Pratiques Calculatoires I Inégalités dans R
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27 septembre 2013
Pratiques Calculatoires
I Inégalités dans R
I.A Inégalités larges et strictes
L’ensemble des nombres réels (noté R) est muni des opérations + et ×.
On définit la relation a É b (qui peut être vraie ou fausse). Cette relation est vraie si et seulement si b − a est un réel
positif ou nul.
La relation É muni l’ensemble des nombres réels d’une relation d’ordre totale. Cela signifie que cette relation
d’ordre est compatible avec les opérations + et × :
Proposition 1 (Compatibilité avec les opérations et premières propriétés)
a, b, c et d étant des réels quelconques (i.e. : ∀(a, b, c, d) ∈ R4 ) :
1. a É a (la relation É est réflexive)
2. Si a É b et b É c alors a É c (transitivité)
3. Si a É b et b É a alors a = b (antisymétrie)
4. a É b ⇒ a + c É b + c
5. Si 0 É a et 0 É b alors 0 É a × b
6. Si a É b et 0 É c alors c × a É c × b
7. Si a É b et c É 0 alors c × b É c × a
8. Si a É b et c É d alors a + c É b + d
9. Si 0 É a É b et 0 É c É d alors 0 É a × c É b × d
Exercice I.1 :
Utilisons ces propriétés pour résoudre des inégalité simples :
1. 4x − 5 É 5x − 1
2. x 2 É x
3. Dresser le tableau de signe de f (x) = ax + b
4. Comparer n 2 + 1 et (n + 1)2 pour n ∈ N.
Démonstration. On démontre quelques unes de ces propriétés en étudiant le signe de la différence de ces expressions.
Définition 1 (Inégalités strictes)
On définit une relation dite d’ordre strict notée < qui est la restriction de la relation d’ordre aux couples d’éléments distincts : x < y si et seulement si x É y et x 6= y.
Remarque 1 :
Attention : < n’est pas une relation d’ordre puisque la réflexivité n’est pas satisfaite !
I.B Intervalles de R
Définition 2 (Définition d’un intervalle)
Un intervalle de R est une partie convexe de R, c’est-à-dire un ensemble I de réels vérifiant la propriété suivante :
∀(x, y) ∈ I 2 , x É y ⇒ [x, y] ⊂ I
autrement dit :
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∀(x, y) ∈ I 2 , x É y ⇒ ∀z ∈ [x, y], z ∈ I
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I.B Intervalles de R
27 septembre 2013
Remarque 2 : On retiendra pour le moment que l’on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par
deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. C’est à dire : un intervalle contient tous
les nombres réels compris entre ces deux bornes
Définition 3 (ISO 31-11)
Soient (a, b) ∈ R2 , cette définition regroupe les intervalles des types suivants :
1. Intervalle ouvert : ]a, b[= {x ∈ R, a < x < b}
2. Intervalle fermé : [a, b] = {x ∈ R, a É x É b}
3. Intervalle semi-ouverts ]a, b] = {x ∈ R, a < x É b} et [a, b[= {x ∈ R, a É x < b}
Définition 4
À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On
ajoute donc les intervalles de ce type :
1. ] − ∞, a[= {x ∈ R, x < a}
2. ] − ∞, a] = {x ∈ R, x É a}
3. ]a, +∞[= {x ∈ R, a < x}
4. [a, +∞[= {x ∈ R, a É x}
Remarque 3 :
On définit aussi les intervalles particuliers :
1. L’ensemble vide (à la fois ouvert et fermé) : ; = {}
2. {a} = [a, a] (fermé)
3. R =] − ∞, +∞[ (ouvert)
On définit dans le tableau ci-dessous les relations intervalles-inégalités-représentation graphique :
Intervalle
Inégalité
Représentation
[a, b]
aÉx Éb
a
b
[a, b[
aÉx <b
a
b
]a, b[
a<x <b
a
b
]a, +∞[
a<x
a
] − ∞, b]
x Éb
b
Définition 5
Soient I et J deux intervalles de R.
1. On appelle réunion de I et J l’ensemble noté I ∪ J contenant l’ensemble des réels qui appartiennent soit
à I , soit à J .
I ∪ J = {x ∈ R, x ∈ I ou x ∈ J }
2. On appelle intersection de I et J l’ensemble noté I ∩J contenant l’ensemble des réels de qui appartiennent
à I ET à J .
I ∩ J = {x ∈ R, x ∈ I ET x ∈ J }
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I.C Composition d’une inégalité et d’une fonction monotone
27 septembre 2013
Remarque 4 : Attention, le OU mathématiques est toujours inclusif contrairement au langage courant « fromage
ou dessert » est exclusif par exemple...
Proposition 2
Une intersection d’intervalles de R est toujours un intervalle.
Démonstration. On suppose que I et J sont deux intervalles de R. On peut supposer que I et J sont non réduits à un singleton (sinon leur intersection est soit réduite à ce point, soit à l’ensemble vide, qui sont des intervalles)
On note E = I ∩ J .
Soient a et b deux réels de l’ensemble E, on peut supposer que a É b quitte à échanger ces réels.
• a ∈ E donc a ∈ I et a ∈ J
• b ∈ E donc b ∈ I et b ∈ J
Par définition de la notion d’intervalle, on a donc [a,b] ⊂ I et [a,b] ⊂ J donc ∀z ∈ [a,b] on a donc z ∈ I et z ∈ J , en conclusion, z ∈ E.
Donc E est un intervalle par définition : Si a ∈ E et b ∈ E alors, [a,b] ⊂ E.
Exemple 1 :
• ] − ∞, 3[∩]5, 7[
• ] − 2, 4[∩]5, 7[
• ] − ∞, 6[∩]5, 7[∩] − ∞, π[∩] − π,
Remarque 5 :
Exemple 2 :
p
2[
Attention, la réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
• ] − ∞, 3[∪]5, 7[
• ] − 2, 3[∪]5, 7[
I.C Composition d’une inégalité et d’une fonction monotone
Définition 6
Soit f une application d’un intervalle I à valeurs dans R.
1. f est dite croissante sur I si :
2. f est dite décroissante sur I si :
Remarque 6 :
rithme, exp...)
∀(a, b) ∈ I 2 , a É b ⇒ f (a) É f (b)
∀(a, b) ∈ I 2 , a É b ⇒ f (a) Ê f (b)
Une fonction croissante sur un intervalle conserve l’ordre... exemples (fonction carrée, racine, loga-
I.D Valeur absolue, inégalité triangulaire
Définition 7
Pour x ∈ R, on définit la valeur absolue de x par :
|x| = max(x, −x) =
½
x
−x
si x Ê 0
si x É 0
On peut aussi définir la distance entre deux réels x et y par : d(x, y) = |y − x|
Remarque 7 :
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La valeur absolue du réel x est aussi appelée sa distance à 0.
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I.E Minorer, majorer
27 septembre 2013
Proposition 3 (Premières propriétés des valeurs absolues)
∀(x, y) ∈ R2 , on a :
1. |x| = 0 ⇔ x = 0
2. |x| = | − x|
3. |x| = |y| ⇔
½
x=y
x = −y
Démonstration.
1. (⇒) On suppose |x| = 0, donc x = 0 ou −x = 0 ce qui impose x = 0
(⇐) Si x = 0 alors |x| = |à| = 0
2. |x| = max(x,−x) = max(−x, x) = | − x|
x=y
½
x = −y
Si x Ê 0 x = |y |
⇔
3. |x| = |y | ⇔
−x = y
Si x É 0 − x = |y |
−x = −y
⇔
½
x=y
x = −y
Proposition 4 (Inégalité triangulaire)
∀(x, y) ∈ R2 , on a :
1. |x + y| É |x| + |y|
¯
¯
2. ¯|x| − |y|¯ É |x + y|
Démonstration.
1. Il suffit de comparer les carrés, car pour tout X réel, |X | Ê 0 :
|x + y |2
=
=
(x + y )2 = x 2 + y 2 + 2x y
|x|2 + |y |2 + 2x y É |x|2 + |y |2 + 2|x y | É (|x| + |y |)2
2. |x| = | − y + (x + y )| É | − y | + |x + y | = |y | + |x + y |, donc : |x| − |y | É |x + y | De même, |y | − |x| É |x + y |. Donc ||x| − |y || É |x + y |
Proposition 5 (Résolution d’équations et inéquations avec valeurs absolues)
r étant un réel positif. i.e. : r ∈ R⋆
+
x
=
a
+
r
ou
1. |x − a| = r ⇔
x = a −r
2. |x − a| É r ⇔ x ∈ [a − r, a + r ]
3. |x − a| Ê r ⇔ x ∈] − ∞, a − r ] ∪ [a + r, +∞[
Remarque 8 :
1. Si r < 0 :
(a) L’équation |x − a| = r n’a aucune solution.
(b) |x − a| É r n’a aucune solution.
(c) |x − a| Ê r admet R comme ensemble de solutions.
