Pratiques Calculatoires I Inégalités dans R

27 septembre 2013
Pratiques Calculatoires
I Inégalités dans R
I.A Inégalités larges et strictes
L’ensemble des nombres réels (noté R) est muni des opérations +et ×.
On définit la relation aÉb(qui peut être vraie ou fausse). Cette relation est vraie si et seulement si b−aest un réel
positif ou nul.
La relation Émuni l’ensemble des nombres réels d’une relation d’ordre totale. Cela signifie que cette relation
d’ordre est compatible avec les opérations +et ×:
a,b,cet détant des réels quelconques (i.e. : ∀(a,b,c,d)∈R4) :
1. aÉa(la relation Éest réflexive)
2. Si aÉbet bÉcalors aÉc(transitivité)
3. Si aÉbet bÉaalors a=b(antisymétrie)
4. aÉb⇒a+cÉb+c
5. Si 0 Éaet 0 Ébalors 0 Éa×b
6. Si aÉbet 0 Écalors c×aÉc×b
7. Si aÉbet cÉ0 alors c×bÉc×a
8. Si aÉbet cÉdalors a+cÉb+d
9. Si 0 ÉaÉbet 0 ÉcÉdalors 0 Éa×cÉb×d
Proposition 1 (Compatibilité avec les opérations et premières propriétés)
Exercice I.1 : Utilisons ces propriétés pour résoudre des inégalité simples :
1. 4x−5É5x−1
2. x2Éx
3. Dresser le tableau de signe de f(x)=ax +b
4. Comparer n2+1 et (n+1)2pour n∈N.
Démonstration. On démontre quelques unes de ces propriétés en étudiant le signe de la différence de ces expressions.
On définit une relation dite d’ordre strict notée <qui est la restriction de la relation d’ordre aux couples d’élé-
ments distincts : x<ysi et seulement si xÉyet x6= y.
Définition 1 (Inégalités strictes)
Remarque 1 : Attention : <n’est pas une relation d’ordre puisque la réflexivité n’est pas satisfaite!
I.B Intervalles de R
Un intervalle de Rest une partie convexe de R, c’est-à-dire un ensemble Ide réels vérifiant la propriété suivante :
∀(x,y)∈I2,xÉy⇒[x,y]⊂I
autrement dit :
∀(x,y)∈I2,xÉy⇒∀z∈[x,y],z∈I
Définition 2 (Définition d’un intervalle)
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I.B Intervalles de R27 septembre 2013
Remarque 2 : On retiendra pour le moment que l’on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par
deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. C’est à dire : un intervalle contient tous
les nombres réels compris entre ces deux bornes
Soient (a,b)∈R2, cette définition regroupe les intervalles des types suivants :
1. Intervalle ouvert : ]a,b[={x∈R,a<x<b}
2. Intervalle fermé : [a,b]={x∈R,aÉxÉb}
3. Intervalle semi-ouverts ]a,b]={x∈R,a<xÉb}et [a,b[={x∈R,aÉx<b}
Définition 3 (ISO 31-11)
À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On
ajoute donc les intervalles de ce type :
1. ]−∞,a[={x∈R,x<a}
2. ]−∞,a]={x∈R,xÉa}
3. ]a,+∞[={x∈R,a<x}
4. [a,+∞[={x∈R,aÉx}
Définition 4
Remarque 3 : On définit aussi les intervalles particuliers :
1. L’ensemble vide (à la fois ouvert et fermé) : ;={}
2. {a}=[a,a] (fermé)
3. R=]−∞,+∞[ (ouvert)
On définit dans le tableau ci-dessous les relations intervalles-inégalités-représentation graphique :
Intervalle Inégalité Représentation
[a,b]aÉxÉbab
[a,b[aÉx<bab
]a,b[a<x<bab
]a,+∞[a<xa
]−∞,b]xÉbb
Soient Iet Jdeux intervalles de R.
1. On appelle réunion de Iet Jl’ensemble noté I∪Jcontenant l’ensemble des réels qui appartiennent soit
àI, soit à J.
I∪J={x∈R,x∈Iou x∈J}
2. On appelle intersection de Iet Jl’ensemble noté I∩Jcontenant l’ensemble des réels de qui appartiennent
àIET à J.
I∩J={x∈R,x∈IET x∈J}
Définition 5
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I.C Composition d’une inégalité et d’une fonction monotone 27 septembre 2013
Remarque 4 : Attention, le OU mathématiques est toujours inclusif contrairement au langage courant « fromage
ou dessert » est exclusif par exemple...
Une intersection d’intervalles de Rest toujours un intervalle.
Proposition 2
Démonstration. On suppose que Iet Jsont deux intervalles de R. On peut supposer que Iet Jsont non réduits à un singleton (sinon leur intersec-
tion est soit réduite à ce point, soit à l’ensemble vide, qui sont des intervalles)
On note E=I∩J.
Soient aet bdeux réels de l’ensemble E, on peut supposer que aÉbquitte à échanger ces réels.
•a∈Edonc a∈Iet a∈J
•b∈Edonc b∈Iet b∈J
Par définition de la notion d’intervalle, on a donc [a,b]⊂Iet [a,b]⊂Jdonc ∀z∈[a,b] on a donc z∈Iet z∈J, en conclusion, z∈E.
Donc Eest un intervalle par définition : Si a∈Eet b∈Ealors, [a,b]⊂E.
Exemple 1 : •]−∞,3[∩]5,7[
•]−2,4[∩]5,7[
•]−∞,6[∩]5,7[∩]−∞,π[∩]−π,p2[
Remarque 5 : Attention, la réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
Exemple 2 : •]−∞,3[∪]5,7[
•]−2,3[∪]5,7[
I.C Composition d’une inégalité et d’une fonction monotone
Soit fune application d’un intervalle Ià valeurs dans R.
