Chapitre 05 Seconde VECTEURS DU PLAN I- Vecteurs et translations 1. Définition Soit A et B deux points du plan. Lorsque, à tout point M du plan, on associe le point M ′ tel que [AM ′ ] et [AB] ont le − − → même milieu, on dit que M ′ est l’image de M par la translation de vecteur AB. B A b b b b b M M′ − − → On représente le vecteur AB par une flèche. A est l’origine, B est l’extrémité du vecteur − − → AB. − − → Un vecteur AB est caractérisé par : • une direction (celle de la droite (AB)) ; • un sens (de A vers B) ; • une longueur AB. M ′ est l’image de M par la translation de vecteur AB si et seulement si le quadrilatère ABM ′ M est un parallélogramme. Remarque Si le point M est aligné avec A et B le parallélogramme est « aplati ». M M′ A b b b B b b 2. Egalité de deux vecteurs Définition −− → −−→ On dit que deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ils sont associés à la même translation. − − → −−→ −− → AB = CD si et seulement si D est l’image de C par la translation de vecteur AB. B b A b D b C b 1 Chapitre 05 Seconde Propriété − − → −−→ Les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. −→ −−→ On remarque que ABDC est un parallélogramme si et seulement si AC = BD. B b A b D b C b On remarque que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même longueur. Propriété Soit A et B deux points du plan. − → −→ Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = IB. I A b b B b → 3. Notation − u → → → On notera avec une seule même lettre − u (ou − v, − w , · · · ) tous lees vecteurs égaux à −− → un vecteur AB. − − → → u. On dit que AB est un représentant du vecteur − → Un vecteur − u est donc caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur. (voir le − → vecteur F en physique) ~u ~u → Propriété Soit − u un vecteur du plan. −−→ → Pour tout point O du plan, il existe un unique point M tel que OM = − u . M est − → l’image de O par la translation de vecteur u . 2 Chapitre 05 Seconde ~u b M ~u Ob Bb A b Définition Le vecteur dont l’origine et l’extrémité son confondues est appelé le vecteur nul. Il est − → noté 0 . Le vecteur nul n’a ni direction, ni sens. 4. Norme d’un vecteur Définition → → → On appelle norme d’un vecteur − u , notée k− u k, la longueur de − u. − − → − → kABk = AB et k 0 k = 0. II- Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan. Soit (O; I, J) un repère du plan. −−→ Pour tout vecteur ~u du plan, il existe un unique point M tel que ~u = OM . Définition Les coordonnées de ~u dans le repère (O; I, J) sont les coordonnées de M dans le repère (O; I, J). M y b J+ b O + I x Propriété 1 Soit deux points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) dans un repère (O; I, J) du plan. − − → Alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ). Démonstration −−→ − − → Soit M (x; y) le point tel que OM = AB. − − → Les coordonnées de M sont les coordonnées de AB. Le quadrilatère OABM est un parallélogramme donc ses diagonales [OB] et [AM ] ont le même milieu. 0 + xB = xA + xM x = xB − xA 2 2 On en déduit : ⇐⇒ . 0 + y y + y B A B y = yB − yA = 2 2 − − → On a bien : AB(xB − xA ; yB − yA ). 3 Chapitre 05 Seconde Exemple Placer dans un repère (O; I, J) du plan les points A(1; 2), B(6; 3), C(−4; 2), D(−1; 1), E(−4; 3) et F (2; 3). −− → −−→ −− → Déterminer les coordonnées des vecteurs AB, CD et EF : • par le calcul ; • par lecture graphique. Propriété Deux vecteurs du plan sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. Exemple Dans un repère (O; I, J), on considère les points A(1; 2), B(5; 4), C(2; 1), D(−2; −1) et E(6; 2). 1) Montrer que le quadrilatère ABCD est un prallélogramme. 