2. Réécrire la propriété avec des inégalités strictes
3. Représentations graphiques ...
Démonstration.
I.E Minorer, majorer
« La base de l’analyse [...] pourrait se résumer en trois mots : majorer, minorer, approcher. »
Calcul infinitésimal, Jean Dieudonné.
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On utilise très souvent les valeurs absolues pour encadrer des expressions dont on veut connaître le comportement. Par exemple :
a +b
a +b
a +b
Éx−
Éb−
2
2
2
a −b
a +b b −a
⇔
Éx−
É
2
2
2
a +b b −a
b−a
Éx−
É
⇔−
2
2
¯
¯ 2
¯ b−a
¯
a
+
b
¯É
⇔ ¯¯x −
2 ¯
2
aÉx Éb ⇔a−
Finalement, majorer et minorer x revient toujours à écrire une majoration de |x − c| où c est le milieu de l’intervalle
d’encadrement de x.
I.E.1 Majoration, minoration, encadrement d’une somme
La définition de la relation d’ordre dans R permet d’écrire, pour tout réels (x, x ′ , a, a ′ , b, b ′ ) :
½
aÉxÉb
⇔ a + a′ É x + x′ É b + b′
a′ É x′ É b′
On a alors :
−b ′ É −x ′ É −a ′ donc a − b ′ É x − x ′ É b − a ′
En conclusion :
∗ Pour majorer (respectivement minorer) une somme, il suffit de majorer (respectivement minorer) chacun des
termes
∗ Pour majorer une différence x − x ′ il suffit de majorer x et de minorer x ′
∗ Pour minorer une différence x − x ′ il suffit de majorer x ′ et de minorer x
I.E.2 Majoration, minoration, encadrement d’un produit ou d’un quotient
Pour tout réels (x, x ′ , a, a ′ , b, b ′ ) strictement positifs :
½
0<a Éx Éb
⇔ 0 < a × a′ É x × x′ É b × b′
0 < a′ É x′ É b′
On a aussi :
0<
a
1′ 1
1
x
b
É ′ É ′ donc ′ É ′ É ′
′
b
x
a
b
x
a
En conclusion :
∗ Pour majorer (respectivement minorer) un produit de deux réels strictement positifs, il suffit de majorer (respectivement minorer) chacun de ses facteurs.
x
∗ Pour majorer le quotient ′ de deux réels strictement positifs il suffit de majorer le numérateur et minorer le dénox
minateur.
x
∗ Pour minorer le quotient ′ de deux réels strictement positifs il suffit de minorer le numérateur et majorer le dénox
minateur.
II Équations et inéquations polynomiales de degrés 2 et 3
II.A Équation du second degré
II.A.1 Factorisation, forme canonique
On considère l’équation suivante où a ∈ R∗ , (b, c) ∈ R2 :
µ
¶
b 2 b2
ax 2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a x +
+c
−
2a
4a
Cette équation équivaut donc à
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II.A Équation du second degré
27 septembre 2013
µ
x+
• Si ∆ = 0 il y a une unique solution qui est x = −
b
2a
b
2a
¶2
=
b 2 − 4ac
4a 2
On pose donc ∆ = b 2 − 4ac appelé le discriminant de l’équation.
p
p
−b + ∆
−b − ∆
et x2 =
.
2a
2a
• Si ∆ < 0, il n’y a aucune solution réelle (mais des solutions complexes...)
µ
¶
b 2 b2
Pour (a, b, c) ∈ R⋆ × R2 : ax 2 + bx + c = a x +
+c
−
2a
4a
C’est la forme canonique du polynôme du second degré.
Dans le cas où ∆ Ê 0, le polynôme P = ax 2 + bx + c se factorise en :
• Si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions réelles :x1 =
p !Ã
p !
−b − ∆
−b + ∆
P =a x−
x−
= a(x − x1 )(x − x2 )
2a
2a
Ã
Exercice II.1 :
Résoudre :
Résoudre :
Factoriser :
1. (x − 3)2 = (2x + 5)2
1. P 1 = (x − 3)2 − (2x + 5)2
2
2. 4(x + 1) = 9x
2
2
2
2
2
2
2. P 2 = 4(x + 1) − 9x
2
1. (x − 3)2 < (2x + 5)2
2. 4(x + 1)2 É 9x 2
3. P 3 = (3x − 1) − (x + x + 14)
3. (3x − 1) = x + x + 14
3. (3x − 1)2 > x 2 + x + 14
II.A.2 Signe du trinôme
De l’étude précédente, on déduit sans peine le signe d’un trinôme du second degré :
⋆ Dans le cas où ∆ > 0
x
x1
−∞
Signe(a)
ax 2 +bx+c
0
x2
−Signe(a)
0
+∞
Signe(a)
⋆ Dans le cas où ∆ = 0
x
x0
−∞
Signe(a)
ax 2 +bx+c
0
+∞
Signe(a)
⋆ Dans le cas où ∆ < 0
x
−∞
+∞
Signe(a)
ax 2 +bx+c
II.A.3 Somme et produit des racines : relations coefficients-racines
On suppose que ax 2 + bx + c = 0 est une équation du second
degré dontple discriminant est positif (au sens large).
p
−b + ∆
−b − ∆
et x2 =
(éventuellement égales si ∆ = 0) qui
Alors, cette équation admet deux racines x1 =
2a
2a
vérifient :
b
x1 + x2 = −
ca
x1 × x2 =
a
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II.B Équation se ramenant au second degré
27 septembre 2013
Démonstration. À démontrer...
Réciproquement
On suppose que x et y sont
½ des réels tels que x + y = S et x × y = P avec S et P des réels. On cherche à résoudre
x+y =S
l’équation à deux inconnues :
x×y =P
Cette
équation équivaut à :
½
y
=S−x
x 2 − Sx + P = 0
Démonstration. À démontrer...
Finalement, déterminer deux réels dont on connaît la somme S et le produit P revient à résoudre l’équation du
second degré x 2 − Sx + P = 0 .
II.B Équation se ramenant au second degré
II.B.1 Équation du troisième degré dont une racine est connue
Dans un prochain chapitre nous démontrerons que si x0 est une racine réelle d’un polynôme P alors ce polynôme
se factorise par X − x0 .
Cela fournit une méthode de résolution pour les équations polynomiales du troisième degré, lorsqu’une solution
est connue.
Exercice II.2 :
Résoudre en déterminant une racine évidente :
3
1. x − 2x + 1 = 0
2. 3x 3 + x 2 + 13x − 10 = 0 dont x =
3. 1 + x + x 2 + x 3 = 0
2
est une racine (le vérifier)
3
II.B.2 Équation se ramenant au second degré
Exercice II.3 : Résoudre en déterminant une racine évidente :
4
1 − 2x
=−
1.
3x + 1
3
2. x 4 − 13x 2 + 36 = 0 (équation bicarrée)
p
3. x − 4 x − 5 = 0
III Équations et inéquations trigonométriques
III.A Cercle trigonométrique et définition du radian
Définition 8 (Cercle trigonométrique)
³ →
− →
−´
Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal 0, i , j , on considère le cercle C de centre O et de rayon
1.
C est le cercle trigonométrique, ou le cercle unité.
On oriente ce cercle, par convention, positivement dans le sens antihoraire.
Définition 9 (Mesure d’un angle orienté en radian)
~
u et ~
v étant deux vecteurs non nuls du plan orienté.
1
1
−−→
−−→
~
~
On note A le point tel que O A =
u et B le point tel que OB =
v
k~
uk
k~
vk
A et B sont deux points du cercle trigonométrique puisque O A = OB = 1.
⌢
Une mesure de l’angle orienté (~
u ,~
v ) en radian est la longueur de l’arc AB affecté du signe positif si l’on parcourt
le cercle de A vers B dans le sens trigonométrique, et du signe moins sinon.
Une telle mesure est alors définie à 2π près, et l’on écrit :
(~
u ,~
v ) = θ + 2kπ ou encore (~
u ,~
v ) ≡ θ[2kπ] ce qui se lit « est congru a θ modulo 2 pi »
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III.B Lignes trigonométriques et valeurs usuelles
27 septembre 2013
Exemples 3 :
1. Un angle plein mesure donc 0 + 2kπ radian avec k ∈ Z
π
π
2. Un angle droit mesure + 2kπ radian s’il est de sens direct et − + 2kπ sinon avec k ∈ Z
2
2
Il est d’ailleurs important de remarquer que (~
u ,~
v ) est droit si et seulement si une mesure de cet angle orienté
π
est + kπ avec k ∈ Z.
2
3. Illustrations... droite réelle enroulée sur le cercle...
III.B Lignes trigonométriques et valeurs usuelles
Définition 10
³ →
− →
−´
Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal 0, i , j , on considère le cercle trigonométrique C .
³→
− −−→´
Soit M un point de C et soit θ une mesure de l’angle orienté i , OM .