1. fest dite croissante sur Isi :
∀(a,b)∈I2,aÉb⇒f(a)Éf(b)
2. fest dite décroissante sur Isi :
∀(a,b)∈I2,aÉb⇒f(a)Êf(b)
Définition 6
Remarque 6 : Une fonction croissante sur un intervalle conserve l’ordre... exemples (fonction carrée, racine, loga-
rithme, exp...)
I.D Valeur absolue, inégalité triangulaire
Pour x∈R, on définit la valeur absolue de xpar :
|x|=max(x,−x)=½xsi xÊ0
−xsi xÉ0
On peut aussi définir la distance entre deux réels xet ypar : d(x,y)=|y−x|
Définition 7
Remarque 7 : La valeur absolue du réel xest aussi appelée sa distance à 0.
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I.E Minorer, majorer 27 septembre 2013
∀(x,y)∈R2, on a :
1. |x|=0⇔x=0
2. |x|=|−x|
3. |x|=|y|⇔½x=y
x=−y
Proposition 3 (Premières propriétés des valeurs absolues)
Démonstration. 1. (⇒) On suppose |x|= 0, donc x=0 ou −x=0 ce qui impose x=0
(⇐) Si x=0 alors |x|=|à|=0
2. |x|= max(x,−x)=max(−x,x)=|−x|
3. |x|= |y| ⇔½Si xÊ0x=|y|
Si xÉ0−x=|y|⇔
x=y
x=−y
−x=y
−x=−y
⇔½x=y
x=−y
∀(x,y)∈R2, on a :
1. |x+y|É|x|+|y|
2. ¯¯|x|−|y|¯¯É |x+y|
Proposition 4 (Inégalité triangulaire)
Démonstration.
1. Il suffit de comparer les carrés, car pour tout Xréel, |X|Ê 0 :
|x+y|2=(x+y)2=x2+y2+2x y
= |x|2+|y|2+2x y É |x|2+|y|2+2|x y|É(|x|+|y|)2
2. |x|= |−y+(x+y)|É|−y|+|x+y| = |y|+|x+y|, donc : |x|−|y| É|x+y|De même, |y|−|x|É|x+y|. Donc ||x|−|y||É |x+y|
rétant un réel positif. i.e. : r∈R⋆
+
1. |x−a|=r⇔
x=a+r
ou
x=a−r
2. |x−a|Ér⇔x∈[a−r,a+r]
3. |x−a|Êr⇔x∈]−∞,a−r]∪[a+r,+∞[
Proposition 5 (Résolution d’équations et inéquations avec valeurs absolues)
Remarque 8 : 1. Si r<0 :
(a) L’équation |x−a|=rn’a aucune solution.
(b) |x−a|Érn’a aucune solution.
(c) |x−a|Êradmet Rcomme ensemble de solutions.
2. Réécrire la propriété avec des inégalités strictes
3. Représentations graphiques ...
Démonstration.
I.E Minorer, majorer
« La base de l’analyse [...] pourrait se résumer en trois mots : majorer, minorer, approcher. »
Calcul infinitésimal, Jean Dieudonné.
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On utilise très souvent les valeurs absolues pour encadrer des expressions dont on veut connaître le comporte-
ment. Par exemple :
aÉxÉb⇔a−a+b
2Éx−a+b 2Éb−a+b 2
⇔a−b
2Éx−a+b 2Éb−a 2
⇔−b−a
2Éx−a+b 2Éb−a 2
⇔¯¯¯¯x−a+b
2¯¯¯¯Éb−a 2
Finalement, majorer et minorer xrevient toujours à écrire une majoration de |x−c|où cest le milieu de l’intervalle
d’encadrement de x.
I.E.1 Majoration, minoration, encadrement d’une somme
La définition de la relation d’ordre dans Rpermet d’écrire, pour tout réels (x,x′,a,a′,b,b′) :
½aÉxÉb
a′Éx′Éb′⇔a+a′Éx+x′Éb+b′
On a alors :
−b′É−x′É−a′donc a−b′Éx−x′Éb−a′
En conclusion :
∗Pour majorer (respectivement minorer) une somme, il suffit de majorer (respectivement minorer) chacun des
termes
∗Pour majorer une différence x−x′il suffit de majorer xet de minorer x′
∗Pour minorer une différence x−x′il suffit de majorer x′et de minorer x
I.E.2 Majoration, minoration, encadrement d’un produit ou d’un quotient
Pour tout réels (x,x′,a,a′,b,b′)strictement positifs :
½0<aÉxÉb
0<a′Éx′Éb′⇔0<a×a′Éx×x′Éb×b′
On a aussi :
0<1
b′
′É1
x′É1 a′donc a b′Éx x′Éb a′
En conclusion :
∗Pour majorer (respectivement minorer) un produit de deux réels strictement positifs, il suffit de majorer (respecti-
vement minorer) chacun de ses facteurs.
∗Pour majorer le quotient x
x′de deux réels strictement positifs il suffit de majorer le numérateur et minorer le déno-
minateur.
∗Pour minorer le quotient x
x′de deux réels strictement positifs il suffit de minorer le numérateur et majorer le déno-
minateur.
II Équations et inéquations polynomiales de degrés 2 et 3
II.A Équation du second degré
II.A.1 Factorisation, forme canonique
On considère l’équation suivante où a∈R∗, (b,c)∈R2:
ax2+bx +c=0⇐⇒ aµx+b
2a¶2
−b2
4a+c
Cette équation équivaut donc à
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