce qui veut dire
que V∈ TB.
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