On note cos θ et sin θ respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M.
nπ
o
sin θ
pour tout réel θ de Dtan = R\
+ kπ, k ∈ Z
On note tan θ =
cos θ
2
cos θ
On note cotanθ =
pour tout réel θ de Dcotan = R\ {kπ, k ∈ Z}
sin θ
cotanθ
sin θ
tan θ
M
θ
O
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cos θ
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1
III.B Lignes trigonométriques et valeurs usuelles
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Proposition 6
On a les propriétés suivantes :
1. La fonction définie sur R par x 7→ cos x est paire et 2π-périodique.
2. La fonction définie sur R par x 7→ sin x est impaire et 2π-périodique.
3. La fonction définie sur Dt an par x 7→ tan x est impaire et π-périodique.
4. Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et pour tout réel x : sin′ x = cos x et cos′ x = − sin x
h
i π
π
5. La fonction tangente est dérivable sur les intervalles − + kπ; + kπ , où k est un entier relatif, et sur
2
2
1
ces intervalles tan′ x = 1 + tan2 x =
cos 2 x
´
³π
+ x = cos x.
6. Pour tout réel x : sin
2
La courbe représentative de la fonction sinus se déduit donc de la courbe représentative de la fonction
π→
−
cosinus par la translation de vecteur i
2
7. Pour tout réel x : cos2 x + sin2 x = 1
Démonstration.
3
2
1
→
−
j
−3π
2
→
−
i
−π
2
−π
π
2
π
−1
−2
−3
Démonstration.
Valeurs usuelles
θ en radians
0
sin (θ)
0
cos (θ)
1
tan (θ)
0
π
6
1
2
p
3
2
p
3
3
π
4
p
2
2
p
2
2
1
Démonstration. Dans des triangles bien choisis
Angles associés
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π
3
p
3
2
1
2
p
3
π
2
1
0
Indéfinie
3π
2
III.C Formules d’addition, duplication
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cos (−x) = cos x
³π
´
+ x = − sin x
2
´
³π
+ x = cos x
sin
2
´
³π
− x = sin x
cos
2
´
³π
− x = cos x
sin
2
cos
sin (−x) = − sin x
cos (π + x) = − cos x
sin (π + x) = − sin x
cos (π − x) = − cos x
sin (π − x) = sin x
Démonstration. Configuration du triangle et du rectangle
III.C Formules d’addition, duplication
Proposition 7 (Formules d’addition)
Pour tout réel a et b :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
tan a + tan b
1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
tan(a + b) =
A′
sin(a + b)
−−→
−−→ −−→
Démonstration. On considère les points A et B du cercle trigonométrique tels que : (~
i , O A) = a[2π] et (O A, OB) = b[2π], donc :
−−→
~
(i , OB ) = a + b[2π]
−−→
π
Considérons de plus le point A ′ tel que : (~
i , O A ′ ) = a + [2π].
2
−−→
−−→
Alors, par définition : O A = cos(a)~
i + sin(a)~j et OB = cos(a + b)~
i + sin(a + b)~j .
De plus :
³
³
−−→
π ´~
π ´~
O A ′ = cos a +
i + sin a +
j = −sin(a)~
i + cos(a)~j
2
2
B
sin a
A
a+ π
2
b
a a +b
O
−−→ −−→
Or, dans le repère (0, O A, O A ′ ) :
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cos(a + b) cos a
1
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−−→
−−→
−−→
OB = cos(b)O A + sin(b)O A ′
³
´
³
´
= cos(b) cos(a)~
i + sin(a)~j + sin(b) −sin(a)~
i + cos(a)~j
= (cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b))~
i + (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)) ~
j
Or les coordonnées cartésiennes d’un vecteur dans la base (~
i , v j ) sont uniques (démonstration ... par l’absurde ... ~
i et ~
j sont non colinéaires).
Donc cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = cos a sin b + cos b sin a
Démonstration des autres formules en exercice ...
On déduit des formules précédentes
Formules de factorisation
Formules de duplication
cos(2a)
=
cos2 a − sin2 a
sin p + sin q
=
=
1 − 2sin2 a
sin p − sin q
=
cos p + cos q
=
cos p − cos q
=
=
sin(2a)
=
tan(2a)
=
2cos2 a − 1
2sin a cos a
2tan a
1 − tan2 a
Formules de linéarisation
cos2 a
2
=
sin a
=
cos a cos b
=
sin a cos b
=
sin a sin b
=
1 + cos(2a)
2
1 − cos(2a)
2
1
(cos (a + b) + cos (a − b))
2
1
(sin (a + b) + sin (a − b))
2
1
(cos (a − b) − cos (a + b))
2
³p +q´
³p −q´
cos
2
2
³p +q ´
³p −q´
2cos
sin
2
2
³p +q ´
³p −q ´
2cos
cos
2
2
³p +q´
³p −q ´
−2sin
sin
2
2
2sin
Formules de transformation
Pour tout réel θ on pose t = tan
Alors :
cos θ
=
sin θ
=
tan θ
=
θ
2
1− t2
1+ t2
2t
1+ t2
2t
1− t2
Démonstration. On démontre ces résultats en utilisant les formules d’addition.
III.C.1 Résolution d’équations trigonométriques
Pour tout réel x, on résout les équations trigonométriques à l’aide des relations suivantes :
a = b + 2kπ
ou
,k ∈ Z
cos a = cos b ⇔
a = −b + 2kπ
a = b + 2kπ
ou
,k ∈ Z
sin a = sin b ⇔
a = π − b + 2kπ
tan a = tan b ⇔ a = b + kπ, k ∈ Z
Démonstration. Illustrations, premières justifications...
IV Limites de fonctions
IV.A Notions élémentaires
Soient (a, l) ∈ R × R (R = R ∪ {−∞, +∞}).
Instinctivement : on dit que la fonction f a pour limite ℓ lorsque x tend vers a si « f (x) se rapproche de ℓ lorsque
x se rapproche de a ».
Attention ! Ce n’est pas une définition mathématique. Celle-ci sera vue ultérieurement.
Notations : lim f (x) = ℓ ou f (x) −→ ℓ.
x→a
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x→a
11 / 32
IV.B Limites usuelles
Exemple 4 :
27 septembre 2013
Dans cet exemple : lim f (x) = +∞, lim g (x) = 2 et lim g (x) = 0
x→+∞
x→1
x→1
Cf
3
2
Cg
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
−2
−3
IV.B Limites usuelles
La définition rigoureuse de la limite sera étudiée plus loin. Afin de déterminer des limites de fonctions nous utiliserons les résultats fournis ci-dessous ainsi que les propriétés proposées dans la suite du paragraphe.
Limites usuelles
p
1. Si f (x) = x, x, x 2 , x 3 , . . . alors lim f (x) = +∞
x→+∞
1 1 1 1
2. Si f (x) = p , , 2 , 3 , . . . alors lim f (x) = 0
x→+∞
x x x x
p
3. Si f (x) = x, x, x 2 , x 3 , . . . alors lim f (x) = 0
x→0
IV.C Opérations sur les fonctions et limites
L’ensemble (non exhaustif) des tableaux suivants présente (logiquement c’est un rappel !) les
théorèmes permettant de donner les incidences, sur les limites, des opérations sur les fonctions :
Limite d’une somme f + g :
Limite d’un produit f g :
❳❳❳ lim g
❳❳
lim f
❳
❳
l′
+∞
−∞
l
+∞
−∞
l +l′
+∞
−∞
+∞
+∞
?
−∞
?
−∞
Limite d’un quotient
❳❳❳ lim g
❳❳
lim f
❳
❳
l ′ 6= 0
+∞
−∞
0
l=
6 0
+∞
−∞
0
ll′
±∞
∓∞
?
±∞
+∞
−∞
?
∓∞
−∞
+∞
❳❳❳ lim g
❳❳
lim f
❳
❳
l ′ 6= 0
f
:
g
+∞
−∞
0
0
?
?
?
?
l
l′
±∞
∓∞
l
+∞
−∞
Théorème 1 (admis)
Limite d’une fonction composée.
Soient a, b et ℓ des éléments de R (donc des réels finis ou infinis).