2) Calculer les coordonnées du point G tel que le quadrilatère CBEG soit un parallélogramme. III- Somme de deux vecteurs Définition 1 Soit ~u et ~v deux vecteurs. Le somme des vecteurs ~u et ~v , notée ~u + ~v, est le vecteur associé à la translation résultant de la succession des translations de vecteurs ~u et ~v . C b ~u + ~v A ~v b ~u b B B est l’image de A par la translation de vecteur ~u, C est l’image de B par la translation de vecteur ~v . C est l’image de A par la translation de vecteur ~u + ~v . Propriétés Pour tous points A, B, C et D du plan : − − → −−→ −→ • AB + BC = AC (relation de Chasles) − − → −→ −−→ • AB + AC = AD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (règle du parallélogramme). b Construction de la somme de deux vecteurs ~u et ~v ~u b ~v 4 b Chapitre 05 Seconde • avec la relation de Chasles − − → On place un point A, on construit le point B tel que AB = ~u et le point C tel que z}|{ BC = ~v . −→ AC est un représentant du vecteur ~u + ~v . Cb ~v ~u + ~v ~u b B b A • avec la règle du parallélogramme − − → On place un point A, on construit le point B tel que AB = ~u et le point C tel que −→ AC = ~v . On construit ensuite le parallélogramme ABDC. −−→ AD est un représentant du vecteur ~u + ~v . D b C b ~u + ~v B ~v b ~u b A Propriétés de la somme Pour tous vecteurs ~u, ~u et w, ~ on a : • ~u + ~v = ~v + ~u ; • ~u + ~0 = ~u ; • ~u + (~v + w) ~ = (~u + ~v ) + w ~ = ~u + ~v + w. ~ Définition 2 Opposé d’un vecteur L’opposé d’un vecteur ~u est le vecteur noté −~u tel que ~u + (−~u) = ~0. 5 Chapitre 05 Seconde ~u −~u − − → −− → L’opposé du vecteur AB et le vecteur BA. Définition 3 Différence de deux vecteurs La différence de deux vecteurs ~u et ~v , notée ~u − ~v est la somme ~u + (−~v ). ~u ~u −~v ~v ~u − ~v Propriété Coordonnées Soit deux vecteurs ~u(x; y) et ~v (x′ ; y ′ ) dans un repère (O; I, J). Alors le vecteur ~u + ~v a pour coordonnées (x + x′ ; y + y ′ ). Les coordonnées du vecteur −~u sont (−x; −y). Exemple Dans un repère (O; I, J), on considère les points A(4; 3) et les vecteurs ~u(−1; −2) et ~v (−2; 3). 1) Calculer les coordonnées du vecteur ~u + ~v . −−→ 2) Calculer les coordonnées du point M défini par AM = ~u + ~v . IV- Produit d’un vecteur par un réel Définition • Si ~u = ~0, alors pour tout réel λ, λ~u = ~0 ; • si λ = 0, alors pour tout vecteur ~u du plan, λ~u = ~0 ; • si λ > 0, le vecteur λ~u a même direction, même sens que ~u et kλ~uk = λ~u ; • si λ < 0, on a −λ > 0, le vecteur λ~u a même direction, même sens que ~u et kλ~uk = −λ~u. Propriété Soit (O; I, J) un repère du plan, un vecteur ~u(x; y) dans ce repère et lambda un nombre réel. Le vecteur λ~u a pour coordonnées coordonnées (λx; λy) dans le repère (O; I, J). Exemple 1 6 Chapitre 05 Seconde On donne ~u(2; −1). Déterminer les coordonnées des vecteurs 2~u, −3~u. Tracer un représentant de chacun des vecteurs ~u, 2~u et −3~u dans un repère (O; I, J). Exemple 2 Dans un repère, on donne les points A(2; 1), B(7; 1) et C(3, 3). − − → −→ Construire le point M tel que AB + 2AC puis calculer les coordonnées de M . Règles de calcul Pour tous vecteurs ~u et ~v , pour tous réels λ et µ : • λ~u = ~0 ⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0. • λ(~u + ~v ) = λ~u + λ~v . • (λ + µ)~u = λ~u + µ~u. — λ(µ~u) = (λµ)~u. Exemple 2 On donne deux vecteurs ~u et ~v . Réduire l’écriture de : 2(~u − 3~v ) − 3 ~u − ~v . 3 Définition 2 Soit deux vecteurs ~u et ~v non nuls. On dit que ~u et ~v sont colinéaires lorsqu’il existe un réel λ tel que ~v = λ~u. Conséquences • Soit quatre points A, B, C et D distincts deux à deux. (AB) est parallèle à (CD) si − − → −−→ et seulement si les vecteurs (AB et CD sont colinéaires. • Soit trois points A, B, C distincts deux à deux . A, B et C sont alignés si et seulement −− → −→ si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Théorème Soit ~u(x; y) et ~v dans un repère (O; I, J). Les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si xy ′ − yx′ = 0. Démonstration Les vecteurs ~u et~v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel λ tel que ~u = λ~v , ce x = λx′ qui équivaut à : . y = λy ′ x x′ est un tableau de proportionnalité. y y′ C’est encore équivalent à xy ′ = yx′ ou encore xy ′ − yx′ = 0. Ceci équivaut à dire que le tableau Exemple 1 On donne les points A(−1; 3), B(7; −1), C(5; 0), D(4; 2) et E(0; 4). 1. Démontrer que les points A, B et C sont alignés. 2. Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Exemple 2 4 ; 0 et N (1; 1). Dans un repère (O; I, J), on donne les points M 3 La droite (M N ) coupe l’axe des ordonnées en un point P . Déterminer les coordonnées de P. 7