Introduction aux espaces normés

UNIVERSIT´ E DE LI` EGE
Facult´e des Sciences
Institut de Math´ematique
Introduction aux
ESPACES NORM´ ES
Notes des cours
Analyse fonctionnelle et
Compl´ements d’analyse fonctionnelle
Licence en Sciences Math´ematiques
Jean SCHMETS
Ann´ee acad´emique 2000-2001

ii

Introduction
Ces notes constituent la base de cours que j’ai donn´es durant l’ann´ee acad´emique
1997–1998 comme cours `a option `a la licence en sciences math´ematiques. Il s’agit
d’un cours d’analyse fonctionnelle de 30h + 10h et d’un cours de compl´ements de
mˆeme importance horaire. Dans une telle situation, le choix se situe entre survoler
la mati`ere et s’attacher avec quelques d´etails `a un th`eme particulier.
C’est franchement la seconde possibilit´e que j’ai choisie. Le leitmotiv est la
th´eorie spectrale des op´erateurs lin´eaires compacts d’un espace de Banach dans lui-
mˆeme. Ce sujet est quant `a lui d´ej`a tr`es vaste et j’ai dˆu me limiter aux propri´et´es
fondamentales . . . tout en ne pouvant r´esister `a aborder certains compl´ements im-
portants. J’ai aussi cherch´e `a motiver cette ´etude en m’attachant `a la r´esolution des
´equations de Fredholm et de Volterra.
Le premier chapitre contient une information de base sur les op´erateurs lin´eaires
entre espaces vectoriels. Ici ce sont les op´erateurs lin´eaires de rang fini qui sont
´etudi´es avec quelques d´etails.
Dans le (long) deuxi`eme chapitre, les propri´et´es g´en´erales des espaces norm´es ou
de Banach sont ´etudi´ees. Ici les s´eries de Neumann sont d´evelopp´ees pour r´esoudre
les ´equations du type (id−T)x=favec kTk<1 et plus g´en´eralement les ´equations
de Volterra.
Le th´eor`eme de Hahn-Banach et ses premi`eres cons´equences constituent l’essen-
tiel du troisi`eme chapitre o`u se trouve ´egalement le th´eor`eme de Krein-Milman.
Les th´eor`emes de Banach-Steinhaus, de l’op´erateur ouvert et du graphe ferm´e
figurent dans le chapitre quatre. On y trouve aussi une premi`ere approche de la
th´eorie spectrale des op´erateurs lin´eaires compacts.
Afin de poursuivre cette ´etude et obtenir une description assez fine du spectre de
ces op´erateurs (qui figure `a la fin du chapitre 5), il faut introduire un minimum de
connaissances sur la topologie g´en´erale et les espaces localement convexes s´epar´es.
Ceci est indispensable pour ´etablir d’une part qu’un op´erateur lin´eaire d’un espace
de Banach dans un autre est compact si et seulement si son adjoint est compact et
d’autre part que les noyaux et conoyaux des op´erateurs K−λid et K0−λid ont mˆeme
dimension finie. A ce moment, le spectre σ(K) d’un op´erateur lin´eaire compact K

iv 0. Introduction
d’un espace de Banach dans lui-mˆeme est d´ecrit comme ´etant une partie finie de C
ou l’ensemble des points d’une suite de Cconvergente vers 0 uni `a {0}, tout ´el´ement
non nul de σ(K) ´etant une valeur propre de K, dont l’ensemble des vecteurs propres
est un sous-espace vectoriel de dimension finie. C’est alors le moment de traiter des
exemples et de revenir aux ´equations de Fredholm.
Trois appendices terminent ces notes: un (court) sur l’axiome du choix et ses
´equivalents, un deuxi`eme sur des ´el´ements de la th´eorie spectrale dans les espaces
de Hilbert et le dernier sur les notions de base de quelques espaces fondamentaux
de suites.
Les textes plac´es entre les symboles “∗ →” et “← ∗” font appel `a de la mati`ere
ult´erieure et sont `a r´eserver pour une deuxi`eme lecture.
J. Schmets

Chapitre 1
Quelques compl´ements sur les
espaces vectoriels
Convention. Dans tout ce qui suit, Kd´esigne le corps des scalaires et est
toujours ´egal `a Rou `a C. En vue d’all´eger le texte, nous disons espace vectoriel
`a la place d’espace K-vectoriel, op´erateur lin´eaire `a la place d’op´erateur K-lin´eaire,
. . . chaque fois que la propri´et´e est valable pour K=Ret pour K=C.
1.1 Espaces vectoriels
Tout espace C-vectoriel Eest aussi un espace R-vectoriel, il est alors appel´e
espace R-vectoriel sous-jacent `a Eet not´e ER. La r´eciproque est bien entendu
fausse.
Un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel Eest une partie non vide Lde E,
qui est un espace vectoriel pour les op´erations + et ·induites par E. Il suffit bien
sˆur d’avoir L+L⊂Let cL ⊂Lpour tout c∈K.
L’ensemble des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E:
a) contient {0}comme plus petit ´el´ement pour l’inclusion,
b) contient Ecomme plus grand ´el´ement pour l’inclusion,
c) est ferm´e pour l’intersection.
D`es lors, on peut introduire la notion d’enveloppe lin´eaire pour toute partie non
vide Ade Ecomme ´etant l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de Equi
contiennent A. C’est le plus petit sous-espace vectoriel de Econtenant A; il est not´e
span(A). On a tˆot fait de v´erifier l’´egalit´e
span(A) = (J
X
j=1
cjej:J∈N0;c1, . . . , cJ∈K;e1, . . . , eJ∈A).