Si f (x) −→ b et g (y) −→ ℓ, alors g ◦ f (x) −→ ℓ
x→a
Exercice IV.1 :
y→b
Étudier la limite en +∞ des fonctions :
a) f : x 7→ −2x 3 + x + 1
−x 2 + 1
b) g : x 7→ 2
3x + x + 1
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x→a
p
c) h : x 7→ x − x
p
d) i : x 7→ x 2 − x + 1
12 / 32
x2 + 1
e) j : x 7→ cos 3
x −x
µ
¶
IV.D Théorèmes de comparaison
Exercice IV.2 :
27 septembre 2013
Étudier la limite en 0 des fonctions :
p
x− x
b) g : x 7→
p .
x+ x
x2 + x + 1
a) f : x 7→
x2 − 1
IV.D Théorèmes de comparaison
Théorème 2 (Théorèmes de comparaison)
Si, pour x proche de a
u(x) É f (x)
et lorsque x tend vers a
u(x) −→ +∞
| f (x) − l | É u(x)
u(x) −→ 0
f (x) É u(x)
x→a
u(x) É f (x) É v (x)
f (x) É g (x)
Exercice IV.3 :
a) f : x 7→
x→a
u(x) −→ −∞
alors
f (x) −→ +∞
x→a
f (x) −→ −∞
x→a
f (x) −→ l
x→a
u(x) −→ l et v (x) −→ l
x→a
x→a
f et g admettent
des limites en a
x→a
f (x) −→ l
x→a
lim f (x) É lim g (x)
x→a
x→a
Étudier le comportement en +∞ des fonctions :
sin x
x
b) h : x 7→ −x + sin x
c) i : x 7→
2x + cos(x 4 )
x +1
IV.E Branches infinies
On suppose que lim f (x) = +∞.
f (x)
lorsque x tend vers +∞ nous permet de déterminer la nature d’une
La limite du rapport
x
branche infinie :
f (x)
⋆ Si
−→ 0, la courbe représentative de f admet une branche parabolique de direction (Ox).
x x→+∞
f (x)
−→ +∞, la courbe représentative de f admet une branche parabolique de direction
x x→+∞
(O y).
⋆ Si
f (x)
−→ a 6= 0, La courbe représentative de f admet une direction asymptotique suivant la
x x→+∞
droite d’équation y = ax.
Dans ce cas :
⋆ Si
• si f (x)−ax −→ b ∈ R, la courbe représentative de f admet une asymptote (oblique) d’équax→+∞
tion y = ax + b.
• si f (x) − ax −→ ±∞, la courbe représentative de f admet une branche parabolique de dix→+∞
rection asymptotique la droite d’équation y = ax.
Remarque : Les résultats précédents sont identiques au voisinage de −∞.
p
Exercice IV.4 : Soit f la fonction définie par f (x) = 2x 2 − x. Étudier les branches infinies de f .
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13 / 32
IV.F Rappels : La fonction logarithme népérien
27 septembre 2013
IV.F Rappels : La fonction logarithme népérien
On admet que toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives sur cet intervalle, et que toutes ces primitives sont égales à une constante près.
Définition 11
On définit la fonction logarithme népérien comme la primitive de la fonction x 7→
qui s’annule en 1. Cette fonction est notée ln.
1
sur R∗+
x
Proposition 8
La fonction ln est définie sur R∗+ , dérivable sur R∗+ , et on a :
1. ln 1 = 0 (par définition)
1
2. ∀x ∈ R∗+ (ln)′ (x) = (par définition)
x
3. ∀x, y ∈ R∗+ ln (x y) = ln x + ln y
4. lim+ ln x = −∞ et lim ln x = +∞
x→0
x→+∞
∗
Démonstration. 3. On fixe y ∈ R∗
+ . Montrons que ∀x ∈ R+ , ln (x y ) = ln x + ln y .
y
1 1 1
On pose h(x) = ln (x y ) − ln x − ln y , on a alors par dérivation : h ′ (x) =
− = − = 0 D’où h est constante sur R∗
+ . Or h(1) = ln (1y ) − ln 1 −
xy x
x x
,
et
le
résultat
est
prouvé.
ln y = 0, ce qui entraîne que cette constante est nulle. Finalement h(x) = 0 ∀x ∈ R∗
+
Proposition 9 (conséquences)
∀x, y ∈ R∗+ , ∀r ∈ Q :
µ ¶
1
= − ln x
(i) ln
x
µ ¶
x
(ii) ln
= ln x − ln y
y
Variations de ln : La fonction ln définit une bijection
strictement croissante de R∗+ dans R (elle est strictement
croissante et continue).
¡ ¢
(iii) ln x r = r ln x
x
0
e
1
ln′ (x)
+∞
+
+∞
1
ln(x)
L’unique antécédent du nombre 1 est noté e
2, 72).
∈ R∗+
(e ≃
0
−∞
Exercice IV.5 : Montrer que pour tout réel x strictement positif on a ln x É x − 1, avec égalité si et seulement si x = 1
(on pourra étudier la fonction h : x 7→ x − 1 − ln x). Interpréter graphiquement.
Remarque 9 : La fonction ln a sa dérivée décroissante (la courbe est concave), sa courbe représentative est « en
dessous » de sa tangente en tout point. En particulier, comme on vient de le démontrer ici, au point d’abscisse x = 1.
Proposition 10
ln x
= 0.
x
Donc la courbe représentative de ln admet une branche parabolique de direction (Ox).
On a lim
x→+∞
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IV.G Rappel : La fonction exponentielle de base e
Démonstration. Montrons que lim
ln x
27 septembre 2013
= 0.
x→+∞ x
ln x
. Dérivons f :
On pose f (x) =
x
1 − ln x
∗
′
∀x ∈ R+ , f (x) =
x2
On en déduit les variations de f :
e
0
x
f ′ (x)
0
+
+∞
−
1
e
f
-
L’étude de f nous permet donc d’écrire : ∀x ∈ R∗
+,
De plus, ∀x Ê 1 :
0É
Donc
ln x 1
É
x
e
p
p
ln( x)
1
2 1
ln x ln( x)2
= p 2 =2 p
×p É p
x
( x)
x
x e x
ln x
−→ 0.
x x→+∞
y = x −1
1
b
b
1
e
2
3
4
5
−1
−2
On constate que l’application ln est strictement croissante et continue sur ]0, +∞[, et qu’elle admet donc une application réciproque.
IV.G Rappel : La fonction exponentielle de base e
Définition 12
L’application réciproque de ln est appelée exponentielle et notée exp : R → R∗+ .
exp est continue et strictement croissante de R sur R∗+ .
½
y = exp x
⇐⇒
x ∈R
½
De plus ∀x > 0, exp(ln x) = x et ∀y ∈ R, ln(exp y) = y
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x = ln y
y >0
IV.G Rappel : La fonction exponentielle de base e
27 septembre 2013
Proposition 11
La fonction exp est dérivable sur R, et on a :
1. exp 0 = 1 et exp 1 = e.
2. ∀x ∈ R, (exp)′ (x) = exp x
3. ∀x, y ∈ R, exp (x + y) = exp x × exp y
4.
lim exp x = 0 et lim exp x = +∞
x→−∞
Démonstration.
x→+∞
1. Évident.
2. Sera démontré avec le thm de la bijection .... dans un prochain chapitre
3. D’après la proposition 3, on a : ln(exp x exp y ) = ln(exp x) + ln(exp y ) = x + y = ln(exp(x + y )). Comme ln est bijective, on a alors exp x exp y =
exp(x + y ).
Proposition 12 (conséquences)
∀x, y ∈ R, ∀r ∈ Q :
a) exp(−x) =
1
exp x
b) exp(x − y) =
exp x
exp y
c) exp(r x) = (exp x)r
En particulier, une conséquence de c) est que pour tout rationnel r , on a : exp r = exp(1r ) = (exp1)r = e r .
Par extension, on notera :exp x = e x ,∀x ∈ R
x
−∞
0
(ex p)′ (x)
1
+∞
+
+∞
e
ex p
1
0
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IV.H Croissances comparées
27 septembre 2013
3
e
b
b
2
1
b
b
b
−2
1
−1
e
2
3
4
−1
IV.H Croissances comparées
Nous avons établi la limite de la fonction x 7→
ln x
en +∞. (proposition 10)
x
ln x
1
É pour tout réel strictement
x
e
p
ln x
2
ln x 2ln x
positif x, majoration obtenue après l’étude de x 7→
, puis par transformation de l’écriture
= ¡p ¢2 É
p
x
x
e
×
x
x
et utilisation des théorèmes de comparaison.
Les limites suivantes, dites « de croissances comparées », se déduisent de ce résultat fondamental et permettent :
Il est judicieux de connaître cette démonstration, réalisée par majoration :
1. de lever les indéterminations résultant du quotient de deux fonctions ayant une limite infinie.
2. d’obtenir une information sur la croissance comparée de ces fonctions.
3. de connaître le terme prépondérant d’une expression mettant en jeu les fonctions usuelles précédemment étudiées au voisinage de l’infini.
Proposition 13
1.
ln x
=0
x→+∞ x
2.
lim
lim
x→+∞
x
=0
ex
Démonstration. On utilise la proposition 10.
∀x ∈]0,+∞[
1. Pour tout réel x strictement positif, on transforme l’écriture
α
(ln x)α
xβ
=
Ã
ln x
β
xα
!α
(ln x)α
xβ
3.
ln x
=0
ex
en utilisant les propriétés de la fonction logarithme.
β
α ln x α
−→ 0
=
β
β x→+∞
| x{zα }
−→ 0
x→+∞
D’après le théorème de la limite d’une fonction composée.
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lim
x→+∞
17 / 32
IV.H Croissances comparées
27 septembre 2013
2. En posant X = e x −→ +∞, il vient x = ln X d’où :
x→+∞
xβ
(ln X )β
xβ
(ln X )β
= x γ =
−→ 0
=
γx
e
(e )
X γ X →+∞
(e ln X )γ
D’après la propriété précédente et la limite d’une fonction composée.
