VECTEURS DU PLAN

Chapitre 05 Seconde
VECTEURS DU PLAN
I- Vecteurs et translations
1. Définition
Soit Aet Bdeux points du plan.
Lorsque, à tout point Mdu plan, on associe le point M′tel que [AM′] et [AB] ont le
même milieu, on dit que M′est l’image de Mpar la translation de vecteur −−→ AB.
AB
MM′
On représente le vecteur −−→ AB par une flèche. Aest l’origine, Best l’extrémité du vecteur
−−→
AB.
Un vecteur −−→ AB est caractérisé par :
•une direction (celle de la droite (AB)) ;
•un sens (de Avers B) ;
•une longueur AB.
M′est l’image de Mpar la translation de vecteur AB si et seulement si le quadrilatère
ABM ′Mest un parallélogramme.
Remarque Si le point Mest aligné avec Aet Ble parallélogramme est « aplati ».
A B
MM′
2. Egalité de deux vecteurs
Définition
On dit que deux vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont égaux si et seulement si ils sont associés à
la même translation.
−−→
AB =−−→ CD si et seulement si Dest l’image de Cpar la translation de vecteur −−→ AB.
A
B
C
D
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Propriété
Les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un
parallélogramme.
On remarque que ABDC est un parallélogramme si et seulement si −→ AC =−−→ BD.
A
B
C
D
On remarque que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction,
même sens et même longueur.
Propriété
Soit Aet Bdeux points du plan.
Le point Iest le milieu du segment [AB] si et seulement si −→ AI =−→ IB.
AB
I
3. Notation −→ u
On notera avec une seule même lettre −→ u(ou −→ v,−→ w,···) tous lees vecteurs égaux à
un vecteur −−→ AB.
On dit que −−→ AB est un représentant du vecteur −→ u.
Un vecteur −→ uest donc caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur. (voir le
vecteur −→ Fen physique)
~u
~u
Propriété Soit −→ uun vecteur du plan.
Pour tout point Odu plan, il existe un unique point Mtel que −−→ OM =−→ u.Mest
l’image de Opar la translation de vecteur −→ u.
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~u
~u
A
B
O
M
Définition
Le vecteur dont l’origine et l’extrémité son confondues est appelé le vecteur nul. Il est
noté −→ 0 .
Le vecteur nul n’a ni direction, ni sens.
4. Norme d’un vecteur
Définition
On appelle norme d’un vecteur −→ u, notée k−→ uk, la longueur de −→ u.
k−−→ ABk=AB et k−→ 0k= 0.
II- Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan.
Soit (O;I, J) un repère du plan.
Pour tout vecteur ~u du plan, il existe un unique point Mtel que ~u =−−→ OM .
Définition
Les coordonnées de ~u dans le repère (O;I, J) sont les coordonnées de Mdans le repère
(O;I, J).
x
y
O+
I
+
J
M
Propriété 1
Soit deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) dans un repère (O;I, J) du plan.
Alors le vecteur −−→ AB a pour coordonnées (xB−xA;yB−yA).
Démonstration
Soit M(x;y) le point tel que −−→ OM =−−→ AB.
Les coordonnées de Msont les coordonnées de −−→
AB.
Le quadrilatère OABM est un parallélogramme donc ses diagonales [OB] et [AM ] ont
le même milieu.
On en déduit : 
0 + xB
2=xA+xM 2
0 + yB
2=yA+yB 2
⇐⇒ x=xB−xA
y=yB−yA.
On a bien : −−→ AB(xB−xA;yB−yA).
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Exemple
Placer dans un repère (O;I, J) du plan les points A(1; 2), B(6; 3), C(−4; 2), D(−1; 1),
E(−4; 3) et F(2; 3).
Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB,−−→ CD et −−→ EF :
•par le calcul ;
•par lecture graphique.
Propriété
Deux vecteurs du plan sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées
dans un repère du plan.
Exemple
Dans un repère (O;I, J), on considère les points A(1; 2), B(5; 4), C(2; 1), D(−2; −1)
et E(6; 2).
1) Montrer que le quadrilatère ABCD est un prallélogramme.
2) Calculer les coordonnées du point Gtel que le quadrilatère CBEG soit un paral-
lélogramme.
III- Somme de deux vecteurs
Définition 1
Soit ~u et ~v deux vecteurs. Le somme des vecteurs ~u et ~v, notée ~u +~v, est le vecteur associé
à la translation résultant de la succession des translations de vecteurs ~u et ~v.
~u
~v
~u +~v
A
B
C
Best l’image de Apar la translation de vecteur ~u,Cest l’image de Bpar la translation
de vecteur ~v.
Cest l’image de Apar la translation de vecteur ~u +~v.
Propriétés
Pour tous points A,B,Cet Ddu plan :
•−−→ AB+−−→
BC=−→ AC (relation de Chasles)
•−−→ AB +−→ AC =−−→ AD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (règle du parallé-
logramme).
Construction de la somme de deux vecteurs ~u et ~v
~u
~v
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•avec la relation de Chasles
On place un point A, on construit le point Btel que −−→ AB =~u et le point Ctel que
z}|{
BC =~v.
−→
AC est un représentant du vecteur ~u +~v.
~u +~v
~u
~v
A
B
C
•avec la règle du parallélogramme
On place un point A, on construit le point Btel que −−→ AB =~u et le point Ctel que
−→
AC =~v. On construit ensuite le parallélogramme ABDC.
−−→
AD est un représentant du vecteur ~u +~v.
~u +~v
~u
~v
A
B
C
D
Propriétés de la somme
Pour tous vecteurs ~u,~u et ~w, on a :
•~u +~v =~v +~u ;
•~u +~ 0 = ~u ;
•~u + (~v +~w) = (~u +~v) + ~w =~u +~v +~w.
Définition 2 Opposé d’un vecteur
L’opposé d’un vecteur ~u est le vecteur noté −~u tel que ~u + (−~u) = ~ 0.
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