3. Cette propriété est une conséquence des deux précédentes, combinées avec le théorème de la limite d’un produit de fonctions :
x
(ln x)α (ln x)α
=
× γx −→ 0
x→+∞
e γx
x
e
4. Comme a > 1 alors ln a > 0 (La fonction x 7→ ln x est strictement croissante sur ]1 + ∞[).
xβ
xβ
xβ
−→ 0 (ln a > 0).
=
=
x
a
e x ln a
(e x )ln a x→+∞
Remarque 10 :
On déduit de ces résultats :
1. que (ln x) est négligeable au voisinage de l’infini devant x
2. que x est négligeable au voisinage de l’infini devant ex
Il faut être capable de retrouver les limites suivantes à partir des limites de base et des propriétés des fonctions.
Proposition 14
1. lim+ x ln x = 0
2.
x→0
lim xe x = 0
x→−∞
Démonstration. On démontre seulement les deux cas particuliers, les autres seront traités en TD :
1
1
1
−ln X
1. On pose X = −→ +∞ : x ln x = ln =
−→ 0
x x→0
X
X
X x→0
(limite d’une fonction composée).
X
−→ 0
2. On pose X = −x −→ +∞ : xe x = −X e −X = −
x→−∞
e X x→−∞
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27 septembre 2013
V Dérivées et primitives
V.A Définition et dérivées des fonctions usuelles
On rappelle brièvement la définition de la dérivée vue au lycée. Celle ci sera approfondie dans le chapitre dérivation :
Définition 13
Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que f est dérivable en a ∈ I s’il existe un réel noté f ′ (a)
f (x) − f (a)
= f ′ (a) f est dite dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I , et la fonction
tel que : lim
x→a
x−a
f ′ : x 7→ f ′ (x) est appelée dérivée de f .
On peut maintenant étendre cette définition aux dérivées successives d’une fonction :
Définition 14
On définit les dérivées successives d’une fonction f
½ (0)
f =f
¡
¢′
.
f (k) = f (k−1)
si f (k−1) est dérivable
En particulier, f (1) = f ′ et f (2) = f ′′ .
sur un intervalle I , si elles existent, par :
Proposition 15 (Tangente à la courbe représentative de f en un point)
Par définition, le nombre dérivé en a d’une fonction dérivable est la pente (ou le coefficient directeur) de la
tangente à la courbe représentative de f en a.
La tangente à la courbe représentative de f en a est alors la droite d’équation :
y − f (a) = f ′ (a)(x − a)
Démonstration.
Exemples 5 :
Illustrations, exemples, quelques calculs, tangentes particulières...
Dérivées usuelles
Fonction
Dérivée
x a , a ∈ R \ {−1}
ax a−1
1
x
ln |x|
−
1
x2
1
x
Intervalles de validité
R si a ∈ N
R⋆
+ et R+ si a ∈ Z−
⋆
R⋆
+ et R−
eax , a ∈ C
aeax
R
sin x
cos x
R
cos x
− sin x
R
tan x
1
cos2 x
i π
h
π
− + kπ, + kπ
2
2
Démonstration. Quelques démonstrations en exercice
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⋆
R⋆
+ et R−
19 / 32
V.B Dérivées et limites
27 septembre 2013
V.B Dérivées et limites
La dérivée du logarithme est issue directement de sa définition.
On en déduit par exemple le calcul d’une limite, a priori indéterminée :
ln(1 + x) − ln(1)
1
= (ln)′ (1) = (x 7→ )(1) = 1
lim
x→0+
x +1−1
x
ln(1 + x)
= 1 (à retenir !)
Donc, : lim
x→0+
x
De la même façon, les limites suivantes, connues, permettent de lever des indéterminations très couramment
rencontrées :
sin(x)
sin(x) − sin(0)
• lim
= lim
= (sin)′ (0) = (x 7→ cos(x))(0) = 1
x→0
x→0
x
x −0
sin x
Donc : lim
= 1 (à retenir !)
x→0 x
ex − 1
ex − e0
= lim
= (exp)′ (0) = (x 7→ ex )(0) = 1
x→0
x→0 x − 0
x
ex − 1
Donc : lim
= 1 (à retenir !)
x→0
x
• lim
cos(x) − 1
(à retenir !)
x2
En exercice, en utilisant les formules de duplication.
−2sin2 x2
cos(x) − 1
lim
=
lim
x→0
x→0
x2
x2
• lim
x→0
V.C Dérivées et opérations sur les fonctions
Proposition 16
Soient f et g deux fonctions dérivables au point x0 , et λ ∈ R. Alors :
1. f + g est dérivable en x0 , et ( f + g )′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ).
2. λf est dérivable en x0 , et (λf )′ (x0 ) = λf ′ (x0 ).
3. f g est dérivable en x0 , et ( f g )′ (x0 ) = f ′ (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 ).
µ ¶′
1
− f ′ (x0 )
1
.
(x0 ) = 2
4. Si f (x0 ) 6= 0, alors est dérivable en x0 , et
f
f
f (x0 )
µ ¶′
f
f
f ′ (x0 )g (x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 )
5. Si g (x0 ) 6= 0, alors est dérivable en x0 , et
.
(x0 ) =
g
g
g 2 (x0 )
Démonstration. On montre uniquement le point 4) :
1
− f (x1 )
f (x)
0
x − x0
=
−→
x→x 0
1
f (x 0 ) − f (x)
×
f (x) f (x 0 )
x − x0
1
′
× (− f (x 0 ))
f 2 (x 0 )
V.D Dérivée d’une fonction composée et cas usuels
Proposition 17 (Composée (Admis pour le moment))
Si la fonction f est dérivable au point a et si la fonction g est dérivable au point f (a), alors g ◦ f est dérivable en
a, et :
(g ◦ f )′ (a) = g ′ ( f (a)) × f ′ (a)
Exemples 6 :
Lycée Jean Perrin 2013/2014
20 / 32
V.E Primitives d’une fonction sur un intervalle, cas usuels
27 septembre 2013
V.E Primitives d’une fonction sur un intervalle, cas usuels
Définition 15
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. On dit que F est une primitive de f si F est dérivable sur I
et a pour dérivée f .
Exemple 7 :
x 7→
1 2
x est une primitive de x 7→ x sur R.
2
Proposition 18
La différence entre deux primitives F 1 et F 2 d’une fonction f continue est une constante.
Démonstration. Soient F 1 et F 2 deux primitives de la fonction f . On a :
(F 1 − F 2 )′ (x) = F 1′ (x) − F 2′ (x) = f (x) − f (x) = 0
Donc F 1 − F 2 est une fonction constante, d’où le résultat.
Primitives usuelles
Fonction
Primitive
x a , a ∈ R \ {−1}
x a+1
a +1
Intervalles de validité
R si a ∈ N
⋆
R+ et R+ si a ∈ Z−
R si a ∉ Z
+
1
x
ln |x|
ln |x|
x ln |x| − x
⋆
R⋆
+ et R−
eax , a ∈ C
1 ax
e
a
R
sin x
− cos x
R
cos x
sin x
R
tan x
h
i π
π
− + kπ, + kπ
2
2
sin2 x
−cotanx
]kπ, (k + 1)π[
tan x
− ln | cos x|
h
i π
π
− + kπ, + kπ
2
2
cotanx
ln | sin x|
]kπ, (k + 1)π[
1
sin x
1
cos x
¯
x ¯¯
¯
ln ¯tan ¯
2
¯
³ x π ´¯
¯
¯
+ ¯
ln ¯tan
2 4
¯
¯
p
¯
¯
ln ¯ x + x 2 + b ¯
1
cos2 x
1
p
1
x2 + b
1
2
a − x2
Lycée Jean Perrin 2013/2014
⋆
R⋆
+ et R−
¯a+x¯
1
¯
¯
ln ¯
¯
2a
a−x
21 / 32
]kπ, (k + 1)π[
h
i π
π
− + kπ, + kπ
2
2
Tout intervalle où x 2 + b > 0
] − ∞, −a[,] − a, a[,]a, +∞[
27 septembre 2013
VI Propriétés de N et raisonnement par récurrence
ADMIS On suppose que N a été construit, que les entiers naturels peuvent être ordonnés, cet ordre possède les
propriétés suivantes :
1. Toute partie non vide de N a un plus petit élément.
2. Toute partie non vide et majorée de N a un plus grand élément.
3. N n’a pas de plus grand élément.
VI.A Raisonnement classique par récurrence
Principe : Il s’agit de démontrer pour n Ê p 0 (avec (n, p) ∈ N2 ) la proposition P (n). On procède en trois étapes :
◦ Initialisation : On démontre que la propriété P (p 0 ) est vraie.
◦ Hérédité : Pour un certain entier k, k Ê p 0 fixé, on démontre la proposition (P (k) ⇒ P (k + 1)), c’est à dire :
On suppose que la propriété P (k) est vraie (hypothèse de récurrence), et on en déduit que la propriété P (k + 1)
est vraie. (la propriété est dite « héréditaire »)
◦ Conclusion : On en déduit, « par récurrence », que la propriété P (n) est vraie pour tout entier n Ê p 0 .
Démonstration. La démonstration utilise l’existence d’un plus petit élément dans une partie non vide de N.
Par l’absurde si l’on considère E l’ensemble des entiers p tels que P (p) est fausse, alors, en considérant m le plus petit élément de E on a
forcément m > p 0 car P (p 0 ) est vraie. On considère alors P (m − 1) qui est vraie sinon m n’est pas le plus petit élément de E. Or P (m − 1) ⇒ P (m)
d’où la contradiction.
Exemple 8 :
Montrons que pour tout n ∈ N, 4n − 1 est un multiple de 3.
Solution. Pour n ∈ N, on va démontrer la proposition :
P (n) : " 4n − 1 est divisible par 3 "
◦ Initialisation : P (0) est vérifiée, car 40 − 1 = 0 est divisible par 3.
◦ Hérédité : Soit un entier k Ê 0 fixé :
Supposons que la propriété P (k) : " 4k − 1 est divisible par 3 " est vraie.
Montrons P (k + 1) : " 4k+1 − 1 est divisible par 3 ". On a :
4k+1 − 1 = 4 × 4k − 1 =
k
{z4 }
|3 ×
divisible par 3
+
k
|4 {z− 1}
divisible par 3
(hypothèse de récurrence)
Donc 4k+1 − 1 est divisible par 3. Donc on a P (k + 1).
◦ Conclusion : Par récurrence, la propriété P (n) est vraie pour tout entier n Ê 0.
VI.B Pièges de la récurrence
Exemple 9 :
On considére la proposition
Q(n) : "4n + 1 est divisible par 3"
Cette propriété est héréditaire :
Solution. Soit un entier k Ê 0 fixé :
Supposons que la propriété Q(k) : "4k + 1 est divisible par 3" est vraie.
Montrons Q(k + 1) : "4k+1 + 1 est divisible par 3".
On a :
k
4k+1 + 1 = 4 × 4k + 1 =
{z4 }
|3 ×
divisible par 3
Donc 4k+1 + 1 est divisible par 3. Donc on a Q(k + 1).
+
k
4
| {z+ 1}
divisible par 3
(hypothèse de récurrence)
Cependant, Q(n) est fausse. En effet 40 +1 = 2 n’est pas divisible par 3 (en particulier Q(0) est fausse). Ceci montre
que l’étape d’initialisation est essentielle dans un raisonnement par récurrence.
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VI.C Récurrence « forte »
27 septembre 2013
Rappel : On peut très bien avoir Q(k) ⇒ Q(k + 1) si ces deux propriétés sont simultanément fausses (cf chapitre
logique).
Exemple 10 : Tentons de montrer par récurrence que n points du plan sont toujours alignés (bien sûr, on sait
d’avance que ce résultat est faux). Pour n Ê 2, on introduit donc la propriété :
P (n) : "n points du plan sont toujours alignés."
◦ Initialisation : P (2) est évidemment vraie, deux points étant toujours alignés.
◦ Hérédité : Soit k Ê 2 fixé :
Supposons que la propriété P (k) est vraie, c’est à dire que k point du plan sont toujours alignés. Montrons P (k+1) : "k+1 points du plan sont toujours aligné
1. Soit (A 1 , A 2 ,... , A k+1 ) un ensemble de k + 1 points du plan.
2. On considère le sous-ensemble (A 1 , A 2 ,... , A k ) des k premiers points de cet ensemble. D’après l’hypothèse de récurrence, ces k points
sont alignés. Plus précisément, ils sont sur la droite (A 1 A 2 ).
3. On considère maintenant le sous-ensemble (A 1 , A 2 ,... , A k−1 , A k+1 ). Cet ensemble comporte également k points, qui sont donc alignés d’après l’hypothèse de récurrence, et en particulier sur la droite (A 1 A 2 ).
4. En résumé, tous les points A 1 , A 2 ,... , A k+1 sont alignés sur la droite (A 1 A 2 ). On a ainsi démontré P (k + 1).
◦ Conclusion : Par récurrence, la propriété P (n) est vraie pour tout entier n Ê 2.
Où est l’erreur ?
La propriété est pourtant bien héréditaire, on a bien (P (k) ⇒ P (k + 1)) .... pour k Ê 3 (étudiez cette erreur de
raisonnement).
VI.C Récurrence « forte »
• Récurrence à deux pas :
◦ Initialisation : On démontre que les propriétés P (0) et P (1) sont vraies.
◦ Hérédité : Pour k Ê 0 fixé, on démontre la proposition :
(P (k) et P (k + 1)) ⇒ P (k + 2)
◦ Conclusion : On en déduit, « par récurrence », que la propriété P (n) est vraie pour tout entier n Ê 0.
• Récurrence forte :
◦ Initialisation : On démontre que P (0) est vraie.
◦ Hérédité : Pour k Ê 0 fixé, on démontre la proposition :
(P (0), . . . , P (k) vraies ) ⇒ P (k + 1) vraie
◦ Conclusion : On en déduit, « par récurrence », que la propriété P (n) est vraie pour tout entier n Ê 0.
Explications : La récurrence à deux pas est la récurrence classique appliquée à la propriété Q(n) = "P (n) et P (n +
1)". La récurrence forte est la récurrence classique appliquée à la propriété Q(n) = "P (0), . . . , P (n)".
Exercice VI.1 :
Montrer les propriétés suivantes :
n(n + 1)(2n + 1)
1. 02 + 12 + 22 + · · · + n 2 =
6
2. n 2 > 4n + 3, à partir d’un certain rang à déterminer.
½
u0 = 2, u1 = 5
3. Si (un )n∈N est définie par :
∀n ∈ N, un+2 = 5un+1 − 6un
alors ∀n ∈ N, un = 2n + 3n .
4. Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un diviseur premier p.
VI.D Objets mathématiques définis par récurrence
Principe : On peut adapter l’énoncé du raisonnement par récurrence pour définir un objet mathématique P (n) :
◦ Initialisation : P (0) est définie.
◦ Hérédité : Soit k Ê 0 fixé. Si P (k) est défini, alors P (k +1) est défini à partir de P (k). C’est la relation de récurrence.
◦ Conclusion : P (n) est défini pour tout n Ê 0.
C’est ce principe qui permet de définir certains types de suites étudiées au lycée (suites définies par récurrence) :
Exemples 11 :
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VI.D Objets mathématiques définis par récurrence
27 septembre 2013
1. Les suites arithmétiques (un )n∈N définies par :
½
u0 = a
uk+1 = uk + b (pour k Ê 0)
(La suite (un )n∈N est définie par son premier terme a et sa raison b)
2. Les suites géométriques (v n )n∈N définies par :
½
v0 = a
v k+1 = q v k (pour k Ê 0)
(La suite (v n )n∈N est définie par son premier terme a et sa raison q)
Proposition 19
`
1. Le (n + 1)i eme
terme de la suite arithmétique (un )n∈N de premier terme a et de raison b a pour expression
un = a + nb.
2. Le (n + 1)i e`me terme de la suite géométrique (v n )n∈N de premier terme a et de raison q a pour expression
v n = q n a.
Démonstration. Ces propriétés faciles à conjecturer se démontrent bien évidemment par récurrence.
Exercice VI.2 : On place une somme de 15000 euros sur un compte (type livret A) dont le rendement est de 2% par
an. Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.
Calculer la somme obtenue si le rendement est de 4% par an.
Nous profitons de ce principe de récurrence pour définir les sommes et produits de n nombres (réels ou autres) et
leur notation formelle, que nous allons constamment utiliser par la suite :
Exemples 12 :
1. Le nombre n! est défini par :
(On note aussi n! = 1 × 2 × · · · n)
½
0! = 1 par convention.
(k + 1)! = (k + 1) × k! (pour k Ê 0)
2. La somme de n nombres a1 , a2 , . . . , an notée
n
X
ai est définie par :
i=1
1
X
ai = a1
i=1
k
k+1
X
X
ai + ak+1 (pour k Ê 1)
ai =
i=1
i=1
(On note aussi
n
X
i=1
ai = a1 + a2 + · · · + an )
3. Le produit de n nombres a1 , a2 , . . . , an noté
n
Y
ai est défini par :
i=1
1
Y
ai = a1
i=1
k
k+1
Y
Y
ai (pour k Ê 1)
ai = ak+1 ×
i=1
(On note aussi
n
Y
i=1
Remarques 11 :
ai = a1 a2 . . . an )
i=1
1. La variable i des sommes ou des produits est une variable muette (ou compteur). On peut la remplacer par
n
Y
i = n!.
j , k, . . . Elle peut intervenir (ou pas) dans la boucle de calcul. Par exemple pour n Ê 1, on a :
i=1
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27 septembre 2013
2. Lorsque la variable i n’intervient que comme compteur, on a les cas particuliers suivants :
1)
n
X
i=1
2)
a = |a + a +
{z· · · + a} = na
n
Y
i=1
n fois
n
a = |a × a ×
{z· · · × a} = a
n fois
3. Le compteur ne démarre pas nécessairement à 1. On peut par exemple définir pour n Ê 3 :
n
X
i=3
ai = a3 + a4 + · · · + an
VII Sommes et produits
VII.A Exemples de sommes
•
•
n
X
k=1
n
X
k 2 = 12 + 22 + · · · n 2 est la somme des carrés des n premiers entiers.
1
1
1
1
=
+
+··· +
n
+
k
n
+
1
n
+
2
2n
k=1
On rappelle que k est un compteur, et n’apparaît pas nécessairement dans la somme. Ainsi par exemple :
n
X
k=1
VII.B Décalage d’indice
2
n = |n + n +
{z· · · + n} = n
n fois
On peut choisir de ne pas initialiser le compteur k avec la valeur 1. Ainsi, on aura la notation suivante (avec p, q ∈
N, p É q) :
q
X
xk = x p + x p+1 + · · · + x q
k=p
Il est alors possible de changer ce compteur de façon à se ramener à un comptage classique :
p É k É q ⇔ 1 É k −p +1 É q −p +1
D’où, en posant i = k − p + 1, on a :
q
X
xk =
q
X
xk =
k=p
q−p+1
X
xi+p−1
q−p+1
X
xk+p−1
i=1
Lorsqu’il n’y a pas de risque de confusion, on réutilise la même lettre. Ainsi :
k=p
k=1
De manière plus générale :
Proposition 20
Pour tout entier naturel N , on a :
q
X
k=p
xk =
q+N
X
xk−N et
k=p+N
q
X
k=p
xk =
q−N
X
xk+N
k=p−N
Autrement dit, si on ajoute (resp. retranche) N aux bornes du compteur, on retranche (resp. ajoute) N à l’indice
de la somme.
Exercice VII.1 :
Compléter :
1.
n
X
k=0
xk =
n+1
X
x... ;
k=1
2.
q+1
X
k=p+1
xk =
...
X
k=...
On a par exemple les résultats suivants :
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xk+1
3
2n
X
k=n+1
xk =
n
X
k=1
x...
VII.C Opérations sur les sommes
27 septembre 2013
VII.C Opérations sur les sommes
Proposition 21
1.
q
X
k=p
2.
q
X
k=p
xk +
q
X
i=p
λxk = λ
yi =
q
X
q
X
k=p
(xk + y k )
q
X
3.
a = (q − p + 1)a
k=p
q
X
4.
xk (homogénéité)
k=p
k=p
(xk+1 − xk ) = x q+1 − x p (télescopage)
Démonstration. On démontre 4) :
q
X
k=p
(x k+1 − x k )
q
X
x k+1 −
=
k=p
=
x q+1 − x p +
q
X
k=p
xk =
q
X
q+1
X
k=p+1
xk −
k=p
q
X
k=p
xk −
q
X
xk
k=p
x k = x q+1 − x p
Pour une meilleure compréhension du principe de télescopage, on peut aussi écrire que :
q
X
k=p
(x k+1 − x k ) = (x p+1 − x p ) + (x p+2 − x p+1 ) + ··· + (x q − x q−1 ) + (x q+1 − x q )
Les seuls termes qui ne se compensent pas avec un autre terme sont x q+1 et x p (le premier et le dernier).
VII.D Application à la somme des termes d’une suite arithmétique
On démontre au préalable : S =
n
X
k=1
k = 1+2+··· +n
On remarque tout d’abord, en effectuant un changement de l’ordre des termes de la somme, que :
n
X
k=1
D’où :
2S =
n
X
k=
n
X
(n − k + 1)
k=1
(k + (n − k + 1)) =
k=1
On peut aussi écrire, ce qui revient au même :
+
S
S
2S
Finalement, on a le résultat :
=
=
=
1
n
(n + 1)
+
+
+
2
(n − 1)
(n + 1)
n
X
(n + 1) = n(n + 1)
k=1
+
+
+
···
···
···
+
+
+
n
1
(n + 1)
=
n(n + 1)
Proposition 22
La somme des n premiers entiers naturels non nuls est :
n
X
k=1
k = 1+2+··· +n =
n(n + 1)
2
Ce dernier résultat nous permet ainsi de calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique
(un )n∈N définie par
½
u0
=
a
un+1 = un + b
∀n ∈ N, un = a + nb on en déduit ainsi :
n
X
k=0
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uk
n
X
a +b
n
X
=
k=0
=
(n + 1)a + b
k
k=0
n(n + 1) n + 1
=
(2a + nb)
2
2
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VII.E Sommes et inégalités
27 septembre 2013
`
Or, 2a + nb = a + (a + nb) est la moyenne du premier et du (n + 1)i eme
terme de la suite. Finalement :
Proposition 23
La somme des n + 1 premiers termes d’une suite arithmétique (un )n∈N est :
n
X
k=0
uk = (n + 1)
u0 + un
2
VII.E Sommes et inégalités
Proposition 24
Soit n ∈ N∗ , et a1 , a2 , . . . , an , b 1 , b 2 , . . . , b n ∈ R.
n
n
X
X
bk .
ak É
1) Si ∀k ∈ [[1, n]] , ak É b k , alors :
k=1
k=1
En particulier, s’il existe des réels m et M tels que ∀k ∈ [[1, n]] , m É ak É M, alors :
nm É
n
X
k=1
ak É nM
¯
¯
¯ X
¯X
n
n
¯
¯
|a |.
ak ¯ É
2) Si a1 , a2 , . . . , an ∈ C alors ¯
¯k=1 ¯ k=1 k
Exemples 13 :
VII.F Égalité de Bernoulli - Somme des puissances consécutives d’un réel
Soient a, b deux nombres complexes quelconques, alors :
a2 − b2
3
a −b
3
(a − b)(a + b)
=
(a − b)(a 2 + ab + b 2 )
=
Plus généralement :
Proposition 25
Soient a, b ∈ C et n ∈ N∗ , alors :
an − bn
=
=
(a − b)(a n−1 + a n−2 b + . . . + ab n−2 + b n−1 )
n−1
X n−1−k k
a
b
(a − b)
k=0
Démonstration.
(a − b)
n−1
X
a n−1−k b k
=
k=0
=
n−1
X
k=0
n−1
X
k=0
(a n−k b k − a n−1−k b k+1 )
a n−k b k −
n−1
X
a n−1−k b k+1
k=0
Par un décalage d’indice sur la deuxième somme, on a :
(a − b)
n−1
X
k=0
a n−1−k b k
=
n−1
X
k=0
a n−k b k −
On retrouve le résultat annoncé.
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n
X
a n−k b k = a n − b n
k=1
VII.G Opérations sur les produits
Remarque 12 :
27 septembre 2013
La formule de Bernoulli s’exprime aussi de manière équivalente :
a n − b n = (a − b)
Exemple 14 :
n−1
X
a k b n−1−k
k=0
On peut en particulier (avec a = x et b = 1) donner pour x ∈ R la relation bien utile :
x n − 1 = (x − 1)(1 + x + x 2 + · · · + x n−1 )
Factoriser, en utilisant la formule de Bernoulli, l’expression x 7 + 1 par x + 1.
Exercice VII.2 :
Ce résultat peut s’appliquer au calcul de la somme 1 + z + · · · + z n . En effet, 1 − z n+1 = (1 − z)(1 + z + · · · + z n ) =
n
X
z k . D’où :
(1 − z)
k=1
Proposition 26
Si z 6= 1,
n
X
k=0
zk =
1 − z n+1
1−z
En particulier, si on considère une suite géométrique (un )n∈N , de premier terme u0 et de raison q 6= 1, on montre
facilement par récurrence que ∀n ∈ N, un = q n u0 et on a alors :
u0 + u1 + · · · + un = u0
1 − q n+1
1−q
On peut également remarquer que cette somme peut se retrouver autrement. En posant S =
zS =
n
X
k=0
z k+1 =
n+1
X
n
X
z k , on obtient
k=0
zk .
k=1
Ainsi : S − zS = z n+1 − 1 = S(1 − z)
D’où le résultat.
VII.G Opérations sur les produits
Les règles de décalage d’indice sont les mêmes pour les produits et pour les sommes. Nous allons énoncer ici les
règles spécifiques aux produits :
Proposition 27
1.
q
Y
xk
i=p
k=p
2.
q
Y
k=p
q
Y
yi =
q
Y
k=p
(xk × y k )
(λxk ) = λq−p+1
q
Y
xk
k=p
3.
q
Y
k=p
m
(xk ) =
Ã
q
Y
xk
k=p
!m
¯
¯
q
q
¯ Y
¯Y
¯
¯
|x |
xk ¯ =
4. ¯
¯k=p ¯ k=p k
5.
q
Y
k=p
6.
a = a q−p+1
q
Y
xk+1 x q+1
=
xp
k=p xk
(télescopage)
VII.H Produits et inégalités
Proposition 28
Soit n ∈ N∗ , et a1 , a2 , . . . , an , b 1 , b 2 , . . . , b n des réels positifs. Si ∀k ∈ [[1, n]] , ak É b k , alors
n
Y
k=1
ak É
n
Y
k=1
En particulier, s’il existe des réels positifs ou nuls m et M tels que ∀k ∈ [[1, n]] , m É ak É M, alors :
mn É
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n
Y
k=1
ak É M n
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bk .
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à !
n
VIII L’entier
et propriétés
p
à !
n
p
L’entier
(anciennement noté : C n ) est défini par la relation :
p
Définition 16
à !
n
n!
=
p!(n − p)!
p
Proposition 29 (Formules très importantes)
à ! Ã
!
n
n
1) Pour 0 É p É n, on a :
=
p
n−p
2) Pour n Ê p + 1, on a :
Remarque 13 :
Ã
! Ã
! Ã !
n +1
n
n
=
+
p +1
p +1
p
1) Il faut connaître sans hésiter les valeurs suivantes :
à ! à !
à ! Ã
!
n
n
n
n
=
= 1 et
=
=n
0
n
1
n −1
2) La deuxième formule de la proposition
à ! 29 est connue sous le nom de formule du triangle de Pascal. Elle permet de
n
calculer de proche en proche les
, en les disposant de manière triangulaire : on construit un tableau où, pour
p
à !
n
`
0 É p É n, on place l’élément
à la n i eme
ligne et p i ème colonne :
p
❍
❍❍ p 0
n ❍❍
0
1
2
3
4
5
..
.
..
.
1
1
1
1
1
1
..
.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
···
..
n +1
..
.
···
.
à !
n
p
n
p +1
p
Ã
Ã
n
p +1
n +1
p +1
!
!
La première colonne et la diagonale ne contiennent que des 1, et chacun des autres éléments est obtenu en faisant
la somme des éléments haut et haut-gauche.
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29 / 32
27 septembre 2013
Démonstration. 1) Pour la première égalité :
à !
n
p
=
=
n!
n!
=
p!(n − p)! (n − p)!p!
Ã
!
n!
n
=
(n − p)!(n − (n − p))!
n−p
2) Pour la seconde égalité :
à ! Ã
!
n
n
+
p
p +1
=
=
n!
(p + 1)n! + (n − p)n!
n!
+
=
p!(n − p)! (p + 1)!(n − p − 1)!
(p + 1)!(n − p)!
Ã
!
(n + 1)n!
(n + 1)!
n +1
=
=
(p + 1)!((n + 1) − (p + 1))!
(p + 1)!((n + 1) − (p + 1))!
p +1
Théorème 3 (Formule du binôme de Newton)
Soient a, b ∈ C et n ∈ N, alors :
à !
n
X
n p n−p
(a + b) =
a b
p=0 p
n
Exemple 15 :
Pour n = 5, l’écriture de la formule nous donne :
à !
5
X
5 p 5−p
5
(a + b)
=
a b
p
p=0
à !
à !
à !
à !
à !
à !
5 5
5
5 2 3
5 3 2
5 4
5 5
4
=
b +
ab +
a b +
a b +
a b+
a
0
1
2
3
4
5
Les coefficients sont alors fournis par la ligne 5 du triangle de Pascal. On a finalement : (a + b)5 = b 5 + 5ab 4 + 10a 2 b 3 +
10a 3 b 2 + 5a 4 b + a 5 Lorsqu’on effectue un développement, il est d’ailleurs inutile de réécrire la formule : on écrit directement ces coefficients.
à !
n n
X
n
Remarque 14 : De part la symétrie des coefficients, on peut écrire de manière équivalente : (a+b) =
a n−p b p
p=0 p
Démonstration. On va démontrer la formule par récurrence sur n (pour n Ê 0) :
◦ Initialisation : Pour n = 0, la formule est vraie car :
à !
0 0
X
(a + b)0 = 1 et
a p b 0−p = 1a 0 b 0 = 1
p=0 p
◦ Hérédité : Soit un entier n Ê 0 fixé :
Supposons que la formule est vraie au rang n. Montrons qu’elle est vraie au rang n+1. Commençons par utiliser l’hypothèse de récurrence :
à !
n n
X
n+1
n
(a + b)
= (a + b)(a + b) = (a + b)
a p b n−p
d’après l’hypothèse de récurrence.
p=0 p
à !
à !
n n
n n
X
X
a p b n−p+1
a p+1 b n−p +
=
p=0 p
p=0 p
Un décalage d’indice sur la première somme permet de trouver un facteur commun sous les deux sommes et de rassembler à nouveau
l’expression :
Ã
!
à !
n+1
n n
X
X
n
(a + b)n+1 =
a p b n−(p−1) +
a p b n−p+1
p=1 p − 1
p=0 p
Ã
!
à !
n
n n
X
X
n
= a n+1 +
a p b n−p+1 + b n+1 +
a p b n−p+1
p=1 p − 1
p=1 p
Il reste à conclure à l’aide de la formule du triangle de Pascal :
Ã
!
ÃÃ
! Ã !!
n+1
n
X n + 1 p (n+1)−p
X
n
n
a b
a p b n−p+1 + b n+1 =
+
(a + b)n+1 = a n+1 +
p
p
p=0
p=1 p − 1
{z
}
|
¡n+1¢
p
Donc la formule est vraie au rang (n + 1).
◦ Conclusion : Par récurrence, la formule est vraie pour tout n Ê 0.
Lycée Jean Perrin 2013/2014
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27 septembre 2013
Exemple 16 :
Si x ∈ R :
à !
à !
n n
n
X
X
p n
p
n
(−1)
(1 + x) =
xp
x et (1 − x) =
p
p=0 p
p=0
n
Proposition 30
à !
n n
X
= 2n et
p=0 p
à !
n
(−1)
=0
p
p=0
n
X
p
Démonstration. Le principe de la démonstration, à l’aide de la formule du binôme, est à connaître :
à !
à !
n n
n n
X
X
=
1p 1n−p = (1 + 1)n = 2n
p=0 p
p=0 p
n
X
(−1)p
p=0
Lycée Jean Perrin 2013/2014
à !
à !
n n
X
n
=
(−1)p 1n−p = ((−1) + 1)n = 0
p
p=0 p
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TABLE DES MATIÈRES
27 septembre 2013
Table des matières
I
Inégalités dans R
I.A Inégalités larges et strictes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C Composition d’une inégalité et d’une fonction monotone . . . . . . . . . . .
I.D Valeur absolue, inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.E Minorer, majorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.E.1 Majoration, minoration, encadrement d’une somme . . . . . . . . . .
I.E.2 Majoration, minoration, encadrement d’un produit ou d’un quotient
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1
1
1
3
3
4
5
5
II Équations et inéquations polynomiales de degrés 2 et 3
II.A Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A.1 Factorisation, forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A.2 Signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A.3 Somme et produit des racines : relations coefficients-racines
II.B Équation se ramenant au second degré . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B.1 Équation du troisième degré dont une racine est connue . .
II.B.2 Équation se ramenant au second degré . . . . . . . . . . . . .
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5
5
5
6
6
7
7
7
III Équations et inéquations trigonométriques
III.A Cercle trigonométrique et définition du radian .
III.B Lignes trigonométriques et valeurs usuelles . . .
III.C Formules d’addition, duplication . . . . . . . . . .
III.C.1 Résolution d’équations trigonométriques
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7
7
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10
11
IV Limites de fonctions
IV.A Notions élémentaires . . . . . . . . . . . . . .
IV.B Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.C Opérations sur les fonctions et limites . . . .
IV.D Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . .
IV.E Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.F Rappels : La fonction logarithme népérien .
IV.G Rappel : La fonction exponentielle de base e
IV.H Croissances comparées . . . . . . . . . . . .
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11
12
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13
13
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15
17
V Dérivées et primitives
V.A Définition et dérivées des fonctions usuelles . . . . . .
V.B Dérivées et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.C Dérivées et opérations sur les fonctions . . . . . . . . .
V.D Dérivée d’une fonction composée et cas usuels . . . .
V.E Primitives d’une fonction sur un intervalle, cas usuels
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19
19
20
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21
VI Propriétés de N et raisonnement par récurrence
VI.A Raisonnement classique par récurrence . . . .
VI.B Pièges de la récurrence . . . . . . . . . . . . . .
VI.C Récurrence « forte » . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.D Objets mathématiques définis par récurrence
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VIISommes et produits
VII.AExemples de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.BDécalage d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.COpérations sur les sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.DApplication à la somme des termes d’une suite arithmétique . . . .
VII.ESommes et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.FÉgalité de Bernoulli - Somme des puissances consécutives d’un réel
VII.GOpérations sur les produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.HProduits et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
à !
n
VIIIL’entier
et propriétés
p
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